微观经济学答案第四章生产论.pdf

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1、 第四章 生产论 1.下面(表 41)是一张一种可变生产要素的短期生产函数的产量表：表 41 可变要素的数量 可变要素的总产量 可变要素的平均产量 可变要素的边际产量 1 2 2 10 3 24 4 12 5 60 6 6 7 70 8 0 9 63 (1)在表中填空。(2)该生产函数是否表现出边际报酬递减如果是，是从第几单位的可变要素投入量开始的 解答：(1)利用短期生产的总产量(TP)、平均产量(AP)和边际产量(MP)之间的关系，可以完成对该表的填空，其结果如表 42 所示：表 42 可变要素的数量 可变要素的总产量 可变要素的平均产量 可变要素的边际产量 1 2 2 2 2 12 6

2、10 3 24 8 12 4 48 12 24 5 60 12 12 6 66 11 6 7 70 10 4 8 70 8f(3 4)0 9 63 7 7 (2)所谓边际报酬递减是指短期生产中一种可变要素的边际产量在达到最高点以后开始逐步下降的这样一种普遍的生产现象。本题的生产函数表现出边际报酬递减的现象，具体地说，由表 42 可见，当可变要素的投入量从第 4 单位增加到第 5 单位时，该要素的边际产量由原来的 24 下降为 12。2.用图说明短期生产函数 Qf(L，K)的 TPL曲线、APL曲线和 MPL曲线的特征及其相互之间的关系。解答：短期生产函数的 TPL曲线、APL曲线和 MPL曲线

3、的综合图如图 41 所示。图 41 由图 41 可见，在短期生产的边际报酬递减规律的作用下，MPL曲线呈现出先上升达到最高点 A 以后又下降的趋势。从边际报酬递减规律决定的 MPL曲线出发，可以方便地推导出TPL曲线和 APL曲线，并掌握它们各自的特征及相互之间的关系。关于 TPL曲线。由于 MPLdTPLdL，所以，当 MPL0 时，TPL曲线是上升的；当 MPL0 时，TPL曲线是下降的；而当 MPL0 时，TPL曲线达最高点。换言之，在 LL3时，MPL曲线达到零值的 B 点与 TPL曲线达到最大值的 B点是相互对应的。此外，在 LL3即 MPL0 的范围内，当 MPL 0 时，TPL曲

4、线的斜率递增，即 TPL曲线以递增的速率上升；当 MPL0 时，TPL曲线的斜率递减，即 TPL曲线以递减的速率上升；而当 MP0 时，TPL曲线存在一个拐点，换言之，在 LL1时，MPL曲线斜率为零的 A 点与 TPL曲线的拐点 A是相互对应的。关于 APL曲线。由于 APLTPLL，所以，在 LL2时，TPL曲线有一条由原点出发的切线，其切点为 C。该切线是由原点出发与 TPL曲线上所有的点的连线中斜率最大的一条连线，故该切点对应的是 APL的最大值点。再考虑到 APL曲线和 MPL曲线一定会相交在 APL曲线的最高点。因此，在图 41 中，在 LL2时，APL曲线与 MPL曲线相交于 A

5、PL曲线的最高点 C，而且与C点相对应的是 TPL曲线上的切点 C。3.已知生产函数 Qf(L，K)2KL0.5L2，假定厂商目前处于短期生产，且 K10。(1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量 TPL函数、劳动的平均产量 APL函数和劳动的边际产量 MPL函数。(2)分别计算当劳动的总产量 TPL、劳动的平均产量 APL和劳动的边际产量 MPL各自达到最大值时的厂商的劳动投入量。(3)什么时候 APLMPL它的值又是多少 解：(1)由生产函数 Q2KL0.5L2，且 K10，可得短期生产函数为 Q20L0.5L210220L0.5L250 于是，根据总产量、平均产量和边际产量的定义，有

6、以下函数 劳动的总产量函数：TPL20L0.5L250 劳动的平均产量函数：APLTPLL200.5L50L 劳动的边际产量函数：MPLdTPLdL20L(2)关于总产量的最大值：令dTPLdL0，即dTPLdL20L0 解得 L20 且 d2TPLdL210 所以，当劳动投入量 L20 时，劳动的总产量 TPL 达到极大值。关于平均产量的最大值：令dAPLdL 0，即dAPLdL 50L20 解得 L10(已舍去负值)且 d2APLdL2100L30 所以，当劳动投入量 L10 时，劳动的平均产量 APL达到极大值。关于边际产量的最大值：由劳动的边际产量函数 MPL20L 可知，边际产量曲线

7、是一条斜率为负的直线。考虑到劳动投入量总是非负的，所以，当劳动投入量 L0 时，劳动的边际产量 MPL达到极大值。(3)当劳动的平均产量 APL达到最大值时，一定有 APLMPL。由(2)已知，当 L10 时，劳动的平均产量 APL达到最大值，即相应的最大值为 APL的最大值2010501010 将 L10 代入劳动的边际产量函数 MPL20L，得 MPL201010。很显然，当 APLMPL10 时，APL一定达到其自身的极大值，此时劳动投入量为 L10。4.区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不变和递减的情况。解答：边际报酬变化是指在生产过程中一种可变要素投入量每增加一个单位

8、时所引起的总产量的变化量，即边际产量的变化，而其他生产要素均为固定生产要素，固定要素的投入数量是保持不变的。边际报酬变化具有包括边际报酬递增、不变和递减的情况。很显然，边际报酬分析可视为短期生产的分析视角。规模报酬分析方法是描述在生产过程中全部生产要素的投入数量均同比例变化时所引起的产量变化特征，当产量的变化比例分别大于、等于、小于全部生产要素投入量变化比例时，则分别为规模报酬递增、不变、递减。很显然，规模报酬分析可视为长期生产的分析视角。5.已知生产函数为 Qmin2L，3K。求：(1)当产量 Q36 时，L 与 K 值分别是多少(2)如果生产要素的价格分别为 PL2，PK5，则生产 480

9、 单位产量时的最小成本是多少 解答：(1)生产函数 Qmin2L，3K表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，总有 Q2L3K。因为已知产量 Q36，所以，相应地有 L18，K12。(2)由 Q2L3K，且 Q480，可得 L240，K160 又因为 PL2，PK5，所以有 CPLLPKK 224051601 280 即生产 480 单位产量的最小成本为 1 280。6.假设某厂商的短期生产函数为 Q35L8L2L3。求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。(2)如果企业使用的生产要素的数量为 L6，是否处理短期生产的合理区间为什么 解答：(1)平均产量函数：AP(

10、L)Q(L)L358LL2 边际产量函数：MP(L)dQ(L)dL3516L3L2(2)首先需要确定生产要素 L 投入量的合理区间。在生产要素 L 投入量的合理区间的左端，有 APMP，于是，有 358LL23516L3L2。解得 L0 和 L4。L0 不合理，舍去，故取 L4。在生产要素 L 投入量的合理区间的右端，有 MP0，于是，有 3516L3L20。解得 L53和 L7。L53不合理，舍去，故取 L7。由此可得，生产要素 L 投入量的合理区间为4,7。因此，企业对生产要素 L 的使用量为 6 是处于短期生产的合理区间的。7.假设生产函数 Q3L。试问：(1)该生产函数是否为齐次生产函

11、数 (2)如果根据欧拉分配定理，生产要素 L 和 K 都按其边际产量领取实物报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗 解答：(1)因为 f(L，K)3(L)(K)0.23L3L，K)所以，该生产函数为齐次生产函数，且为规模报酬不变的一次齐次生产函数。(2)因为 MPLdQdL2.4L MPKdQdK0.6L 所以，根据欧拉分配定理，被分配掉的实物总量为 MPLLMPKK2.4L0.6L2.4L0.6L3L 可见，对于一次齐次的该生产函数来说，若按欧拉分配定理分配实物报酬，则所生产的产品刚好分完，不会有剩余。8.假设生产函数 Q min5L,2K。(1)作出 Q50 时的等产量曲线。(2)推导该生产函

12、数的边际技术替代率函数。(3)分析该生产函数的规模报酬情况。解答：(1)生产函数 Qmin5L,2K是固定投入比例生产函数，其等产量曲线如图 42 所示为直角形状，且在直角点两要素的固定投入比例为KL52。图 42 当产量 Q50 时，有 5L2K50，即 L10，K25。相应的 Q50 的等产量曲线如图 42所示。(2)由于该生产函数为固定投入比例，即 L 与 K 之间没有替代关系，所以，边际技术替代率MRTSLK0。(3)因为 Qf(L，K)min5L,2K f(L，K)min5L,2Kmin5L,2K 所以该生产函数为一次齐次生产函数，呈现出规模报酬不变的特征。9.已知柯布道格拉斯生产函

13、数为 QALK。请讨论该生产函数的规模报酬情况。解答：因为 Qf(L，K)ALK f(L，K)A(L)(K)ALK 所以当 1 时，该生产函数为规模报酬递增；当 1 时，该生产函数为规模报酬不变；当 1 时，该生产函数为规模报酬递减。10.已知生产函数为(a)Q5L13K23；(b)QKLKL；(c)QKL2；(d)Qmin3L，K。求：(1)厂商长期生产的扩展线方程。(2)当 PL1，PK1，Q1 000 时，厂商实现最小成本的要素投入组合。解答：(1)(a)关于生产函数 Q5L13K23。MPL53L23K23 MPK103 L13K13 由最优要素组合的均衡条件MPLMPKPLPK，可得

14、 53L23K23103 L13K13PLPK 整理得 K2LPLPK 即厂商长期生产的扩展线方程为 K2PLPKL(b)关于生产函数 QQKLKL。MPLK(KL)KL(KL)2K2(KL)2 MPKL(KL)KL(KL)2L2(KL)2 由最优要素组合的均衡条件MPLMPKPLPK，可得 K2/(KL)2L2/(KL)2PLPK 整理得 K2L2PLPK 即厂商长期生产的扩展线方程为 KPKPL*L(c)关于生产函数 QKL2。MPL2KL MPKL2 由最优要素组合的均衡条件MPLMPKPLPK，可得 2KLL2PLPK 即厂商长期生产的扩展线方程为 KPL2PKL(d)关于生产函数 Q

15、min(3L，K)。由于该函数是固定投入比例的生产函数，即厂商的生产总有 3LK，所以，直接可以得到厂商长期生产的扩展线方程为 K3L。(2)(a)关于生产函数 Q5L13K23。当 PL1，PK1，Q1000 时，由其扩展线方程 K=2PLPKL 得 K2L 代入生产函数 Q5L13K23得 5L13K231 000 于是，有 L20034，K40034。(b)关于生产函数 QKLKL。当 PL1，PK1，Q1000 时，由其扩展线方程 KPKPL*L 得 KL 代入生产函数 QQKLKL，得 L2LL1 000 于是，有 L2 000，K2 000。(c)关于生产函数 QKL2。当 PL1

16、，PK1，Q1 000 时，由其扩展线方程 KPL2PKL得 K12L代入生产函数 QKL2，得 L2L21 000 于是，有 L1032，K532。(d)关于生产函数 Qmin3L，K。当 PL1，PK1，Q1 000 时，将其扩展线方程 K3L，代入生产函数，得 K3L1 000 于是，有 K1 000，L1 0003。11.已知生产函数 QAL1/3K2/3。判断：(1)在长期生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一种类型(2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配 解答：(1)因为 Qf(L，K)QAL1/3K2/3，于是有 f(L，K)A(L)1/3(K)2/3AL1/3K

17、2/3f(L，K)所以，生产函数 QAL1/3K2/3属于规模报酬不变的生产函数。(2)假定在短期生产中，资本投入量不变，以 K表示；而劳动投入量可变，以 L 表示。对于生产函数 QAL 1/3K23，有 MPL13AL23K23 且 dMPLdL29AL53K230 这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量 MPL是递减的。类似地，假定在短期生产中，劳动投入量不变，以 L表示；而资本投入量可变，以 K 表示。对于生产函数 QA L1/3K2/3，有 MPK23A L1/3K13 且 dMPKdK29A L1/3K430 这表明：在短期劳动投入量不

18、变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量 MPK是递减的。以上的推导过程表明该生产函数在短期生产中受边际报酬递减规律的支配。12.令生产函数 f(L，K)01(LK)122K3L，其中 0i1，i0,1,2,3。(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)证明：在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。解答：(1)根据规模报酬不变的定义 f(L，K)f(L，K)(0)于是有 f(L，K)01(L)(K)122(K)3(L)01(LK)122K3L 01(LK)122K3L(1)0 f(L，K)(1)0 由上式可见，当 00 时，对于任何的 0，有

19、 f(L，K)f(L，K)成立，即当 00 时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。(2)在规模报酬不变，即 00 时，生产函数可以写成 f(L，K)1(LK)122K3L 相应地，劳动与资本的边际产量分别为 MPL(L，K)f(L，K)L121L 12K123 MPK(L，K)f(L，K)K121L12K122 而且有 MPL(L，K)L2f(L，K)L2141L 32K12 MPK(L，K)K2f(L，K)K2141L12K32 显然，劳动和资本的边际产量都是递减的。13.已知某企业的生产函数为 QL2/3K1/3，劳动的价格 w2，资本的价格 r1。求：(1)当成本 C3 000 时，企

20、业实现最大产量时的 L、K 和 Q 的均衡值。(2)当产量 Q800 时，企业实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。解答：(1)根据企业实现给定成本条件下产量最大化的均衡条件 MPLMPKwr 其中 MPLdQdL23L13K1/3 MPKdQdK13L2/3K23 w2 r1 于是有 23L13K 1/3 13L2/3K2321 整理得 KL11 即 KL 再将 KL 代入约束条件 2L1K3 000，有 2LL3 000 解得 L*1 000 且有 K*1 000 将 L*K*1 000 代入生产函数，求得最大的产量 Q*(L*)2/3(K*)1/31 0002/31 0001/3

21、1 000 本题的计算结果表示：在成本 C3 000 时，厂商以 L*1 000，K*1 000 进行生产所达到的最大产量为 Q*1 000。14.画图说明厂商在既定成本条件下是如何实现最大产量的最优要素组合的。图 43 解答：以图 43 为例，要点如下：(1)由于本题的约束条件是既定的成本，所以，在图 43 中，只有一条等成本线 AB；此外，有三条等产量曲线 Q1、Q2和 Q3以供分析，并从中找出相应的最大产量水平。(2)在约束条件即等成本线 AB 给定的条件下，先看等产量曲线 Q3，该曲线处于 AB 线以外，与 AB 线既无交点又无切点，所以，等产量曲线 Q3表示的产量过大，既定的等成本线

22、 AB 不可能实现 Q3的产量。再看等产量曲线 Q1，它与既定的 AB 线交于 a、b 两点。在这种情况下，厂商只要从 a 点出发，沿着 AB 线往下向 E 点靠拢，或者从 b 点出发，沿着 AB 线往上向 E点靠拢，就都可以在成本不变的条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地增加产量，最后在等成本线 AB 与等产量曲线 Q2的相切处 E 点，实现最大的产量。由此可得，厂商实现既定成本条件下产量最大化的均衡条件是 MRTSLKwr，且整理可得MPLwMPKr。图 44 15.画图说明厂商在既定产量条件下是如何实现最小成本的最优要素组合的。解答：以图 44 为例，要点如下：(1)由于本题的约束

23、条件是既定的产量，所以，在图 44 中，只有一条等产量曲线Q；此外，有三条等成本线 AB、AB和 AB以供分析，并从中找出相应的最小成本。(2)在约束条件即等产量曲线Q给定的条件下，先看等成本线 AB，该线处于等产量曲线Q以下，与等产量曲线Q既无交点又无切点，所以，等成本线 AB 所代表的成本过小，它不可能生产既定产量Q。再看等成本线 AB，它与既定的等产量曲线交于 a、b 两点。在这种情况下，厂商只要从 a 点出发，沿着等产量曲线Q往下向 E 点靠拢，或者，从 b 点出发，沿着等产量曲线Q往上向 E 点靠拢，就都可以在既定的产量条件下，通过对生产要素投入量的调整，不断地降低成本，最后在等产量曲线Q与等成本线 AB的相切处 E 点，实现最小的成本。由此可得，厂商实现既定产量条件下成本最小化的均衡条件是 MRTSLKwr，且整理可得MPLwMPKr。