借题发挥融会贯通.pdf

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1、借题发挥 融会贯通 新课程标准中提倡“通过解决问题的反思，获得解决问题的经验”。数学教学离不开例题习题，而教学中如何选择例题习题，从而挖掘教材潜在的智能价值，充分展示教学功能，并使课本知识有效地浓缩。通过不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，使一题多变，从而揭示不同知识点的联系，使学生加深知识的理解与内化，使知识系统化，克服某些思维定势，发散学生思维，培养学生思维的灵活性、全面性和创新性，提高学生解决实际问题和应变的能力。（原题展示）如图，分别以ABC 的边 AB、AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE、BG。求证：BG=CE【本题来源于浙教版八下课本第 147 页作

2、业题第 3题，考查正方形、三角形全等的知识，考查的是几何图形识别、分析以及推理的基础知识和基本技能。此题潜在价值很大：可以添加探索新结论；可以改变条件，探索结论；可以通过图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；也可以把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；还可以将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。这样的解题发挥，加深知识间的联系，融会贯通。】变式一：条件不变、增加探究结论（2）观察图形猜想 CE 与 BG 之间的位置关系，并证明你的猜想。GFDEABCGFDEABC（3）图中哪个三角形是由哪个三角形变换得到？请说出是怎样的变换？【本题在条件不变下继续探索其它结论，使不同层次的

3、学生得到不同得到发展，使学生经历获得通过猜想到验证的解决问题方法，培养学生探究能力与解决问题的能力】变式二：添加条件、探究新结论（4）如上图，AB11，AC7，连结 EG，求22BCEG的值【本题应用勾股定理知识解决，考查辅助线添法以及转化思想。】练习 1：（2007 甘肃陇南中考题）四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接AE、CG（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想 AE 与 CG 之间的位置关系，并证明你的猜想 变式三：改变条件，探究原结论 把上题的“正方形 ABCD、DEFG”改为“矩形 ABCD、DEFG（长宽不等）”，上面两个结论还成立吗？若不成立，请问在什么条件下成立

4、？【本题条件正方形改为矩形，探索前面两个结论是否成立，若不成立，探索成立的条件。两个矩形长和宽成比例时，AECG，可以运用三角形相似证明，但 AECG.由全等到相似，使学生把相关知识贯穿在一起相互比较，加深理解，使知识融会贯通。】FACEDBGBAGFDEC图（2）BAGFDEC图（1）GFDEABC变式四：图形旋转，探究原结论（3）如练习 1 题条件，正方形 ABCD 绕点 D 顺时针方向旋转，使 AD与 GD 重合时如图（1），上述两个结论是否成立?（4）正方形 ABCD 绕点 D 顺时针方向旋转，如图（2），上述两个结论是否成立？（5）如图（2），连结 BF，求 CG:BF:AE 的值.

5、【让题设条件与图形“动”起来，形成“一题多变”或“一图多变”的系列化问题。克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维，揭示利用全等知识证明的本质，熟练地应用知识和技能，准确把握解题方向。第（5）小题连结 BD、DF，构造相似三角形，利用相似比求解，渗透转化思想】练习 2：（2008 年义乌市中考题）如图 1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图 1 中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系

6、；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图 2、如图 3 情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图 2 证明你的判断 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 图 6（2）将原题中正方形改为矩形（如图 46），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb(ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图 5 为例简要说明理由 （3）在第(2)题图 5 中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=12，求22BEDG的值 变式五：根据图形或变式图形求面积 1.如图，A 在线段 BG 上，ABCD 和 DEFG 都是

7、正方形，面积分别为 7 和 11，则CDE 的面积等于 。2.如图，直线上有三个正方形a、b、c，若a、c的面积分别为 5 和 11，则b的面积为（）4 6 16 55 3.如图，梯形 ABCD 中，ABDC，ADCBCD90，且 DC=2AB，分别以 DA、AB、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为 S1、S2、S3，则 S1，S2，S3之间的关系是 .【本题根据几何图形求边长与面积，充分渗透数学结合思想。第 1 题利用旋转得到ADG 和CDE 的面积相等，第 2 题利用全等三角形和勾股定理，第 3 题根据角度321S4S3S2S1DCBAS3S2S1GFEDCBAcba和为直角作辅助线

8、将梯形转化为直角三角形，然后利用相似比将三个正方形的边长转化为直角三角形中，再利用勾股定理得到解答。】练习 3：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4 .练习 4：如图，分别以 RtABC 的三边向形外作正方形ABGH、BCEF、ACDI，若直角边 BC=1，AC=2，则六边形 DEFGHI 的面积。变式六：图形改变，探究定点定值问题 如图，已知 C 为定线段 AB 外一动点，分别以 AC、BC 为边在ABC 外作正方形 CADF 和 CBEG，求证：不论点 C 的

9、位置在 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点。【本题是一道几何定点定值问题，这类题目的题设和结论中既有不变的几何量，也有变化的几何量，注意挖掘那些隐含着的定量及变量，然后转化为一般的几何证明问题，这是分析和解决定点定值问题的着眼点。】变式七：变换条件结论，提高探索能力 如图，在ABC 中，C90，以 AC、BC 为边向ABC 外分别作正方形 CBHF 和正方形 ACDE,连结 DF，过点 C 作 CGAB,垂足为 G，且 CG 的反向延长线与 DF交于点 I。（1）求证：CI=12AB=12DF（2）当ACB90时，以上结论成立吗？若不成立，关系又怎样？（3）当ACB 为钝角，

10、且分别向ABC内 作 正 方 形IHGFEDCBAGEDFCABIGHFDECABIGHFEDCABCBHF 和 ACDE,问：此时线段 CI 与 AB 间的数量关系如何?CI 是否平分 DF？线段 CI 与12AB 是否相等？【本题难度较大，它增加条件，要求解决新的问题，要求正确添加辅助线构造平行四边形与全等三角形，第 1 小题是常规题，第 2、3 小题又是探索题，在条件变化时，探究原结论是否成立或有什么新的关系。】变式八：改变条件，挖掘内在联系 如图，分别以ABC 的边 AB、AC 为一边向外作正三角形 ABD 和正三角形 ACE，连结 CD、BE。（1）求证：BE=DC（2）求直线猜想

11、CD 与直线 BE 的夹角【本题把向外作正方形改为正三角形，但本质还是运用三角形的全等知识解决，万变不离其宗，设计目的是通过辨析，揭示问题的实质，训练学生对知识的灵活运用，使知识进一步理解和内化，培养思维的准确性，提高解决问题的能力以及应变能力。】变式九：根据结论，探究条件 如图，在ABC 中，分别以 AB,AC,BC 为边在 BC的同侧作 等边三角形 ABD,ACE,BC（1）求证：四边形 DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题 当ABC 满足什么条件时，四边形 DAEF 是矩形？当ABC 满足什么条件时，四边形 DAEF 是菱形？当ABC 满足什么条件时，以 D,A,E,F 为顶点的四

12、边形不存在？【本题把由两边向外作正三角形改为由三边向外作正三角形，考查平行四边EDFABCEDCAB形、矩形、菱形以及三角形等知识，是一道几何综合题。考查学生对知识的综合运用，培养学生分析问题能力和逻辑推理能力，培养学生思维的全面性与创新性，渗透分类与转化的数学思想方法。】练习 5：（2008 年广东佛山市中考题）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形.(1)当ABAC时，证明四边形ADFE为平行四边形；(2)当AB=AC时，顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件.变式十：添加背景材料，与函数相结合 如图，在 RtABC 中，BAC

13、=90ACB=30，BC=2，四边形 ABDE 和 ACFG 均为正方形.（1）以点 C 为坐标原点，BC 与 x 轴重合，画出直角坐标系，并求点 E、F、G 的坐标.（2）在（1）的图形中，如果点 A 是一次函数122yx 上的一个动点，点 A 运动到什么位置时，正方形 ABCD和 AOEF 的面积和最小？最小面积是多少？（3）在（2）的情况下，求经过 A、B、O 三点的抛物线的解析式。【本题添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，又是一道解决动态的问题，充分运用数形结合和建函数模型求面积和的最小值，考查了解直角三角形，图形与坐标、一次函数、二次函数以及动点运动问题等知识，训练

14、学生对知识的灵活运用，培养思维的准确性，培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力，使数学学习的最终目的是学以致用。】E F D A B C GFEDCBA练习 6：如图，M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴交于 A，B两点，A，B 两点的横坐标是一元二次方程2430 xx的两个根,以 AB 为边向 x 轴下方作正方形.(1)tanABC=?(2)正方形 ABDE 的边上是否存在点 P，使ABPAOC，求此时 P 点的坐标.(3)若M 以 1 个单位每秒的速度竖直向下匀速移动，当M 与正方形 ABDE重叠部分的面积等于M 面积的16时，求移动的时间.感悟与反思：针对课本的习题从不同

15、角度、不同层次、不同情形、不同背景的情况下变式，添加探索结论；改变条件；改变问题形式；图形位置改变，让图形动起来，变成动态问题；把正方形改为矩形、正三角形、圆，把三角形改为梯形；将整个图形引入直角坐标系中和函数联系起来。通过这样的解题发挥，初中全部内容都进行复习和加深，扩大知识面，使知识达到融会贯通，还能进一步地熟悉基本知识在解决实际问题中的应用，掌握很多的数学思想方法。走出题海战术，真正做到轻负高质。具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新

16、能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。如图（1）至图（3），C 为定线段 AB 外一动点，以 AC、BC 为边分别向外侧作正方形 CADF和正方形 CBEG，分别作 DD1AB、EE1AB，垂足分别为 D1、E1当 C 的位置在直线 AB 的同侧变化过程中，（1）如图（1），当ACB=90，AC=4，BC=3 时，求 DD1+EE1的值；（2）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）求证：不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；梯形中位线定理

17、专题：动点型 分析：（1）由正方形与垂线的性质，易证得：DD1AACB，EE1BBCA，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得 DD1与 EE1的长，则可求得 DD1+EE1的值；（2）定线段 AB 长为定值；猜想 DD1+EE1=AB；过点 C 作 CHAB，垂足为 H；再通过两对全等三角形来证明 DD1+EE1=AB 即可；（3）利用“梯形的中位线长等于两底和的一半”，设 M 为 DE 的中点，Q 为 D1E1的中点，MQ=1 2 AB 且 MQAB，特殊地，当四边形 DD1E1E 为矩形时，以上结论仍然成立又因为可证明D1A=E1B，所以 D1E1的中点就是 AB 的中点所以，不论 C

18、的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点，此定点 M 恒在“点 C 的同侧，与 AB 的中点 Q 距离为 1 2 AB长的点上”解答：解：（1）DD1AB、EE1AB，DD1A=EE1B=ACB=90，四边形 ACFD 与 BEGC 是正方形，DAC=CBE=90，DAD1+CAB=CAB+CBA=CBA+EBE1=90，DAD1=ABC，EBE1=BAC，DD1AACB，EE1BBCA，DD1 4 4 5，EE1 3 3 5，DD1 16 5，EE1 9 5；DD1+EE1=5；（2）过点 C 作 CKAB 于 K，DD1AB、EE1AB，DD1A=EE1B=AKC

19、=BKC=90，DAD1+CAB=CAE+ACK=CBK+BCK=CBK+EBE1=90，DAD1=ACK，EBE1=BCK，AD=AC，BC=BE，ADD1CAK，EBE1BCK，DD1=AK，EE1=BK，DD1+EE1=AB，不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；（3）设 M 为 DE 的中点，Q 为 D1E1的中点，则：MQ 1 2(DD1+EE1)1 2 AB且 MQAB，当四边形 DD1E1E 为矩形时，以上结论仍然成立 ADD1CAK，EBE1BCK，又D1A=CK=E1B，D1E1的中点就是 AB 的中点 不论 C 的位置在直线 AB 的同侧怎样变化，线段 DE 的中点 M 为定点，此定点 M 恒在“点 C 的同侧，与 AB 的中点 Q 距离为 1 2 AB长的点上”