高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-8解三角形应用举例学案理.doc

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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形解三角形 4-84-8 解三角形应用举例学案理解三角形应用举例学案理考纲展示 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考点 1 距离的测量测量距离的基本类型及方案类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达图形方法先测角C，ACb，BCa，再用余弦定理求AB以点A不可达为例，先测角B，C，BCa，再用正弦定理求AB测得CDa，BCD，BDC，ACD，ADC，ACB，在ACD中用正弦定理求AC

2、；在BCD中用正弦定理求BC；在ABC中用余弦定理求AB续表类型A，B两点间不可通或不可视A，B两点间可视，但有一点不可达A，B两点都不可达结论ABABAC；- 2 - / 14a2b22abcos CBC； ABAC2BC22ACBCcosACB(1)教材习题改编海上有 A，B，C 三个小岛，A，B 相距 5 海里，从 A 岛望 C 和 B 成 45视角，从 B 岛望 C 和 A 成 75视角，则 B，C两岛间的距离是_海里答案：52解析：易知ACB60，由，得，得 BC5.(2)教材习题改编已知 A，B 两地间的距离为 10 m，B，C 两地间的距离为 20 m，现测得ABC120，则 A

3、，C 两地间的距离是_答案：10 m解析：AC2AB2BC22ABBCcos ABC10220221020cos 120700，所以 AC10(m)考情聚焦 研究测量距离问题是高考中的常考内容，题型既有客观题，也有解答题，难度一般适中，属中档题解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解主要有以下几个命题角度：角度一两点可视但有一点不可到达典题 1 某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶，在点 A 处测得电视塔 S 在电动车的北偏东 30方向上，15 min后到点 B 处，测得电视塔 S 在电动车的北偏东 75方向上

4、，则点 B 与电视塔的距离是_km.- 3 - / 14答案 32解析 由题意知 AB246，在ABS 中，BAS30，AB6，ABS18075105，ASB45，由正弦定理知，BS3.角度二两点不可到达的距离典题 2 2017辽宁沈阳一模如图，A，B，C，D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点仰角分别为 75，30，于水面 C 处测得 B点和 D 点的仰角均为 60，AC0.1 km.试探究图中 B，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求 B，D 的距离(计算结果精确到 0.01 km，1.414，2.449)2解 在

5、ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1，又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.在ABC 中，即 AB，又 sin 15sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45，所以 AB，因此，BD0.33(km)- 4 - / 14故 B，D 的距离约为 0.33 km.角度三两点不相通的距离典题 3 如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置 C，用经纬仪测出角 ，再分别测出 AC，BC的长 b，a，则可求出 A，B 两点间的距离即 AB.若测得 CA400 m，CB600

6、m，ACB60，试计算 AB 的长为_答案 200 m解析 在ABC 中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos ACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 m，即 A，B 两点间的距离为 200 m.点石成金 求距离问题的注意事项(1)选定或确定要求解的三角形，即所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(3)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正余弦定理求解考点 2 测量高度问题测量

7、高度的基本类型及方案类型点B与点C，D共线点B与点C，D不共线- 5 - / 14图形方法先测得CDa，ACB和ADB，再用正弦定理求出AC或AD，最后解直角三角形求出AB先测得BCD，BDC，CDa，在BCD中先用正弦定理求出BC，在ABC中ACB可测，CAB90BCDACB，再用正弦定理求AB结论ABatanACBtanADB tanADBtanACBAB1.实际问题中角的概念理解错误为测量某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20 m 的建筑物的顶部测得塔顶 A 的仰角为 30，测得塔基 B 的俯角为 45，那么塔 AB的高度是_答案：20m解析：由题意画出示意图，如图所示，易知

8、AD m，BDCD20 m，故 AB2020 3320(m)2实际问题中把求解目标纳入三角形某路边一棵树的树干被台风吹断后，折断部分与地面成 45角，- 6 - / 14树干倾斜并与地面成 75角，树干底部与树尖着地处相距 20 m，则折断点与树干底部的距离是_m.答案：20 63解析：由题意画出示意图，如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则ABO45，AOB75，OAB60.由正弦定理，知，AO sin 45 AO(m)典题 4 某人在塔的正东沿着南偏西 60的方向前进 40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为 30，求塔高解 如图所示，某人在 C

9、处，AB 为塔高，他沿 CD 前进，CD40，此时DBF45，过点 B 作 BECD 于 E，则AEB30，在BCD 中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理，得，所以 BD20(m)因为BDE1801353015，- 7 - / 14所以在 RtBED 中，BEDBsin 15206 2410(1)(m)在 RtABE 中，AEB30，所以 ABBEtan 30(3)(m)故所求的塔高为(3)m.点石成金 求解高度问题的三个关注点(1)在处理有关高度问题时，理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面

10、(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.要测量电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45，在D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为_m.答案：40解析：设电视塔 AB 高为 x m，则在 RtABC 中，由ACB45，得 BCx.在 RtADB 中，由ADB30，得 BDx.在BDC 中，由余弦定理，得BD2BC2CD22BCCDcos 120，即(x)2x24022x40cos 120，- 8

11、- / 14解得 x40，所以电视塔高为 40 m.考点 3 测量角度问题1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)答案：上方 下方2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东 ，即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向(如图)；(2)北偏西 ，即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角 为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i 为坡度)坡度又称为坡比典题 5 20

12、17浙江适应性考试如图所示，为了解某海域海- 9 - / 14底构造，在海平面内一条直线上的 A，B，C 三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于 A 处测得水深 AD80 m，于 B 处测得水深BE200 m，于 C 处测得水深 CF110 m，求DEF 的余弦值解 作 DMAC 交 BE 于 N，交 CF 于 M.DF10，DE130，EF9021202150.在DEF 中，由余弦定理，得cosDEFDE2EF2DF2 2DE EF.点石成金 测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理

13、解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解提醒 方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东 45方向，相距 12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南偏东 75方向前进，若红方侦察艇以每小时 14 n mile 的速度，沿北偏东 45 方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角 的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇，则 AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2

14、240xcos 120，解得- 10 - / 14x2.故 AC28，BC20.根据正弦定理得，解得 sin .所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时，角 的正弦值为.真题演练集训 12014浙江卷如图，某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动，此人为了准确瞄准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小(仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)若 AB15 m，AC25 m，BCM30，则 tan 的最大值是( )B. A. D.C. 5 39答案：D解析：如图，过点 P 作 POB

15、C 于点 O，连接 AO，则PAO.设 COx m，则 OPx m.在 RtABC 中，AB15 m，AC25 m，所以 BC20 m所以 cos BCA.所以 AO625x22 25x 4 5(m)- 11 - / 14所以 tan 33140x625x2.当，即 x时，tan 取得最大值为.22015湖北卷如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 答案：1006解析：由题意，在ABC 中，BAC30，ABC18075105，

16、故ACB45.又 AB600 m，故由正弦定理得，解得 BC300 m.在 RtBCD 中，CDBCtan 30300100(m)32014新课标全国卷如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60，已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.答案：150解析：在三角形 ABC 中，AC100，在三角形 MAC 中，解得MA100，在三角形 MNA 中，sin 60，故 MN150，即山高 MN为 150 m.42014四川卷如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸-

17、12 - / 14B，C 的俯角分别为 67，30，此时气球的高是 46 m，则河流的宽度 BC 约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin 670.92，cos 670.39，sin 370.60，cos 370.80，1.73)答案：60解析：根据图中给出的数据构造适当的三角形求解根据已知的图形可得 AB.在ABC 中，BCA30，BAC37，由正弦定理，得，AB sin 30 所以 BC20.6060 (m)课外拓展阅读 有关解三角形的应用题的解题方法1解决关于解三角形的应用问题的步骤2解三角形的应用题的两种情形及解题方法(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中

18、在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出(或找出)这些三角形，先解能直接解的三角形，然后逐步求出其他三角形的解，有时需设出未知量，利用几个三角形中边角所满足的关系列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解3解决关于解三角形的应用问题应注意的事项(1)要注意仰角、俯角、方位角以及方向角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正弦、余弦定理结- 13 - / 14合起来使用，这样可以优化解题过程；(3)注意题目中的隐含条件以及解的实际意义典例 如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C

19、 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后，乙从 A 乘缆车到B，在 B 处停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1260 m，经测量，cos A，cos C.(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在ABC

20、 中，因为 cos A，cos C，所以 sin A，sin C.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d，此时，甲行走了(10050t) m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理，得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)- 14 - / 14200(37t270t50)，因为 0t，即 0t8，故当 t(min)时，d 最小，所以乙出发分钟后，甲、乙两游客距离最短(3)由，得BCsinA500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m 才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内