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1、1【创新方案创新方案】2017】2017 届高考数学一轮复习届高考数学一轮复习 第八章第八章 立体几何立体几何 第六节第六节 利用空间向量求空间角课后作业利用空间向量求空间角课后作业 理理全盘巩固1如图,在四棱锥 PABCD中,PC底面 ABCD,四边形ABCD是直角梯形,ABAD,ABCD,AB2AD2CD2,E是PB的中点(1)求证:平面EAC平面PBC;(2)若二面角 PACE的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值332.如图,在四棱锥 PABCD中,底面ABCD是菱形,ADC60,侧面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,CD2,M为PB的中点(1)求证:PA平面CDM;
2、(2)求二面角 DMCB的余弦值3(2015广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PDPC4,AB6,BC3.点E是CD边的中点,点F,G分别在线段AB,BC上,且AF2FB,CG2GB. 2(1)证明:PEFG;(2)求二面角PADC的正切值;(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值冲击名校1(2015浙江高考)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABAC2,A1A4,A1在底面ABC的射影为BC的中点,D是B1C1的中点(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求二面角A1BDB1的平面角的余弦值2.如图,在四棱锥PABCD中,已知PA平面ABCD,
3、且四边形ABCD为直角梯形,ABCBAD,PAAD2,ABBC1. 2(1)求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长33(2016黄冈模拟)在等腰梯形ABCD中,ADBC,ADBC,ABC60,N是BC1 2的中点,将梯形ABCD绕AB旋转 90,得到梯形ABCD(如图)(1)求证:AC平面ABC;(2)求证:CN平面ADD;(3)求二面角ACNC的余弦值答 案全盘巩固1解:(1)证明:PC平面ABCD,AC平面ABCD,ACPC,AB2,ADCD1,ADC90,ACBC,2AC2BC2AB2,ACBC.又BCPC
4、C,AC平面PBC.AC平面EAC,平面EAC平面PBC.(2)如图,以C为原点,分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,1,0)设P(0,0,a)(a0),则E,(1 2,1 2,a 2)取m m(1,1,0),则m m为平面PAC的一个法向量4即Error!取 xa,ya,z2,则n n(a,a,2)依题意,|cosm m,n n|,则a1.|m mn n| |m m|n n|aa2233即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.232.解:(1)证明:法一:取PA的中点N,连接MN,DN,又M为PB的中点,所以MNAB,又菱形ABCD
5、中,ABCD,所以MNCD,所以C,D,M,N四点共面取DC的中点为O,连接PO.因为侧面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD,所以PO底面ABCD.因为底面ABCD为菱形且ADC60,DC2,DO1,故OADC.因为POAOO,所以DC平面POA,所以DCPA,在PAD中,PDAD2,N为PA的中点,所以DNPA.又DNDCD,DN平面CDNM,DC平面CDNM,所以PA平面CDNM,即PA平面CDM.法二:取DC的中点为O,连接PO,OA,因为侧面PDC是正三角形,平面PDC平面ABCD.所以PO底面ABCD,因为底面ABCD为菱形且ADC60.DC2,DO1,有OADC.5以O 原点
6、,分别以OA,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(,0,0),P(0,0,),B(,2,0),C(0,1,0),D(0,1,0),333所以 M,(32,1,32)观察可知二面角 DMCB为钝角,所以所求二面角的余弦值是.1053解:法一:(1)证明:在PCD中,E为CD的中点,且PCPD,PECD.又平面PCD平面ABCD,且平面PCD平面ABCDCD,PE平面PCD,PE平面ABCD.又FG平面ABCD,PEFG.(2)由(1)知PE平面ABCD,且AD平面ABCD,PEAD.又四边形ABCD是长方形,ADCD.又PECDE,AD平面PCD,AD
7、PD,PDE为二面角PADC的平面角ABCD6,DE3.6在 RtPED中,PE ,PD2DE242327tanPDE,PE DE73所求二面角PADC的正切值为.73(3)如图,连接AC,在ABC中,AF2FB,CG2GB,FGAC.由异面直线所成角的定义,知直线PA与直线FG所成角的大小等于PAC的大小在 RtPDA中,PA5,PD2AD2AC3,PC4,AB2BC25cosPAC,PA2AC2PC2 2PAAC2545162 5 3 59 525直线PA与直线FG所成角的余弦值为.9 525法二:在PCD中,E为CD的中点,且PCPD,PECD.又平面PCD平面ABCD,且平面PCD平面
8、ABCDCD,PE平面PCD,PE平面ABCD.取AB的中点H,连接EH.四边形ABCD是长方形,EHCD.如图,以E为原点,EH,EC,EP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,PDPC4,AB6,BC3,AF2FB,CG2GB,E(0,0,0),P(0,0,),F(3,1,0),G(2,3,0),A(3,3,0),D(0,3,0)77(2)PE平面ABCD,即Error!令z13,则x10,y1,7n n(0,3)7由图可知二面角PADC是锐角,设为,则sin ,tan .7473冲击名校1解:(1)证明:设E为BC的中点,连接AE,DE,A1E.由题意得A1E平面ABC,所以
9、A1EAE.因为ABAC,所以AEBC.故AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEB1B且DEB1B,从而DEA1A,DEA1A,所以四边形A1AED为平行四边形8故A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)法一:如图,作A1FBD且A1FBDF,连接B1F. 由AEEB,A1EAA1EB90,2得A1BA1A4.由A1DB1D,A1BB1B,得A1DB与B1DB全等由A1FBD,得B1FBD,因此A1FB1为二面角A1BDB1的平面角由A1D,A1B4,DA1B90,得2BD3,A1FB1F ,24 3由余弦定理得 cosA1FB1 .1 8法二:
10、以CB的中点E为原点,分别以射线EA,EB为x,y轴的非负半轴,建立空间直角坐标系Exyz,如图所示由题意知各点坐标如下:A1(0,0,),B(0, ,0),D(,0,),142214B1(, ,)2214设平面A1BD的法向量为m m(x1,y1,z1),平面B1BD的法向量为n n(x2,y2,z2)9可取n n(,0,1)7于是|cosm m,n n| .|m mn n| |m m|n n|1 8由题意可知,所求二面角的平面角是钝角,故二面角A1BDB1的平面角的余弦值为 .1 82.解:以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则各点的坐标为B(1,0,0),C(1,1,0),
11、D(0,2,0),P(0,0,2)设平面PCD的法向量为m m(x,y,z),即Error!令y1,解得z1,x1.所以m m(1,1,1)是平面PCD的一个法向量所以平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为.3310当且仅当t ,即 时,的最大值为.9 52 53 1010因为ycos x在上是减函数,(0, 2)所以此时直线CQ与DP所成角取得最小值又因为BP,12225所以BQBP.2 52 553解:(1)证明:ADBC,N是BC的中点,ADNC,又ADBC,1 2四边形ANCD是平行四边形,ANDC,又ABC60,ABBNAD,四边形ANCD是菱形,ACB DCB30,1 2BAC
12、90,即ACAB,又平面CBA平面ABC,平面CBA平面ABCAB,AC平面ABC.(2)证明:ADBC,ADBC,ADADA,BCBCB,平面ADD平面BCC,又CN平面BCC,CN平面ADD.(3)AC平面ABC,AC平面ABC,如图建立空间直角坐标系,11设AB1,则B(1,0,0),C(0, ,0),C(0,0,),N,33(1 2,32,0)设平面CNC的法向量为n n(x,y,z)取z1,则x,y1,n n(,1,1)33AC平面ABC,平面CAN平面ABC,又BDAN,平面CAN平面ABCAN,BD平面CAN.设BD与AN交于点O,则O为AN的中点,故O,(1 4,34,0)由图形可知二面角ACNC为钝角,二面角ACNC的余弦值为.55