高考数学二轮复习专题检测十导数的简单应用理.doc

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1、1专题检测（十）专题检测（十） 导数的简单应用导数的简单应用一、选择题1函数f(x)x2ln x的最小值为( )1 2A. B11 2C0 D不存在解析：选 A f(x)x ，且x0.1 xx21 x令f(x)0，得x1；令f(x)0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，故f(x)minf(1) .1 2对于二次函数g(x)x22ax4，易知该函数开口向下，所以其在区间1,2上的最小值在端点处取得，即g(x)minming(1)，g(2)要使对任意的x1(0,2，存在x21,2，使得f(x1)g(x2)成立，只需f(x1)ming(x2)min，即 g(1)且 g(2)，

2、1 21 23所以 12a4 且 44a4，1 21 2解得a .5 4二、填空题7(2017长春质检)dx_.e 1(x1 x)解析：dxError!Error!1 .e 1(x1 x)(x2 2ln x)e2 21 2e21 2答案：e21 28已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数 a 的取1 21 3，2值范围为_解析：由题意知f(x)x2a 0 在区间上恒成立，即 2ax 在区间1 x1 3，21 x上恒成立1 3，2又yx 在区间上单调递减，1 x1 3，2max ，(x1 x)8 32a ，即a .8 34 3答案：4 3，)9已知函数f(x)ex

3、，g(x)ln 的图象分别与直线ym交于A，B两点，则x 21 2|AB|的最小值为_解析：显然m0，由exm得xln m，由ln m得x2e1 2m ，则|AB|2ex 21 21 2m ln m令h(m)2e1 2m ln m，由 h(m)2em 0，求得m .当 0m1 21 m1 2时，h(m)0，函数 h(m)在上单调递减；当m 时，h(m)0，函数h(m)在1 2(0，1 2)1 2上单调递增所以h(m)minh2ln 2，因此|AB|的最小值为 2ln 2.(1 2，)(1 2)答案：2ln 2三、解答题410已知函数f(x)ax，x1.x ln x(1)若 f(x)在(1，)上

4、单调递减，求实数 a 的取值范围；(2)若a2，求函数f(x)的极小值解：(1)f(x)a，ln x1 ln2x由题意可得f(x)0 在(1，)上恒成立，a2 .1 ln2x1 ln x(1 ln x1 2)1 4x(1，)，ln x(0，)，当 0 时，函数t2 的最小值为 ，1 ln x1 2(1 ln x1 2)1 41 4a ，即实数 a 的取值范围为.1 4(，1 4(2)当a2 时，f(x)2x(x1)，x ln xf(x)，ln x12ln2x ln2x令f(x)0 得 2ln2xln x10，解得 ln x 或 ln x1(舍去)，即xe1 2.1 2当 1e1 2时，f(x)

5、0，f(x)的极小值为f(e1 2) 2e1 24e1 2.e 1 211(2017全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a0 时，证明f(x)2.3 4a解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) 2ax2a1.1 xx12ax1 x若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；(0，1 2a)5当x时，f(x)0.(1 2a，)故f(x)在上单调递增，在上单调递减(0，1 2a)(1 2a，)(2)证明：由(1)知，当a0 时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f 1 2aln1.(1

6、 2a)(1 2a)1 4a所以f(x)2 等价于ln12，即ln10.3 4a(1 2a)1 4a3 4a(1 2a)1 2a设g(x)ln xx1，则g(x) 1.1 x当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1 时，g(x)取得最大值，最大值为 g(1)0.所以当x0 时，g(x)0.从而当a0 时，ln10，(1 2a)1 2a即f(x)2.3 4a12(2017福州质检)已知函数f(x)aln xx2ax(aR)(1)若x3 是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；(2)求g(x)f(x)2x在区间1，

7、e上的最小值h(a)解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) 2xa，a x2x2axa x因为x3 是f(x)的极值点，所以f(3)0，解得a9，183aa 3所以f(x)，2x29x9 x2x3x3 x所以当 0x 或x3 时，f(x)0；3 2当 x3 时，f(x)0.3 2所以f(x)的单调递增区间为，(3，)，单调递减区间为.(0，3 2)(3 2，3)(2)g(x)aln xx2ax2x，6则g(x)2.2x2axa x2xax1 x令g(x)0，得x 或x1.a 2当 1，即a2 时，g(x)在1，e上为增函数，a 2h(a)g(1)a1；当 1 e，即 2a2e 时，g(x)在上为减函数，在上为增函数，a 21，a 2)(a 2，eh(a)galn a2a；(a 2)a 21 4当 e，即a2e 时，g(x)在1，e上为减函数，a 2h(a)g(e)(1e)ae22e.综上，h(a)Error!