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1、- 1 -第三节第三节 用样本估计总体用样本估计总体2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，理解它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想。2016，山东卷，3,5 分(频率分布直方图)2016，江苏卷，4,5 分(样本方差)2016，四川卷，16,12 分(频率分布直方图的应用)2015，全国卷
2、，18,12分(样本数字特征、概率)2015，安徽卷，6,5 分(标准差)1.本节是用样本估计总体，是统计学的基础，以考查频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、标准差为主，同时考查对样本估计总体的思想的理解；2.本节在高考题中主要是以选择题和填空题为主，属于中低档题目。微知识 小题练自|主|排|查1用样本的频率分布估计总体分布(1)作频率分布直方图的步骤。求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)。决定组距与组数。将数据分组。列频率分布表。画频率分布直方图。(2)频率分布折线图和总体密度曲线。频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线- 2 -图。总体密度曲线：随
3、着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线。(3)茎叶图。茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。2用样本的数字特征估计总体的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的数。(2)中位数：将数据按大小顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数是中位数。(3)平均数：，反映了一组数据的平均水平。xx1x2xn n(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s。1 nx1x2x2x2xnx2(5)方差：s2 (x1)2(x2)2(xn)2(xn是样本数据，n是样本容量，1 nxxx是样
4、本平均数)。x微点提醒 1平均数表示一组数据的平均水平，众数表示一组数据中出现次数最多的数，中位数表示一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后中间一项或中间两项的平均数，都可以从不同的角度描述数据的集中趋势。2频率分布直方图中的纵轴代表的是，而不是频率。频率 组距3对于实际中的数据分析的时候，要注意贴合实际目的，并尽量分析全面，从而做出合理的决策。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 3P81A 组 T2改编)学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n位同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在10,50(单位：元)之间，其频率分布直方图如图所示，其中支出在10,30)(单位：元)内的同学
5、有 33 人，则支出在40,50(单位：元)内的同学人数为( )- 3 -A100 B120C30 D300【解析】 支出在10,30)内的同学所占的频率为(0.0100.023)100.33，所以n100。又支出在40,50内的同学所占的频率为 1(0.0100.0230.037)33 0.33100.3，所以支出在40,50内的同学人数为 1000.330。故选 C。【答案】 C2(必修 3P79练习 T1)农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续 6 年的平均产量如下(单位：500 g)，产量比较稳定的是( )品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年第 6 年甲
6、900920900850910920乙890960950850860890A.甲 B乙C一样 D无法确定【解析】 甲 (900920900850910920)900，乙x1 6x (890960950850860890)900；s (202502102202)567，s1 62 甲1 62 乙(102602502502402102)1 733，因为ss，2 甲2 乙乙的成绩较稳定。【答案】 乙5某电子商务公司对 10 000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间0.3,0.9内，其频率分布直方图如图所示。(1)直方图中的a_；(2)在这些购物者中，
7、消费金额在区间0.5,0.9内的购物者的人数为_。【解析】 (1)0.11.50.12.50.1a0.120.10.80.10.21，解得a3；(2)区间0.5,0.9内的频率为 10.11.50.12.50.6，则该区间内购物者的人数为 10 0000.66 000。【答案】 (1)3 (2)6 000微考点 大课堂考点一 频率分布直方图及应用【典例 1】 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费。为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年
8、100 位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0,0.5)，0.5,1)，4,4.5分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图。- 6 -(1)求直方图中a的值；(2)设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由。【解析】 (1)由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.080.50.04，同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4，4.5中的频率分别为0.08,0.20,0.26,0.06，0.04，0
9、.02。由 0.040.080.5a0.200.260.5a0.060.040.021，解得a0.30。(2)由(1)可知，100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为0.060.040.020.12。由以上样本的频率，可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300 0000.1236 000。(3)因为前 6 组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.150.880.85，而前 5 组的频率之和为 0.040.080.150.200.260.738383879990a，解得 8a，即得 0a7 且aN N，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P
10、。8 104 5答案 4 5微专题 巧突破有关频率分布直方图易错点梳理利用频率分布直方图估计总体的基本数字特征，简单地说，就是能“制图” ，会“用图” ，而我们在应用中产生的错误也主要发生在这两个过程中。错误一、制图分组不对，频数统计错误【典例 1】 某校在开学之初，以班级为单位，对学生自行购买保险的情况进行了抽样统计，得到了如下 20 个班级购买保险人数情况：- 15 -12,9,5,11,10,22,28,6,30,14,15,12,16,26,18,27,22,14,12,5试作出该样本的一个频率分布直方图。【错解】 这组数据的极差为 30525，将组距定为 5，组数定为 5，则可将 2
11、0 个数据分为5,10，10,15，15,20，20,25，25,30这 5 组，得到每组的频数分别为5,8,3,2,4。(剩余解答略)【正解】 在上述解答中，各小组频数之和为 22，大于样本容量，显然是错误的。原因是分组区间全是双闭区间，则数据“10”在第一组和第二组均被计入频数，数据“15”也是如此。在分组时，应将 20 个数据分为5,10)，10,15)，15,20)，20,25)，25,30这 5 组，得到每组的频数分别为 4,7,3,2,4。(剩余解答略)。【易错总结】 分组时，每组所在区间一般是选择“左闭右开” ，而不是“双闭”或“双开” ，防止某些数据漏选或被多次计入不同小组，从
12、而导致频数统计失误。规避这种失误，可以检查各组频数之和是否等于样本容量。错误二、用图将频率分布直方图的纵坐标“”误认为是“频率”频率 组距【典例 2】 对某校七年级 100 名学生每周的零用钱(单位：元)进行统计，得到频率分布直方图如图所示，其中第 3 小组的频率为 0.34，第 1,2,4,5 小组的频率形成了公差为0.03 的等差数列，求图中a的值。【错解】 由于各小组的频率之和为 1，且第 3 小组频率为 0.34，则第 1,2,4,5 小组频率之和为 0.66。这 4 个小组的频率形成了公差为 0.03 的等差数列，设首项为a1，则由等差数列前 4 项之和为 0.66，可得a10.12，则第 2 小组的频率为 0.15，故a0.15。【正解】 第 2 小组频率的计算过程完全正确，第 2 小组的频率等于 0.15，但并不意味- 16 -着a0.15。因为第 2 小组的矩形的面积才是第 2 小组的频率，故矩形的高为0.03，0.15 5即a0.03。【易错总结】 频率分布直方图中，关键要理解图中数据的意义，特别是图中每个小矩形的面积才是这一组距内个体的频率。最高矩形的中点是众数，将直方图的面积一分为二的垂直横轴的直线所对应的数值是中位数。总之，我们要明确对频率分布直方图的绘制及结构认识。事实上频率分布直方图中的每个小矩形的面积表示该组的频率，纵轴表示“” 。频率 组距
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