高考数学一轮复习第7章立体几何第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图学案.doc

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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 7 7 章立体几何章立体几何第第 1 1 讲空间几何体的结构及其三视图和直观图学案讲空间几何体的结构及其三视图和直观图学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 简单几何体1简单旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；(2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；(4)球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥

2、的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形考点 2 直观图1画法：常用斜二测画法2规则(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为 45(或 135)，z轴与 x轴和 y轴所在平面垂直(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半考点 3 三视图1几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几2 / 12何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线说明：正视图也称主视

3、图，侧视图也称左视图2三视图的画法(1)基本要求：长对正，高平齐，宽相等(2)画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线必会结论1斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”Error!“三不变”Error!2直观图与原图形面积的关系S 直观图S 原图形(或 S 原图形2S 直观图)考点自测 1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)球的任何截面都是圆( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥( )(3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱( )(4)上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台( )(5)在用斜二测画法画水平放置的A 时，若

4、A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴，且A 90，则在直观图中A45.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5)22018山西模拟如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A.三棱锥 B三棱柱 C四棱锥 D四棱柱答案 B解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为三棱柱故选 B.3课本改编如图，直观图所表示的平面图形是( )3 / 12A.正三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形答案 D解析 由直观图中，ACy轴，BCx轴，还原后如图 ACy 轴，BCx 轴所以ABC 是直角三角形故选 D.42018沈阳

5、模拟一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )答案 C解析 若俯视图为选项 C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高，所以俯视图不可能是选项 C.52018宁德质检如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( )答案 C解析 此几何体侧视图是从左边向右边看，故选 C.板块二 典例探究考向突破考向 空间几何体的结构特征 例 1 下列说法正确的是( )A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D棱台的各侧棱延长后不一定交于一点答案 B解析 A 错，

6、如图 1；B 正确，如图 2，其中底面 ABCD 是矩形，可证明PAB，PCB 都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图 3；D 错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点4 / 12触类旁通解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧(1)熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定(2)通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可【变式训练 1】 以下命题：以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都

7、是圆；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台其中正确命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 A解析 命题错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥；命题错，因为这条腰必须是垂直于两底的腰；命题错，因为圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；命题错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以故选 A.考向 空间几何体的三视图命题角度 1 由空间几何体的直观图识别三视图 例 2 2018临沂模拟如图甲，将一个正三棱柱 ABCDEF 截去一个三棱锥 ABCD，得到几何体 BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )答案 C解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面 ADEB平面 DEF，DEF是

8、等边三角形，所以 CD 在后侧面上的投影为 AB 的中点与 D 的连线，CD 的投影与底面不垂直故选 C.命题角度 2 由空间几何体的三视图还原直观图5 / 12例 3 2017浙江高考某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )A.1 B.3 C.1 D.3答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，该几何体的体积V12331.故选 A.命题角度 3 由两个视图补画第三个视图例 4 2016天津高考将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到

9、的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )答案 B解析 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图，如图所示从左侧观察直观图，可知截面体现为从左上到右下的虚线故选 B.触类旁通三视图问题的常见类型及求解策略(1)在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果(2)在由三视图还原空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑考向 空间几何体的直观图 6 / 12例 5 2018桂林模

10、拟已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么ABC 的平面直观图ABC的面积为( )A.a2 B.a2 C.a2 D.a2答案 D解析 如图、所示的平面图形和直观图由可知，ABABa，OCOCa，在图中作CDAB于 D，则 CDOCa.SABCABCDaaa2.若本例改为“A1B1C1 是边长为 a 的正三角形，且A1B1C1 是ABC 的直观图” ，则ABC 的面积为多少？解 在A1D1C1 中，由正弦定理，得 xa，SABCaaa2.【变式训练 2】 如图，矩形 OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 OA6，OC2，则原图形 OABC的面积为( )B12A24 2D20C48 2答

11、案 A解析 由题意知原图形 OABC 是平行四边形，且 OABC6，设平行四边形 OABC 的高为 OE，则 OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.故选 A.核心规律1.掌握棱柱、棱锥的结构特征2.旋转体要抓住“旋转”的特点，弄清底面、侧面及其展开图的形状7 / 123.三视图的画法：(1)分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线；(2)理解“长对正、高平齐、宽相等” 满分策略1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱(母线)延长后必交于一点2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同3.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，

12、易忽视实虚线的画法.板块三 启智培优破译高考易错警示系列 9 三视图识图不准致误 2014湖北高考在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )B和A和 D和C和 错因分析 本题易出现的错误：(1)不能由点的坐标确定点在空间直角坐标系中的位置(2)不能借助于正方体，由空间几何体的直观图得到它的三视图(3)受思维定势的影响，直观感觉正视图为三角形，而无法作出选择解析 在空间直角坐标系中构建棱长为 2 的正方体，设A(0，0,2)，B(2,2,0)，C(1

13、,2,1)，D(2，2,2)，则 ABCD 即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和.故选 D.答案 D答题启示 在三视图中，正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出8 / 12来.跟踪训练一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )答案 A解析 在空间直角坐标

14、系中，易知 O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱 BC 在 zOx 平面的投影是看得见的，而 OA 的投影即它本身，在投影面中是看不见的故选 A.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12018银川模拟三视图如图的几何体是( )A.三棱锥 B四棱锥 C四棱台 D三棱台答案 B解析 几何体底面为四边形，侧面是三角形故选 B.2如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )答案 D解析 由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥，下部是圆柱故选 D.3某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯

15、视图一定不可能是( )答案 D解析 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能故选 D.42018云南玉溪模拟将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )答案 D9 / 12解析 根据几何体的结构特征进行分析即可故选 D.5若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )答案 A解析 该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项 A 中的图故选 A.62017北京高考某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A.3 B2 C2 D2答案 B解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知 SD

16、为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为 2，故 SD2.故选 B.72018河北石家庄质检一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为( )答案 D解析 由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD平面 BCD.故选 D.8如图，正方形 OABC 的边长为 1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为_答案 8 cm解析 将直观图还原为平面图形，如图可知还原后的图形中，OB2，AB3，于是周长为 23218(cm)92018济宁模拟已知四棱锥 PABCD 的三视图如图所示，则四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积的最大值是_答案 6解析 四棱锥如

17、图所示，作 PN平面 ABCD，交 DC 于点N，PCPD3，DN2，则 PN，AB4，BC2，BCCD，故10 / 12BC平面 PDC，即 BCPC，同理 ADPD.设 M 为 AB 的中点，连接PM，MN，则 PM3，SPDC42，SPBCSPAD233，SPAB436，所以四棱锥 PABCD 的四个侧面中面积的最大值是 6.102016浙江高考某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.答案 80 40解析 几何体的直观图如图：S 表42242422480(cm2)，V2344240(cm3)B 级 知能提升1如图，在正方体 ABCDA1B1C

18、1D1 中，M，N 分别是 BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面 ADD1A1 上的投影为( )答案 A解析 点 D 在平面 ADD1A1 上的正投影为点 D，点 M 在平面ADD1A1 上的正投影为 AA1 的中点，点 N 在平面 ADD1A1 上的投影为DA 的中点，连接三点可知 A 正确故选 A.22018湖南模拟正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E 为棱 BB1的中点(如图)，用过点 A，E，C1 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )答案 C解析 过点 A，E，C1 的截面为 AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项 C 中的图形故选 C.3.用斜二测

19、画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于y 轴，BC，AD 平行于 x 轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为_答案 8 cm2解析 解法一：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，11 / 12所以原平面图形的面积为 8 cm2.解法二：依题意可知，S 直观图2 cm2，故 S 原图形2S 直观图8 cm2.4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为 8，高为 4 的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6，高为 4 的等腰三角形(1)

20、求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的侧面积 S.解 本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图(1)V(86)464.(2)四棱锥的两个侧面 VAD、VBC 是全等的等腰三角形，取 BC 的中点 E，连接 OE，VE，则VOE 为直角三角形，VE 为VBC 边上的高，VE4.同理侧面 VAB、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高 h 5.S 侧24024.5.2018合肥模拟一个几何体的三视图如图所示已知正视图是底边长为 1 的平行四边形，侧视图是一个长为、宽为 1 的矩形，俯视图为两个边长为 1 的正方形拼成的矩形(1)求该几何体的体积 V；(2)求该几何体的表面积 S.解 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为 1 的正方形，高为.所以 V11.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面 ABCD，CD平面BCC1B1，所以 AA12，侧面 ABB1A1，CDD1C1 均为矩12 / 12形S2(11112)62.