D多元函数积分学一.pptx

《D多元函数积分学一.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D多元函数积分学一.pptx（51页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第十、十一章 第十、十一章第十、十一章多元函数积分学(50)一、知识点与考点精讲一、知识点与考点精讲 二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答 第1页/共51页一、知识点与考点精讲一、知识点与考点精讲(一)重积分2.二(三)重积分的性质非均匀空间体的质量三重积分的物理意义:1.二(三)重积分的概念与几何和物理意义二重积分的几何意义:曲顶柱体的体积物理意义:非均匀平面薄片的质量性质1.(与定积分类似)第2页/共51页则有性质4.性质5.若性质3.则有若性质2.其中为D的面积.若则有推论1若则有推论2第3页/共51页性质7.若f(x,y)是D上的连续函数,一点(,),成立,其中 表示D的面积

2、.则有如果积分区域D关于x轴上下对称,则在D上至少存在性质8.(对称性)则有0,其中为D的面积.f(x,y)关于y是偶函数,f(x,y)=f(x,y)即有:f(x,y)关于y是奇函数,f(x,y)=f(x,y)性质6.若M和m 分别是 f(x,y)在D上的最大值与最小值,使等式第4页/共51页如果积分区域如果积分区域D关于关于y轴左右对称轴左右对称,即有:则有0,f(x,y)关于x是奇函数,f(x,y)=f(x,y)f(x,y)关于x是偶函数,f(x,y)=f(x,y)如果积分区域D关于原点对称,即有:则有0,f(x,y)关于x,y是奇函数,f(x,y)=f(x,y)f(x,y)关于x,y是偶

3、函数,f(x,y)=f(x,y)第5页/共51页被积函数的奇偶利用对称性计算二重积分时,对于三重积分也有类似的对称性.注意:即 f(x,y,z)=f(x,y,z),性与积分区域的对称性必须匹配.若f(x,y,z)关于z 是奇函数,若积分区域 关于 xoy 坐标面上下是对称的,则有 若f(x,y,z)关于z 是偶函数,即 f(x,y,z)=f(x,y,z),则有 在xoy 坐标面上方的部分为若积分区域关于xoz坐标面或yoz坐标面对称时,也有类似的性质.而被积函数有相应的奇偶性时,第6页/共51页3.重积分的计算重积分的计算法法利用直角坐标计算二重积分若积分区域 D 可表示为则二重积分可化为二次

4、积分:若积分区域 D 可表示为则二重积分可化为二次积分:(1).二重积分(化为累次积分计算)第7页/共51页特别地特别地:若积分区域 D 可表示为则二重积分可化为两个定积分的乘积:而被积函数可表示为利用极坐标计算二重积分若积分区域 D 可表示为则二重积分可化为二次积分第8页/共51页则 D 可表示为:若积分区域若积分区域 D 的图形为的图形为:此时二重积分可化为二次积分 若积分区域为圆域或部分圆域;或被积函数为一般应选择极坐标计算二重积分.第9页/共51页(2)三重积三重积分分“先一后二法”:“先二后一法”:利用直角坐标计算三重积分 利用柱面坐标计算三重积分第10页/共51页锥体,若积分区域若

5、积分区域 为柱为柱体体,利用球面坐标计算三重积分或锥面与旋转抛物面围成;被积函数为一般应选择柱面坐标计算三重积分.若积分区域为球体或球体的一部分;被积函数为一般应选择球面坐标计算三重积分.第11页/共51页当 为空间曲线时,当L为平面曲线时,对弧长的曲线积分其中ds为弧长元素.(二)对弧长的曲线积分(第一型曲线积分)1.概念:物理意义:非均匀曲线弧的质量.第12页/共51页2.性质性质:与定积分类似.性质8.即对弧长的曲线积分与曲线弧的方向无关.性质9.(对称性)若平面曲线L关于y 轴左右对称,函数 则有被积关于 x 是奇函数,即有若被积函数 关于x是偶函数,即有则有其中是 L在 的部分.第1

6、3页/共51页此外此外,若L关于x轴上下对称,关于y 具有奇偶性,3.计算法:(化为定积分计算)(1)若曲线L:则有(2)若曲线L:则有被积函数 则对弧长的曲线积分有类似的对称性.第14页/共51页(3)若曲线L:则有 若若曲线曲线L:则有(4)若空间曲线:则有第15页/共51页(三三)对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分(第二型曲线积第二型曲线积分分)1.概念:物理意义:质点在变力的作用下沿有向曲线弧 L 从点 A 移动到点 B所作功.2.性质:(与定积分类似)性质8.其中是与L方向相反的曲线弧.即对坐标的曲线积分与曲线弧的方向有关.第16页/共51页 3.计算法计算法.(化为定积分计算)若曲线

7、L:起点A t=,若曲线L:终点B t=.则有起点A x=a,终点B x=b.则有第17页/共51页若曲线若曲线L:起点A y=c,终点B y=d.则有若曲线:起点A t=,终点B t=.则有第18页/共51页4.两类曲线积分的联两类曲线积分的联系系其中,为有向曲线弧L上点(x,y)处切向量的方向角.5.格林公式:若函数 P(x,y),Q(x,y)以及它们的一阶偏导数在闭区域D上连续,则有:其中L 是 D 取正向的边界曲线.(逆时针方向)第19页/共51页6.曲线积分与路径无关的条曲线积分与路径无关的条件件设 D是一个平面单连通区域,P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数,则曲线积

8、分在 D 的充分必要条件是在 D内恒有:(即若是D内两条起点与终点相同,但路径不同的曲线,则有内与路径无关或者则有若 L 是 D 内任意一条封闭曲线,第20页/共51页7.对坐标的曲线积分的计算流程对坐标的曲线积分的计算流程图图:?L不闭合与路径无关L闭合与路径有关L闭合(用格林公式化为二重积分)L不闭合(补边后用格林公式)直接计算起点终点第21页/共51页1.概念:(四四)对面积的曲面积分对面积的曲面积分(第一型曲面积第一型曲面积分分)物理意义:其中dS为曲面面积元素.当曲面的方程为z=z(x,y)时,非均匀曲面的质量.当曲面的方程为x=x(y,z)时,当曲面的方程为y=y(x,z)时,2.

9、性质(与定积分类似)第22页/共51页性质性质8.则有:函数 f(x,y,z)则对面积的曲面积分有类似的对称性.若函数 f(x,y,z)关于z为奇函数,即有则有:若曲面关于xoz坐标面,yoz坐标面对称,有相应的奇偶性,f(x,y,z)=f(x,y,z),且函数 f(x,y,z)关于z为偶函数,即有 若曲面关于xoy坐标面上下对称,为xoy坐标面上方(对称性)f(x,y,z)=f(x,y,z),的曲面,第23页/共51页3.计算法计算法则有:曲曲积化为重积算积化为重积算.”“一代一代,二换二换,三投影三投影,口诀口诀:区域为(2)若曲面的方程为x=x(y,z),曲面在yoz坐标面的投影则有:(

10、3)若曲面的方程为y=y(x,z),曲面在xoz坐标面的投影区域为则有:(化为二重积分计算)(1)若曲面的方程为z=z(x,y),曲面在xoy坐标面的投影区域为第24页/共51页1.概念(五)对坐标的曲面积分(第二型曲面积分)不可压缩的液体以速度流过有向曲面指定侧的流量.2.性质物理意义:(与定积分类似)性质8.其中为取即对坐标的曲面积分与有向曲面的相反侧的曲面.方向(侧)有关.第25页/共51页3.计算计算法法首先应将曲面的方程表示(1)要计算此时曲面分上侧与下侧.再将曲面投影设投影区域为则有:(上侧取+,下侧取.)(化为二重积分计算)(2)要计算首先应将曲面的方程表示再将曲面投影设投影区域

11、为为 z=z(x,y),到xoy坐标面,为 x=x(y,z),此时曲面分前侧与后侧.到yoz坐标面,则有:(前侧取+,后侧取.)第26页/共51页为 y=y(x,z),此时曲面分右侧与左侧,再将曲面投影设投影区域为则有:(右侧取+,左侧取.)口诀口诀:“一代一代,二投二投,三定侧三定侧,曲积化为重积算曲积化为重积算”.首先应将曲面的方程表示到xoz坐标面,(3)要计算要计算4.两类曲面积分的联系:第27页/共51页其中其中为曲面上点M(x,y,z)处的法向量的方向余弦.5.高斯公式:其中取封闭曲面的外侧,是所围的空间区域.第28页/共51页二、典型例题分析与解答二、典型例题分析与解答例例1.1

12、.的值为_.解解:按题目所给累次积分次序无法积分,所以应改变所给二次积分的次序.积不出来,积分 注释注释:本题考查二重积分计算.因为积分由已给二次积分知积分区域 D为:画积分区域 D 的图形.改变积分次序得:题型题型(一一)二重积分二重积分第29页/共51页例例2.解解:则设 f(x,y)为连续函数,等于().依题意积分区域 D为:画D的图形.由于四个选项对积分区域都不划分,只能先对x再对y积分.故选项(C)正确.C注释注释:本题考查累次积分定限.第30页/共51页例例3.设区域 D为:则解解:由于对称性则有极坐标注释注释:本题考查二重积分对称性的应用和在极坐标下的计算.第31页/共51页例例

13、4.解解:设区域计算二重积分画积分区域图形.注释注释:本题考查利用对称性和极坐标计算二重积分.其中极坐标(由于对称性)第32页/共51页题型题型(二二)三重积三重积分分设有空间区域及例例1.解解:C对于选项(A),则有().由于被积函数 f(x,y,z)=x关于x是奇函数,积分区域关于yoz坐标面前后对称,则有故选项(A)错误.同样选项(B)与(D)也错误.对于选项(C),由于被积函数 f(x,y,z)=z关于x与y都是偶函数,积分区域关于yoz和xoz坐标面都对称,故有选项(C)正确.第33页/共51页所围成的区域.画积分区域的图形.例例2.计算三重积分其中是由曲面解解:其中(利用对称性)球

14、面坐标(若用“先二后一法”反而麻烦)第34页/共51页例例3.求 解解:其中是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面 z=4所围成的立体.旋转曲面的方程为:画积分区域的图形.柱面坐标注释注释:本题考查利用柱面坐标计算三重积分.第35页/共51页题型题型(三三)对弧长的曲线积对弧长的曲线积分分设平面曲线 L 为下半圆周则曲线积分解法解法1:由于下半圆周上的点(x,y)也满足则有应填例例1.注释注释:本题考查对弧长曲线积分的计算法.下半圆周的参数方程为解法解法2:则有:显然解法1优于解法2.第36页/共51页解解:设 L 是椭圆其周长为a,例例2.椭圆L 的方程可改写为则则有由于xy是x的奇函数,曲

15、线 L关于y轴对称,则有注释注释:本题考查对弧长曲线积分的计算法与解题技巧.又由于所以第37页/共51页题型题型(四四)对坐标的曲线积对坐标的曲线积分分设L为取正向的圆周例例1.则曲线积分解解:原式的值是_.应填注释注释:本题考查格林公式的应用.格林公式第38页/共51页例例2.设 L为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_.解解:圆周的参数方程为:起点参数为终点参数为则有注释注释:本题考查对坐标的曲线的计算.第39页/共51页L为从点A(2a,0)沿曲线求其中a,b为正的常数,例例3.到点O(0,0)的弧.解解:画积分路径 L 的图形.原式=格林公式注释注释:本题考查对坐标的曲线的计

16、算.第40页/共51页例例4.在变力的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面问当,取何值时,并求出W的最大值.以下求在条件上第一卦限点 M(,),力所作的功W最大?解解:的约束下,W=的最大值.令第41页/共51页由由得从而即得由实际问题知于是得考查变力沿曲线作功的本题是一道综合题,注释注释:计算和条件极值.第42页/共51页题型题型(五五)对面积的曲面积分对面积的曲面积分部分,例例1.设S:为S在第一卦限的解解:则有().对选项(A),由于 f(x,y,z)=x 关于x 是奇函数,曲面S所以有故选项(A)错误.同理选项(B)(D)也错误.关于yoz坐标面对称,C第43页/共51页对于选项对于选

17、项(C),即有故选项(C)正确.注释注释:本题考查被积函数奇偶性和积分区域对称性在对面积的曲面积分中的应用.所以有由于 f(x,y,z)=z 关于x 和y都是偶函数,所以有曲面S关于yoz和xoz坐标面对称,又在曲面上,x,y,z 具有轮换对称性,第44页/共51页例例2.解解:内的部分.则有有:计算曲面积分其中为锥面 在柱体锥面在xoy坐标面的投影区域记为:极坐标对锥面:注释注释:本题考查对面积的曲面积分的计算.第45页/共51页题型题型(六六)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分例例1.1.的外侧,解解:计算曲面积分 设S为曲面 注释注释:本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.由高斯公式知

18、(其中:本题常出现的错误是把三重积分的被积函数用1代换.第46页/共51页例例2.计算其中是由曲面所围立体表面的内侧.解解:积分区域为封闭曲面并取内侧,由高斯公式得:球面坐标 原式=注释注释:本题考查高斯公式的应用.第47页/共51页例例3.计算曲面积分解解:其中为上半球面补平面注释注释:本题考查利用高斯公式计算对坐标的曲面积分.的上侧.并取其下侧.原式=第48页/共51页解解:计算曲面积分其中是曲面例例4.的上侧.注释注释:本题考查高斯公式的应用.补平面并取其下侧.原式=(柱面坐标)第49页/共51页例例5.是的整个边界的外侧,设是由锥面与半球面解解:注释注释:本题考查用高斯公式计算对坐标的曲面积分.围成的空间区域,则由高斯公式知第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页