高考数学 母题题源系列 专题11 函数零点 理.doc

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1、1 / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学精选高考数学 母题题源系列母题题源系列 专题专题 1111 函数零点函数零点 理理【母题原题母题原题 1】1】 【2018【2018 江苏，理江苏，理 11】11】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为大值与最小值的和为 32( )21()f xxaxaR(0,)( )f x 1,1分析：先结合三次函数图象确定在上有且仅有一个零点的条件，求出参数 a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.(0,)点睛：对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件从图象的最高点、最低

2、点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 【母题原题母题原题 2】2】 【2017【2017 江苏，理江苏，理 14】14】设是定义在且周期为设是定义在且周期为 1 1 的函数，在区间上的函数，在区间上, ,( )f xR0,1)2,( ),xxDf xxxD其中集合，则方程的解的个数是 .1,*nDx xnnN( )lg0f xx【答案】8【解析】由于，则需考虑的情况( )0,1)f x 110x在此范围内，且时，设，且互质xQxZ*, ,2qxp qppN, p q【考点】函数与方程【母题原题母题原题 3】3】 【2015【2

3、015 江苏，理江苏，理 13】13】已知函数，已知函数， ，则方程实根的个数为，则方程实根的个数为 |ln|)(xxf 1, 2|4|10 , 0)(2xxxxg1| )()(|xgxf【答案】42 / 9【解析】由题意得：求函数与交点个数以及函数与交点个数之和，因为，所以函数与有两个交点，又，所以函数与有两个交点，因此共有 4 个交点( )yf x1( )yg x ( )yf x1( )yg x 221,01 1( )7,2 1,12x yg xxx xx ( )yf x1( )yg x 221,01 1( )5,2 3,12x yg xxx xx ( )yf x1( )yg x 【考点定

4、位】函数与方程 【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力与思想方法为主，重点考查函数与方程.【命题规律】1函数的零点问题是命题热点，经常考查函数零点存在的区间和零点个数的判断，难度不大 2函数零点性质的应用主要是利用函数的零点个数求参数的范围【答题模板】解答本类题目，以 2018 年试题为例，一般考虑如下三步：第一步：明确目标函数第一步：明确目标函数. .第二步：根据函数图像与性质研究零点问题第二步：根据函数图像与性质研究零点问题. .第三步：结合图像讨论参数取值范围第三步：结合图像讨论参数取值范围. .【方法总结】函数零点应用问题的常见类型及解题策略(1)已知函数零点存在求参数根据函数零点

5、或方程的根求解参数应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围(2)已知函数零点个数求参数常利用数形结合法(3)借助函数零点比较大小要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)，f(b)与0 的大小1 1 【江苏省江苏省市市 20182018 届高三最后一卷届高三最后一卷 - 备用题数学试题备用题数学试题】已知函数满足，已知函数满足，3 / 9当时，当时， ，若函数恰有个零点，则的取值范围是，若函数恰有个零点，则的取值范围是_【答案答案】.】.在上有两个交点，只需在有一个交点即可，画出两函数图象，如图，由图可得，故答案为.点睛

6、：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质2 2 【江苏省江苏省市市 20182018 届高三调研测试（三）数学试题届高三调研测试（三）数学试题】如果函数在其定义域如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质内总存在三个不同实数，满足，则称函数

7、具有性质. .已知函数具有性质已知函数具有性质 ，则实，则实数的取值范围为数的取值范围为_._.【答案答案】 ，.4 / 9故答案为：点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.3 3 【江苏省盐城中学江苏省盐城中学 20182018 届高三考前热身届高三考前热身 2 2 数学试卷数学试卷】已知函数，若函数有三已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为个零点，则实数的取值范围为_【答案答案】.】.综上，范围是.给答案为：. 点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）

8、利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.4 4 【江苏省南京师大附中江苏省南京师大附中 20182018 届高三高考考前模拟考试数学试题届高三高考考前模拟考试数学试题】已知函数已知函数f(x)f(x)x3x33x23x21 1，g(x)g(x)，若方程，若方程 gfgf (x)(x)a a0 0（a a0 0）有）有 6 6 个实数根个实数根（互不相同）（互不相同） ，则实数，则实数 a a 的取值范围是的取值范围是_【答案

9、答案】5 / 9，由 gf（x）-a=0（a0）得 gf（x）=a， （a0）设 t=f（x） ，则 g（t）=a， （a0）由 y=g（t）的图象知，当0a1 时，方程 g（t）=a 有两个根-4t1-3，或-4t2-2，由 t=f（x）的图象知，当-4t1-3 时，t=f（x）有 0 个根，当-4t2-2 时，t=f（x）有 0 个根，此时6 / 9点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键综合性较强，难度较大5 5 【江苏省海门中学江苏省海门中学 20182018 届高三届高三 5 5 月考试（最后一卷）数学试题月考试

10、（最后一卷）数学试题】已知函数，已知函数，若在区间上有且只有若在区间上有且只有 2 2 个零点，则实数个零点，则实数 m m 的取值范围是的取值范围是_._.【答案答案】.】.【解析解析】分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即分析：将原问题转化为函数交点的问题，结合函数的图象整理计算即可求得最终结果可求得最终结果. .详解：当时，函数的零点满足：，很明显不是其零点，则：，当时，函数的零点满足：，则：，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围.很明显单调递减，且当时， ，7 / 9绘制函数图象如图所示，结合函数图象可知，实数 m 的取值范围是.点睛：

11、函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 6 6 【江苏省扬州树人学校江苏省扬州树人学校 20182018 届高三模拟考试（四）数学试题届高三模拟考试（四）数学试题】已知等边的边已知等边的边长为长为 2 2，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是

12、，点在线段上，若满足的点恰有两个，则实数的取值范围是_【答案答案】.】.关于的方程在区间上有两个不同的实数根设，则函数在区间上有两个不同的零点，解得实数的取值范围是点睛：（1）用定义进行向量的数量积运算时，有时要注意选择合适的基底，将所有向量用同一基底表示，然后再根据数量积的运算律求解（2）对于一元二次方程根的分布问题，可根据“三个二次”间的关系，结合二次函数的图象转化为不等式（组） ，通过解不等式（组）可得所求8 / 97 7 【江苏省扬州树人学校江苏省扬州树人学校 20182018 届高三模拟考试（四）数学试题届高三模拟考试（四）数学试题】已知函数（，已知函数（，为正实数）只有一个零点，则

13、的最小值为为正实数）只有一个零点，则的最小值为_【答案答案】.】.的最小值为.点睛：应用基本不等式求最值时，一定要满足不等式成立的条件，即“一正、二定、三相等” ，若题目中不满足使用基本不等式的条件，则需要通过“拆” 、“拼” 、 “凑”等手段进行变形，以得到能使用不等式的条件，然后再利用不等式8 8 【江苏省江苏省市市 20182018 届高三第三次模拟考试数学试题届高三第三次模拟考试数学试题】已知为自然对数的底已知为自然对数的底数若存在，使得函数在上存在零点，则的取值范围为数若存在，使得函数在上存在零点，则的取值范围为_【答案答案】点睛：(1)本题主要考查函数的零点问题和导数的几何意义，意

14、在考查学生这些基础知识的掌握能力和分析转化数形结合的能力. (2)本题的关键有两点，其一是转化为存在零点，其二是如何数形结合分析两个函数的图像求出 a 的最大值和最小值. 9 9 【江苏省江苏省 20182018 年高考冲刺预测卷一数学年高考冲刺预测卷一数学】已知，若函数且有且只有五个零点，已知，若函数且有且只有五个零点，则的取值范围是则的取值范围是_【答案答案】【解析解析】由题意可知，是的一个零点，由题意可知，是的一个零点，当式，由可得：9 / 9点睛：本题考查了函数的零点问题，先求出一个零点，然后分离含参量，转化为两个函数的交点问题，利用导数求出函数的单调性，画出函数图像，数形结合，求出有

15、四个交点的情况，即最值问题。本题较为综合，有一定难度。1010 【江苏省姜堰、溧阳、前黄中学江苏省姜堰、溧阳、前黄中学 20182018 届高三届高三 4 4 月联考数学试题月联考数学试题】若方程有若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是四个不同的实数根，且，则的取值范围是_._.2|21|0xxt 1234,x xx x1234xxxx 41322 xxxx【答案答案】(8,4 5 【解析解析】如图，由如图，由|x22x1|t=0|x22x1|t=0 得到：得到：t=|t=|（x1x1）22|22|，则，则 0 0t t2 2点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解