线三等角典型例题.pdf

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1、 线三等角典型例题-作者:_ -日期:_ “一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例 1、（2015 年山东德州卷）(1)问题：如图 1，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB上一点，DPC=A=B=90.求证：ADBC=APBP.(2)探究：如图 2，在四边形 ABCD 中，点 P 为 AB上一点，当DPC=A=B=时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图 3，在 ABD 中，AB=6，AD=BD=5.点 P 以每秒 1 个单位长度的速度，由点 A 出发，沿边 AB 向点 B 运动，且满足DPC=A.设点 P

2、的运动时间为 t（秒），当以 D 为圆心，以 DC 为半径的圆与 AB相切，求 t 的值.变式 1(2012 年烟台)(1)问题探究 如图 6，分别以 ABC 的边 AC 与边 BC 为边，向 ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2，过点 C 作直线 KH 交直线 AB 于点 H，使AHK=ACD1 作 D1M KH，D2N KH，垂足分别为点 M、N 试探究线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系，并加以证明(2)拓展延伸 1 如图 7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点 C 作直线 K1H1，K2H2，分别交直线 AB 于点 H1、H2，使AH1K1=BH2K2

3、=ACD1 作 D1M K1H1，D2NK2H2，垂足分别为点 M、N D1M=D2N 是否仍成立?若成立，给出证明;若不成立，说明理由 2 如图 8，若将 中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变 D1M=D2N 是否仍成立?(要求:在图 8 中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形 例 1、在 ABC 中，AB=2，B=45，以点 A为直角顶点作等腰t ADE，点 D 在 BC 上，点 E 在 AC 上，若 CE=5，求 CD的长。例 2、(2013 年海淀区一模 22 题最后一问)如图，l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行线，l1、l2 之间的

4、距离是 21/5，l2、l3之间的距离是 21/10，等边 ABC 的三个顶点分别在 l1、l2、l3 上，求 ABC 的边长 例 3、如图，在矩形纸片 A 中，在 边上取点，现将纸片沿 翻折，使点 落在 边上的点 处，当时，求 的长。三、应用举例 1、等腰三角形底边上的一线三等角 例 1、如图 5，在 三角形 ABC 中，AB=AC,D 为 BC 的中点，以 D为顶点作MDN=B.(1)如图 5，当射线 DN 经过 A 时，DM 交 AC 边于点 E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形 ADE 相似的三角形。(2)如图 6，将MDN 绕点 D 逆时针方向旋转，DM,DN 分别交线段 AC,A

5、B 于 E,F 点，（E 和 A 点不重 合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3)在图 6 中，若 AB=AC=10，BC=12，当三角形 DEF 的面积等于三角形面积的 1/4 时，求线段 EF 的长。例 2、如图 8，在 RtABC 中，AB=AC=2，A=90，现取一块等腰直角三角板，将 45 角的顶点放在 BC 中点 O 处，三角板的直角边与线段 AB、AC 分别交于点 E、F，设 BE=x，CF=y，BOE=(45 90)(1)试求 y 与 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围;(2)试判断BEO 与OEF 的大小关系?并说明理由;(3)在三角板绕 O 点旋转的

6、过程中，OEF 能否成为等腰三角形?若能，求出对应 x 的值;若不能，请说明理由 【例 3】（2012 四川成都卷）如图，ABC 和 DEF两个全等的等腰直角三角形，BAC=EDF=90，DEF的顶点 E与 ABC 的斜边 BC 的中点重合将 DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线段 DE 与线段 AB 相交于点 P，线段 EF 与射线 CA 相交于点 Q（1）如图，当点 Q 在线段 AC 上，且 AP=AQ 时，求证：BPECQE；（2）（2）如图，当点 Q 在线段 CA 的延长线上时，求证：BPECEQ；并求当 BP=a，CQ=9a/2 时，P、Q 两点间的距离（用含 a 的代数式表示）6

7、、（东城一模 24.）等边 ABC 边长为 6，P为 BC 边上一点，MPN=60，且 PM、PN 分别于边AB、AC 交于点 E、F.（1）如图 1，当点 P为 BC 的三等分点，且 PEAB时，判断 EPF 的形状；（2）如图 2，若点 P在 BC 边上运动，且保持 PEAB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积的 y，求 y与 x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；（3）如图 3，若点 P在 BC 边上运动，且MPN 绕点 P旋转，当 CF=AE=2时，求 PE的长.2、四边形中的一线三等角 例 1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1cm，M、N 分别是 BC、CD 上两个动点，

8、且始终保持 AM MN，设 BM 的长为 x cm，CN的长为 y cm.求点 M 在 BC 上的运动过程中 y 的最大值 例 2 例 3、如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，BC=4AD=4 2，B=45，点 E、F 分别在边 BC、CD 上移动，且AEF=45，则点 E移动过程中，线段 AF 长 的最小值是（）例 4如图,在梯形ABCD中，ADBC，6ABDCAD，60ABC，点EF，分别在线段ADDC，上（点E与点A D，不重合），且120BEF，设AEx，DFy 求y与x的函数表达式；当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？例 4、如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=9

9、0，AB=8，34tanCAD，CA=CD，E、F分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E与点 A、D不重合），且FEC=ACB，设 DE=x，CF=y.（1）求 AC 和 AD的长；（2）求 y与 x的函数关系式；（3）当EFC 为等腰三角形时，求 x的值.FCBDAE 3、函数问题中的一线三等角 例 1、在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连结 OA，过点 O 作 OB OA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC 如图，当点 A 的横坐标为1/2 时，求点 B 的坐标 例 2、如图，已知直线 y=kx 与抛物线 y=4/27 x2+22/3 交于点 A(3，6)若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点 E 在线段 OA 上(与点 O、A 不重合)，点 D(m，0)是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD 试探究:m 在什么范围时，符合条件的 E 点的个数分别是 1 个、2 个?-THE END,THERE IS NO TXT FOLLOWING.-