随机过程随机分析.pptx

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1、1 随机分析简介随机分析简介微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导微积分中普通函数的连续、导数和积分等概念推广到随机过程的连续、导数和积分上即随机分析数和积分上即随机分析第1页/共20页2 随机分析简介随机分析简介一、均方收敛一、均方收敛定义定义6.4 设有二阶矩随机序列设有二阶矩随机序列Xn和二阶矩随机变量和二阶矩随机变量X，若有若有成立，则称成立，则称Xn均方收敛于均方收敛于X。记作记作 或或(mean square)(limit in mean)第2页/共20页3随机分析简介随机分析简介定理定理6.2（柯西收敛定理）（柯西收敛定理）二阶矩随机序列二阶矩随机序列X

2、n收敛于二阶矩随机变量收敛于二阶矩随机变量X的充要条件是的充要条件是第3页/共20页4随机分析简介随机分析简介定理定理6.2 设设Xn,Yn,Zn,都是二阶矩随机序列，都是二阶矩随机序列，U是二阶矩随机变量，是二阶矩随机变量，cn为常数序列，为常数序列，a,b,c为常数，令为常数，令则则(1)(2)(3)第4页/共20页5随机分析简介随机分析简介(4)(5)(6)第5页/共20页6随机分析简介随机分析简介定理定理6.4 设设Xn 为二阶矩随机序列，为二阶矩随机序列，则则Xn均方收敛的充要条件是均方收敛的充要条件是下列极限存在下列极限存在第6页/共20页7随机分析简介随机分析简介二、均方连续二、

3、均方连续定义定义6.6 设有二阶矩过程设有二阶矩过程X(t),t T，若对每一个若对每一个t T，有，有则称则称X(t)在在t点均方连续，记作点均方连续，记作若对若对T中的一切点都均方连续，则称中的一切点都均方连续，则称X(t)在在T上均方连续上均方连续第7页/共20页8随机分析简介随机分析简介定理定理6.5（均方连续准则）（均方连续准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方连续的充要条件为相关函数点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)处连续。处连续。推论推论 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上连续，则它在上连续，则它在T

4、T上连上连续。续。第8页/共20页9随机分析简介随机分析简介三、均方导数三、均方导数定义定义6.7 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，若存在随机过程若存在随机过程X(t)，满足满足则称则称X(t)在在t点均方可微，点均方可微，记作记作并称并称X(t)为为X(t)在在t点的均方导数。点的均方导数。第9页/共20页10随机分析简介随机分析简介若若X(t)在在T上每一点均方可微，则称上每一点均方可微，则称X(t)在在T上均方可微。上均方可微。类似地可定义二阶均方导数类似地可定义二阶均方导数相关函数相关函数RX(t1,t2)的广义二阶导数定义为的广义二阶导数定义为第10页/共20页11随机分析简介

5、随机分析简介定理定理6.6（均方可微准则）（均方可微准则）二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T，在在t点均方可微的充要条件为相关函数点均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点在点(t,t)的广义二阶导数存在。的广义二阶导数存在。推论推论1 二阶矩过程二阶矩过程X(t),t T 在在T上均方可微的充要条件为相关函数上均方可微的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微。上每一点广义二阶可微。推论推论2 若相关函数若相关函数RX(t1,t2)在在(t,t)，t T上每一点广义二阶可微，上每一点广义二阶可微，则则第11页/共20页12随机分析简介随机分析

6、简介 第12页/共20页13随机分析简介随机分析简介四、均方积分四、均方积分设设X(t),t T为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中为普通函数，其中T=a,b，用一组分用一组分点将点将T划分如下：划分如下：a=t0t1tn=b，第13页/共20页14随机分析简介随机分析简介定义定义6.8 如果当如果当 n0时，时，Sn均方收敛于均方收敛于S，即即 ，则称在区间，则称在区间a,b上均方可积，并记为上均方可积，并记为第14页/共20页15随机分析简介随机分析简介定理定理6.7（均方可积准则）（均方可积准则）f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件

7、为 存在，存在，特别地，二阶矩过程特别地，二阶矩过程X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件为上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在在a,b a,b上可积。上可积。第15页/共20页16随机分析简介随机分析简介定理定理6.8 设设 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积，则有上均方可积，则有(1)(2)第16页/共20页17随机分析简介随机分析简介定理定理6.9 设二阶矩过程设二阶矩过程X(t),t T 在区间在区间a,b上均方连续，则上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程在均方意义下存在，且随机过程Y(t),t T在区间在区间a,b上均方可微，有上均方可微，有Y(t)=X(t)。推论推论 设设X(t)均方可微，且均方可微，且X(t)均方连续，则均方连续，则第17页/共20页18随机分析简介随机分析简介例例6.7 设设 X(t),t T 是实均方可微过程，求其导数过程是实均方可微过程，求其导数过程X(t),t T的协方差函数的协方差函数BX (s,t)。解解 由定理由定理6.6推论推论2(1)由定理由定理6.6推论推论2(4)第18页/共20页19随机分析简介随机分析简介 所以所以第19页/共20页20感谢您的观看！第20页/共20页