2022-2023学年九年级数学中考复习《相似三角形的应用》解答题专题提升训练(附答案).pdf

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1、2022-2023 学年九年级数学中考复习相似三角形的应用解答题专题提升训练（附答案）1数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前一棵小树的高度，课外活动时她测得一根长为 1m的竹竿的影长是 0.8m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上，她先测得留在墙壁上的影高为 1.3m，又测得地面上的影长为 2.4m，请你帮她计算一下树的高度是多少？2如图，小树 AB 在路灯 O 的照射下形成投影 BC若树高 AB2m，树影 BC3m，树与路灯的水平距离 BP4m，求路灯的高度 OP 3大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社

2、会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上 C 处垂直于地面竖立了高度为 2 米的标杆 CD，这时地面上的点 E，标杆的顶端点 D，古塔的塔尖点 B 正好在同一直线上，测得 EC1.28 米，将标杆向后平移到点 G 处，这时地面上的点 F，标杆的顶端点 H，古塔的塔尖点 B 正好在同一直线上（点 F，点 G，点 E，点 C 与古塔底处的点 A 在同一直线上），这时测得 FG1.92 米，CG20 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 AB 4小红用下面的方法来测量学校教学大楼 AB 的高度：如图，在水平地面点 E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离 AE20 米当她与镜子的距离 CE2.5 米

3、时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端 B已知她的眼睛距地面高度 DC1.6 米，请你帮助小红测量出大楼 AB 的高度（注：入射角反射角）5学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度如图，小明站立在地面点 F 处，他的同学在点 B 处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点 E、杆顶点 A、楼顶点 C 在一条直线上（点 F、B、D 也在一条直线上）已知小明的身高 EF1.5 米，“标杆”AB2.5 米，又 BD23 米，FB2 米（1）求大楼的高度 CD 为多少米（CD 垂直地面 BD）？（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼 CD 上点 G的

4、高度 GD11.5 米，那么相对于第一次测量，标杆 AB 应该向大楼方向移动多少米？6如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC120mm，高 AD80mm，要把它加工成矩形零件 PQMN，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上（1）当点 P 恰好为 AB 中点时，PQ （2）当 PQ40mm，求出 PN 的长度（3）若这个矩形的边 PN：PQ1：2则这个矩形的长、宽各是多少 7 7小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部 B，如图所示于是他们先在古树周围的空地上选择一点

5、 D，并在点 D 处安装了测量器 CD，测得ACD135；再在 BD 的延长线上确定一点 G，使 DG5 米，并在 G 处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着 BG 方向移动，当移动到点 F 时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端 A 的像，此时，测得 FG2 米，小明眼睛与地面的距离 EF1.6 米，测量器的高度 CD0.5 米已知点 F、G、D、B 在同一水平直线上，且 EF、CD、AB 均垂直于 FB，则这棵古树的高度 AB 为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）8如图 1，长、宽均为 3cm，高为 8cm 的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为 6cm，绕底面一棱进行

6、旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图 2 是此时的示意图，将这个情景转化成几何图形，如图 3 所示，（1）利用图 1、图 2 所示水的体积相等，求 DE 的长；（2）求水面高度 CF 9为了在校园内有效开展劳动教育，东方红学校利用学校东南边靠墙的一块面积为单位 1的 RtABC 的空地，把这块空地划分成七八九年级三个部分，如图，在 RtABC 中，点P 是 BC 边上任意一点（点 P 与点 B，C 不重合），矩形 AFPE 的顶点 F，E 分别在 AB，AC 上七年级为矩形 AFPE 部分，八九年级为PEC 和BPF 两部分（1）若 BP：PC2：3，求 SBPF；（2）已知 BC2，SAB

7、C1设 BPx，矩形 AFPE 的面积为 y，求 y 与 x 函数关系式（3）在（2）的情形下，考虑实际情况，要求七年级所分面积最大求出七年级所分矩形 AFPE 部分的面积在 x 为多少时取得最大值，并求出最大值是多少 10一个阳光明媚的午后，小丽和小明准备测量千金塔的高度（塔的顶部 A 不易到达，底部 B 可以到达），他们所带的测量工具有：可调节高度的标杆、皮尺、自制三角板（角度未知）请你用所学过的知识设计一种测量塔高的方案（1）你所选用的测量工具是 ；（填序号）（2）画出测量示意图，并用 a、b、c 等字母表示出测量数据；（不要求写操作步骤）（3）结合测量数据，用含 a、b、c 等字母的式

8、子表示出千金塔的高度 AB 11小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物 OB 的影长 OC 为 16 米，OA 的影长 OD 为 20 米，小明的影长 FG 为 2.4 米，其中 O、C、D、F、G 五点在同一直线上，A、B、O 三点在同一直线上，且 AOOD，EFFG已知小明的身高 EF 为 1.8 米（1）求建筑物 OB 的高度；（2）求旗杆的高 AB 12 九章算术是中国古代第一部数学专著，是算经十书中最重要的一种，成于公元一世纪左右，在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有

9、木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD东边城墙 AB 长 9 里，南边城墙 AD 长 7 里，东门点 E，南门点 F 分别是 AB，AD的中点，EGAB，FHADEG15 里，HG 经过点 A，则 FH 等于多少里？13 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛 A、凉亭顶端 C、小亮头顶 E 三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛 A 离地面 1.6 米（即 AB1.6 米），凉亭顶端 C 离地面 3.2 米（即 CD3.2 米），小明到凉亭的距离 BD 为 4 米，凉亭离城楼底部的距离 DF 为 11 米，小亮身高 EG 为

10、 1.7 米，已知 B、D、F 在同一直线上，F、G、E 在同一直线上，ABBF，CDBF，EFBF，请根据以上数据求出城楼的高度 GF 14周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在点 B 竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E与点 C，A 共线CBAD，EDAD，测得 BC1m，DE1.5m，BD9m测量示意图如图所示请根据相关测量信息，求河宽 AB 152022 年 9 月 16 日，第九批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，离

11、家还是少年身，归来已是报国躯七十多年前，超过 19 万名志愿军战士在异国疆场悲壮地倒下，义无反顾地用血肉之躯把祖国护卫在身后，把炮火挡在了国门之外丹心赤诚，铁骨铮铮，中国人民志愿军用鲜血写就壮丽篇章，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们这几十年的和平，换来了我们国家的富强和人民的幸福 面对美帝国主义精良的精确制导武器，中国人民志愿军战士没有被吓倒，没有先进的武器装备，志愿军战士只能使用以前一些土办法，其中“跳眼法”就是炮兵常用的一种简易测距方法（图 1），结合相似三角形原理和光的直线传播原理，可以计算出被测物的大致距离 如图 2，点 A 为左眼，点 B 为右眼，点 O 为右手大拇指，点 C 为

12、敌人的位置，点 D 为敌人正左侧方的某一个参照物（CDAB），目测 CD 的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算 C 处敌人距离我方的大致距离（1）“跳眼法”运用了相似三角形的哪些知识？（写出一条即可）（2）已知大多数人的眼距长约为 6.4 厘米左右，而手臂长约为 64 厘米左右若 CD 的估测长度为 50 米，那么 CO 的大致距离为多少米？16为了测量学校旗杆上旗帜的宽度 MN，如图，点 P、G、C、A 在同一水平直线上，MGPA，先是小红在 C 处竖立一根标杆 BC（BCPA），地面上的点 A、标杆顶端 B 和点 N在一条直线上（N 在 MG 上），BC1.5 米，AC1 米，AG8

13、米；后是贺小明在 P 处手持自制直角三角纸板 DEF（DPPA），其中 EF0.1 米，DF0.2 米，使长直角边 DF与水平地面平行，调整位置，恰好在 P 点时点 D、E、M 在一条直线上，DP1.5 米，PG23.6 米，请你根据两次测量的结果，求出旗帜的宽度 MN 17如图，为了求出海岛上的山峰 AB 的高度，在 D 处和 F 处竖立标杆 CD 和 EF，标杆的高都是 3 丈，D，F 两处相隔 1000 步（1 丈10 尺，1 步6 尺），并且 AB，CD 和 EF在同一平面内从标杆 CD 后退 123 步的 G 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 C 在一条直线上；从标杆 EF 后退 1

14、27 步的 H 处，可以看到顶峰 A 和标杆顶端 E 在一条直线上求山峰的高度 AB 及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多少步？（提示：连接 EC 并延长交AB 于点 K，用含 AK 的式子表示 KC 和 KE）（本题原出自我国魏晋时期数学家刘徽所著重差，后作为唐代的海岛算经中的第一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合从后表却一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何唐代的 1 尺约等于现在的 31cm）18 学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树

15、的高度已知三角形纸板的斜边长为 0.5 米，较短的直角边长为 0.3 米（1）小丽先调整自己的位置至点 P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为 A、B、C（如图），斜边 AB 平行于地面 MN（点 M、P、E、N 在一直线上），且点 D 在边 AC（较长直角边）的延长线上，此时测得边 AB 距离地面的高度 EF 为 1.5 米，小丽与古树的距离AF 为 16 米，求古树的高度 DE；（2）为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点 Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为 A、B、C（如图），使直角边 BC（较短直角边）平行于地面 MN（点 M、Q、E、N 在一直线上），点 D 在斜边

16、 BA的延长线上，且测得此时边 BC距离地面的高度依然是 1.5 米，那么小丽向前移动了多少米？19 如图为幸福小区入口处安装的汽车出入道闸示意图 如图 1，道闸关闭时，四边形 ABCD是矩形如图 2，在道闸打开的过程中，边 AD 固定，AD直线 l，连杆 AB、CD 分别绕点 A、D 转动，且边 BC 始终与边 AD 平行，P 为 CD 上的一点（不与点 C，D 重合），过点 P 作 PE直线 l，PFMN，垂足分别为 E，F，即四边形 PENF 是矩形，过点 D 作DQPE，垂足为 Q，延长 BC 与 PF 相交于点 R（1）PDQ 与CPR 相似吗？请判断并说明理由（2）若道闸长 AB4

17、 米，宽 AD1 米，点 D 距地面 0.2 米，PE1.16 米，RF0.8 米，CR1.44 米 求点 B 到地面 l 的距离；求 PF 的长 20如图，一张等腰三角形纸片 ABC，底边 BC12cm，高 AD12cm在这张纸片中剪出一个正方形 EFGH，使其一边 FG 在边 BC 上，点 E、H 分别在边 AB，AC 上，且 EH与 AD 交于点 K（1）求证：AEHABC；（2）求正方形 EFGH 的边长；（3）若用这张等腰三角形纸片制作一个正方体的纸盒，如图所示，阴影部分为正方体展开图，直接写出该正方体的棱长 参考答案 1解：如图，设 BD 是 BC 在地面的影子，树高为 xm，根据

18、竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，CB1.3m，BD11.04m，树在地面的实际影子长是 1.04+2.43.44（m），再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，x4.3，答：树高是 4.3m 2解：ABOP，ABCOPC，即，OP（m）答：路灯的高度 OP 是m 3解：根据题意得，EDCEBA，DCHG，CA40（米），AF61.92 米，AB64.5 米，答：古塔的高度 AB 为 64.5 米 4解：如图，根据反射定律知：FEBFED，BEADEC BAEDCE90 BAEDCE；CE2.5 米，DC1.6 米，；AB12.8 大楼 AB 的高为 12.8 米

19、5解：（1）如图 1 中，过点 E 作 EHCD 于点 H，交 AB 于点 J则四边形 EFBJ，四边形EFDH 都是矩形 EFBJDH1.5 米，BFEJ2 米，DBJH23 米，AB2.5 米 AJABBJ2.51.51（米），AJCH，EAJECH，CH12.5（米），CDCH+DH12.5+1.514（米）（2）如图 2 中，过点 E 作 ETCD 于点 T 交 AB 于点 R设 BFx 米，ARGT，x2.5，2.520.5（米），标杆 AB 应该向大楼方向移动 0.5 米 6解：（1）四边形 PNQM 为矩形，MNPQ，即 PQBC，点 P 恰好为 AB 中点时，APBP，AQCQ

20、，PQBC12060（mm），故答案为：60mm；（2）四边形 PNMQ 为矩形，PQBC，ADBC，PQAD，APQABC，AH，PNHD（mm）；（3）设边宽为 xmm，则长为 2xmm，四边形 PNMQ 为矩形，PQBC，ADBC，PQAD，PN：PQ1：2，PQ 为长，PN 为宽，PQBC，APQABC，由题意知 PQ2xmm，AD80mm，BC120mm，PNxmm，解得 x，2x 答：矩形的长mm，宽为mm 7解：如图，过点 C 作 CHAB 于点 H，则 CHBD，BHCD0.5 米，DCH90，ACD135，ACH45，在 RtACH 中，CAH45，AHCHBD，ABAH+B

21、HBD+0.5 EFFB，ABFB，EFGABG90 由反射角等于入射角得EGFAGB，EFGABG，即，解得：BD17.5，AB17.5+0.518（m）这棵古树的高 AB 为 18m 8解：（1）设 DExcm，则 AD（8x）cm，根据题意得：（8x+8）33336，解得：x4，DE4（cm）（2）E90，DE4，CE3，根据勾股定理得 CD5，BCEDCF90，DCE+DCBBCF+DCB，DCEBCF DECBFC90，CDECBF，即，CF（cm）答：CF 的高是cm 9解：（1）四边形 AFPE 是矩形，PFCA，BFPBAC，BP：PC2：3，BP：BC2：5，SABC1，；（

22、2）由（1）得：BFPBAC，BPx，BC2，SABC1，同理，即 y 与 x 的函数关系式为；（3），当 x1 时，y 有最大值，最大值为 10解：（1）选用的测量工具是皮尺，可调节高度的标杆；故答案为：；（2）测量示意图如图所示；（3）如图，AB 的长度为 x，测得标杆 DEa，千金塔和标杆的影长分别为 BCb，EFc，DEFABC，x 千金塔的高度 AB 11解：（1）根据同一时刻，物高与影长成比例得，解得 OB12，OA15，（2）旗杆的高 ABOAOB15123（米），旗杆的高 AB 为 3 米 12解：四边形 ABCD 是矩形，EGAB，FHAD，HFADABAEG90，FAEG

23、HAFG HFAAEG，即，解得 FH1.05 答：FH 等于 1.05 里 13解：过点 A 作 AMEF 于点 M，交 CD 于点 N，由题意可得：AN4m，CN3.21.61.6（m），MN11m，CNEM，ACNAEM，解得：EM6，ABMF1.6m，故城楼的高度为：6+1.61.75.9（米），答：城楼的高度为 5.9m 14解：CBAD，EDAD，BCDE，ABCADE BC1，DE1.5，BD9，解得 AB18 河宽 AB 为 18 米 15解：（1）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边成比例；（2）CDAB，A

24、BODCO，根据题意得，OB64cm，AB6.4cm，CD50m，CD500m，答：CO 的大致距离为 500m 16解：如图，延长 DF 交 MG 于 Q，则 DQMG，DQPG23.6，BCAP，MGAP，BCMG，ABCANG，即，NG12，同理得：DEFDMQ，EF0.1 米，DF0.2 米，DF2EF，MQDQ23.611.8（米），MNMQ+QGGN11.8+1.5121.3（米）答：旗帜的宽度 MN 是 1.3 米 17解：ABBH，CDBH，EFBH，ABCDEF，CDGABG，EFHABH，CDEF3 丈5 步，DG123 步，FH127 步，BD30750 步，得 AB12

25、55 步，答：山峰 AB 的高度及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是 1255 步，30750 步 18解：（1）DFAACB90，DAFCAB，DFABCA，在 RtABC 中，AB0.5m，BC0.3m，由勾股定理得 AC0.4（m），AF16m，DF12（m），DEDF+EF12+1.513.5（m），答：古树的高度 DE 为 13.5 米；（2）DFBACB90，DBFABC，DFBACB，BF9（m），1697（m），答：小丽向前移动了 7 米 19解：（1）相似 理由：四边形 PENF 是矩形，PFl，PEMN DQPQ，DQPF，CPRPDQ ADl，ABAD，PFl，BRP

26、F，CRPPQE90，PDQCPR；（2）延长 CR 交直线 l 于点 G，则点 B 到地面 l 的距离即为线段 BC+CR+RG 的长 四边形 PENF 是矩形，PEl，PFl，PEPF，ADBC，ADl，BCl，BGPFl，四边形 PEGR 是矩形，RGPE，PE1.16 米，CR1.44 米，BCAD1 米，BGBC+RG+RGBC+CR+PE1+1.44+1.163.6（米）故点 B 到地面 l 的距离为 3.6 米；道闸长 AB4 米，设 PCx 米，则 DP（4x）米，由（1）知，PDQCPR，点 D 距地面 0.2 米，PE1.16 米，CR1.44 米，PQPEQE1.160.20.96（米），解得 x2.4，在 RtCPR 中，CR1.44 米，PC2.4 米，PR1.92（米）PF1.92+0.82.72（米）故 PF 的长大约为 2.72 米 20（1）证明：四边形 EFGH 是正方形，EHBC，AEHABC；（2）解：EFDFEMFDM90，四边形 EFDK 是矩形，EFDK，设正方形 EFGH 的边长为 x，AEHABC，x6，正方形 EFGH 的边长为 6cm；（3）解：EFDFEMFDM90，四边形 EFDK 是矩形，EFDK，设该正方体的棱长为 x，AEHABC，x，该正方体的棱长为cm