数学物理方程考试说明.pdf

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1、文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。数学物理方程考试说明一一典型方程和定解条件典型方程和定解条件(一一)教学内容教学内容1）三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的提出；2）偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。重点：重点：三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题，偏微分方程的一些基本知识与定值问题的适定性概念。难点：难点：类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题。(二二)教学基本要求教学基本要求理解三类典型方程（波动方程、热传导方程和位势方程）及其定解问题的推导。了解并掌握偏微分方程

2、的一些基本知识与定值问题的适定性概念。二二分离变量法分离变量法(一一)教学内容教学内容(1)分离变量法的基本步骤；(2)非齐次方程齐次边界条件的固有函数法；(3)非齐次边界条件的处理；重点：重点：分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。难点：难点：非齐次方程齐次边界条件的固有函数法。(二二)教学基本要求教学基本要求理解分离变量法的基本步骤、非齐次方程齐次边界条件的固有函数法、非齐次边界条件的处理。1word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。三三 积分变换法积分变换法(一

3、一)教学内容教学内容(1)应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；(2)拉普拉斯变换的概念和基本性质；(3)拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。重点：重点：应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。难点：难点：拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。(二二)教学基本要求教学基本要求理解应用傅立叶变换法解微分方程定值问题；拉普拉斯变换的概念和基本性质，拉普拉斯变换法在解微分方程中的应用。四四 行波法行波法(一一)教学内容教学内容(1)一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；(2)非齐次波动方程的齐次化原理。重点：重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔

4、公式；非齐次波动方程的齐次化原理。难点：难点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式。(二二)教学基本要求教学基本要求理解并掌握一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；非齐次波动方程的齐次化原理。2word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。五五 格林函数法格林函数法(一一)教学内容教学内容(1)格林公式及其应用；(2)调和函数及其基本性质；(3)格林函数的概念及性质；(4)两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。重点：重点：格林公式及其应用，调和函数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数

5、及狄利克雷问题的解。难点：难点：两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。(二二)教学基本要求教学基本要求理解并掌握格林公式及其应用，调和函数及其基本性质，格林函数的概念及性质，两种特殊函数区域的格林函数及狄利克雷问题的解。六六 二阶线性偏微分方程的分类与小结二阶线性偏微分方程的分类与小结(一一)教学内容教学内容(1)两个变量的二阶线性方程；(2)n n个变量的二阶线性方程；(3)小结。重点和难点：重点和难点：两个变量的二阶线性方程，n n个变量的二阶线性方程。(二二)教学基本要求教学基本要求理解并掌握两个变量的二阶线性方程，n n个变量的二阶线性方程。3word 格式支持编辑，如有帮助欢

6、迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。七七 偏微分方程的差分法偏微分方程的差分法(一一)教学内容教学内容(1)抛物型方程的差分法；(2)双曲型方程的差分法；(3)椭圆型方程的差分法。(二二)教学基本要求教学基本要求理解并掌握抛物型方程的差分法、双曲型方程的差分法、椭圆型方程的差分法。例题解析例题解析一一设F()e a解：F1eat2 222t，t 0求其付立叶变换。12eateixdixa2t)2212e(atix)da2t(ix2a2t)22212ea2t(2d12eea2tx24a4t2d14a2t2a2ta2tu2eduixe22a

7、2txix由于ea tu作为的u函数在整个复平面上解析。且当时，它趋于 0，帮在以实轴为其一边的矩形上应用柯西定理得：22F e1a22t14a2ta2tu2eedu2x114a2t(auee2a txt)2d(au t)12a tx4a2t12a tex4a t2ev2dve二二将定解问题的边界条件齐次化。（14 分）解：令u(x,t)V(x,t)W(x,t)，选取W(x,t)，使Wx(0,t)g1(t),Wx(l,t)g2(t)。由此可得：4word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。将上式对求积分，即得：

8、此时，新的未知函数即满足齐次边界条件。三求满足的所有形如 X(x)Y(y)的非零特解。解：把 XY代入方程，得：X(4)XYY(4)2 0即有：XXYY两边对y求导，得：X（常数）由此可见。X于是：XX 0,X(4)X2X。因此，得：2XY 2Y XY(4)0。由于X 0，故有：Y(4)2Y2Y 0。因yy 0，故Y 0，由边界条件可得：X(0)X(l)0。XX 0解特征值问题。X(0)X(l)0得到n(n2nx)及Xn(x)sin(n 1,2,3,.)ll解常微分方程：Y(4)2nY 2nY 0。其特征方程有两个二重根n，于是l故所求的全部特解为：nxnyny Xn(x)Yn(y)sin(A

9、n Bny)ch()(Cn Dny)sh()。lll四求解电报方程的混合问题：其中为a,b,c正数，满足b2 4ac。解：根据初始条件，采用对变量t取拉氏变换的方法。记U(x,s)Lu(x,t)，F(s)L f(t)。5word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。在方程两端取拉氏变换，有解得U(x,s)的通解为U(x,s)c1exx(asb2 a)xc2e(asb2 a)x。由lim u(x,t)有界知：lim u(x,s)亦有界，因此有c20，再对边界条件取拉氏变换，有U(0,s)F(s)这样知c1 F(s)，由此得到：U(x,s)F(s)e(asb2 a)x e axseb2 axF(s)利用拉氏变换的延迟性质，得bx2af(t ax),t axe。0t ax6word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。