第4章逻辑函数及其化简-西北工业大学出版社出版-数字电路与数字电子技术--章课件.ppt

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1、第四章 逻辑函数及其化简u逻辑代数：描述事物逻辑关系的数学方法，是分析和设计数字电路的数学工具。u什么是逻辑呢？是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述u事物的两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。14.1逻辑代数 的三种运算u逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。u逻辑代数中有三种基本的逻辑关系，也就是三种基本的逻辑运算。2基本的逻辑运算u1.逻辑或运算u图中灯的

2、亮与否和两个开关接通与否之间存在一个因果关系，两个开关中只要有一个接通，灯便亮。这种因果关系可以归纳为：u只要有一个条件满足，结只要有一个条件满足，结果就会发生。果就会发生。u这种因果关系叫逻辑或。3 F A B 逻辑表达式uA、B表示开关的状态，F表示灯的状态u将开关接通记作逻辑1 开关断开记作逻辑0 灯亮记作逻辑1 灯灭记作逻辑0u可以作出如下表格来描述或逻辑关系：u这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。A AB BF F0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 11 1u真值表4u000 011 101 111uA、B中只要有一个为1，F就

3、为1；A、B同时为0，F才为0。逻辑表达式 F A Bu F 输出逻辑变量，A、B 输入逻辑变量 当输入变量的取值确定之后，输出变量的值便随之确定，因而输入与输出之间是一种函数关系，F是A和B的函数。逻辑函数式 A AB BF F0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 11 1u真值表6u实现逻辑或的电路称为或门 u或门的逻辑符号7u2.逻辑与运算u图中灯亮与否和两个开关接通与否之间的因果关系是，两个开关必须同时接通，灯才亮。这种因果关系可以归纳为：u只有条件同时满足，结果只有条件同时满足，结果才会发生。才会发生。u这种因果关系叫逻辑与。8u0 00 0 10 1 00

4、 1 11uA、B中只要有一个为0，F就为0；A、B同时为1，F才为1。u与门的逻辑符号A AB BF F0 00 00 00 01 10 01 10 00 01 11 11 1u真值表10u3.逻辑非运算u仍然把开关接通作为条件，灯亮作为结果。开关不接通，灯反而亮。这种因果关系可以归纳为：u条件满足时，结果不发生；条件满足时，结果不发生；条件不满足，结果反而发生。条件不满足，结果反而发生。u这种因果关系叫逻辑非（逻辑求反）。114.2 常见的逻辑门电路u除了与、或、非三种基本逻辑运算，还有一些常见的复合逻辑运算：与非、或非、与或非做成了相应的单元电路：与非门、或非门134.2.2 或非门A

5、AB BF F0 00 01 10 01 10 01 10 00 01 11 10 0u真值表u逻辑表达式uA、B中只要有一个为1，F就为1/0；A、B同时为0，F才为0/1 154.2.3 异或门u异或的运算符号为A AB BF F0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 0u真值表164.2.5 与或非门u逻辑表达式18 4.3逻辑函数的表示方法u与、或、非是三种最基本的逻辑运算，实际的逻辑问题往往是三种基本逻辑运算组合起来构成的较复杂的运算关系。u逻辑函数的一般表达式逻辑函数式（逻辑表达式）真值表 逻辑图19u逻辑图u将逻辑函数式中各变量之间的逻辑运算用相应门

6、电路的逻辑符号表示出来，就是该函数的逻辑图。u由于图中的逻辑符号通常都表示了具体的电路器件，又称为逻辑电路图。20u逻辑函数的标准形式u与-或表达式：乘积项（与项）之间只进行或运算的表达式。u乘积项（与项）：变量之间只进行与运算逻辑表达式由真值表写出逻辑表达式21u分析F等于1的情况，输入变量有两种取值组合使F等于1。uF u这两种取值组合都使F等于1，它们之间是或的关系。22u分析F等于1的情况，输入变量有四种取值组合使F等于1uF 24u由真值表转换成逻辑函数式的方法小结：u对应每个函数值为1的输入变量取值组合写成一个乘积项。乘积项中的因子，若输入变量取值为1，则写其原变量；若输入变量取值

7、为0，则写成反变量。将这些乘积项相加，即得到逻辑函数式。25u逻辑函数的运算顺序和书写：u逻辑运算顺序和普通代数一样，先算括号里的内容，然后做与运算，最后做或运算。先或后与的运算式，或运算要加括号。如 逻辑式求反时可以不再加括号。如 可以写成26u建议归入建议归入常用公式常用公式28(摩根定理摩根定理)29u若用函数FBC代替等式中的变量B，则摩根定理31(1)+;(2)A,B A,B;(3)01u2.反演规则u注意：.不能改变原式的运算顺序，变换时先变()，然后变“”，最后变“”。b.不属于单个变量上的反号应保留。u对于任意一个逻辑函数式,若把式中并保持原来的运算顺序，所得到的结果就是 F。

8、F 称为原函数F的反函数。3233(1)+;(2)A,B A,B (3)01(1)+;(2)01u3.对偶规则u如果两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。FF*FF34353.4 逻辑代数的常用公式u若两个乘积项中分别包含互为反变量的两个因子，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。36u如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。u如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。37u推论u如果两个乘积项分别包含互为反变量的两个因子，而这两项的剩余因子正好组成第三项，则第三项是多余的。u前两项剩余因子BC只要是第三项的因子，则第三项也

9、是多余的。38(5)A AB B0 00 00 00 01 11 11 10 01 11 11 10 0F2=AB1 10 00 01 1393.7 逻辑函数的代数化简方法u同一个逻辑函数可以有不同形式的逻辑表达式，相应的逻辑图也不同，即实现它的电路也不同（但它们对应唯一的真值表）。403.7 逻辑函数的代数化简方法u逻辑函数的最简形式u最简与-或表达式 乘积项的个数最少;每个乘积项中变量的个数最少。u逻辑表达式越简单，实现它的电路越简单（所用的门越少，输入端数越少）。任何F都可以写成与-或表达式的形式41 运用逻辑代数的基本公式和常用公式进行化简。u1.并项法 利用公式 将两项并为一项u若两

10、个乘积项中分别包含互为反变量的两个因子，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。逻辑函数的代数化简方法(公式化简方法)42u2.吸收法 利用公式 将多余项吸收掉u如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。43u3.消去因子法 利用公式 消去多余的因子。u如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。44u4.消项法 利用公式 消去多余的乘积项。u如果两个乘积项分别包含互为反变量的两个因子，而这两项的剩余因子正好组成第三项，则第三项是多余的。4546u5.添加项法u利用A+A=1,可将函数某一项乘以(A+A)，展开后消去更多的项。或利

11、用ABACBCABAC，增加必要的乘积项，再用并项或吸收的办法消去更多的项。证明包含律47u代数法化简需要熟练地运用公式，而且需要有一定的技巧，有时不容易判断是否已化简到最简形式。p89483.6.2 最小项u最小项及其性质u在n个变量的逻辑函数中,包含所有变量的乘积项叫做这n个变量的最小项，在一个最小项中，每个变量都以原变量或反变量的形式作为一个因子出现一次。3个变量A、B、C的最小项共238个最小项49A B CABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABCABC0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1

12、 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 01 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1三变量全部最小项的真值表m1m3m5m0m750u每一个最小项都对应一组变量取值，在这组变量

13、取值下，该最小项的值为 1，其余的最小项都是 0。u通常对最小项进行编号，编号的方法是，把与最小项对应的那一组变量取值视为二进制数，与其对应的十进制数就是该最小项的编号。u例如3个变量A、B、C的最小项中，ABC对应的变量取值是101，相应的十进制数是“5”，因此该最小项的编号是5，记作m5。p8551最小项 变量取值表示符号 A B C A B C 0 0 0 m0 A B C 0 0 1 m1 A B C 0 1 0 m2 A B C 0 1 1 m3 A B C 1 0 0 m4 A B C 1 0 1 m5 A B C 1 1 0 m6 A B C 1 1 1 m7三变量最小项编号52

14、u逻辑函数的最小项表达式u任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式u对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用互补律AA1 来配项展开成最小项表达式。53uF 54最小项性质 1.全体最小项之和为 12.任意两个最小项之积为 03.两个相邻项可以合并成一个乘积项，并消去一个变量。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）553.8 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法 3.8.1 最小项的卡诺图u卡诺设计了一种最小项方格图，每个小方格对应于一个最小项，n个变量就有2n个小方格，把逻辑相邻的最小项安排在位

15、置相邻的方格中。这种最小项方格图称为卡诺图。0 1 0 AB AB 1 AB AB 0 1 0 m0 m1 1 m2 m3ABBA56 0 1 0 1 1 0 0 ABC ABC ABC ABC 1 ABC ABC ABC ABC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6ACABC 逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻。B P130 简化形式的卡诺图 57 0 100 CBA CBA1 CBA CBA11 CBA CBA0 CBA CBAAC 0 1 0 0 m0 m1 0 1 m2 m3 1 1 m6 m7 1 0 m4 m5AC B B5801 0 1

16、1 00 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m61 1 m12 m13 m15 m14 0 m8 m9 m11 m10ACu逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻。BD P130 简化形式的卡诺图见下一页 59 00 01 11 10 00 m0ABCD m3ABCD 01ABCD m5 m7ABCD 11ABCD m13 m15ABCD 10 m8ABCD m11ABCDABCDuP90第七行：同一行或同一列两端的小方格在位置上也看成是相邻的，卡诺图具有循环相邻的特性。即，在卡诺图中，相邻最小项包括上下底相邻，左右边相邻。603.8.2 逻辑函数的卡诺图u一个逻辑函数除了可以用真

17、值表、逻辑表达式、逻辑图等方法来表示，还可以用卡诺图来表示。u已知一个逻辑函数的最小项表达式，画该逻辑函数的卡诺图的方法是：u对于最小项表达式中的每一个最小项，在卡诺图对应的小方格中填 1，其余的小方格填 0。p9061 00 01 11 10 00 10 11 13 12 01 04 05 07 06 11 012 013 115 114 10 08 09 011 010ABCD62 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6ABC 00 01 11 10 0 ABC ABC ABC ABC 1 ABC ABC ABC ABCABCBCACu两个逻辑相邻的

18、最小项可以合并成一项，消去一个互为反变量的因子，结果是保留公因子。63 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10ABCDABDACDBCDABD64 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6ABCC 00 01 11 10 0 m0 m1 m3 m2 1 m4 m5 m7 m6ABCBA65 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10

19、ABCDADABCDu四个排成矩形的相邻最小项可以合并成一项，消去两个变量，结果也是保留公因子。注意：相邻最小项包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻66 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10ABCDBDBDu下面将会看到，八个排成矩形的相邻最小项圈在一起，可以合并成一个乘积项，消去三个变量。67 00 01 11 10 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10ABCD 00 01 11 1

20、0 00 m0 m1 m3 m2 01 m4 m5 m7 m6 11 m12 m13 m15 m14 10 m8 m9 m11 m10ABCDBCD68用卡诺图化简逻辑函数的步骤 根据逻辑函数填卡诺图；按最小项表达式填卡诺图，凡函数式中包含的最小项，其对应方格填 1，其余方格填 0 由一般与或表达式直接填卡诺图 将能够合并的最小项圈起来，即把相邻的 1 圈在一起；每一个包围圈内的最小项合并成一个乘积项，将各乘积项相加即是最简的与或表达式。69 00 01 11 10 00 10 11 13 12 01 04 05 07 06 11 012 013 115 114 10 08 09 011 01

21、0ABCDABABC70u卡诺图化简的“两个最少”原则包围圈的个数要尽可能少，使化简后乘积项的个数最少。（乘积项最少原则）包围圈要尽可能大。包围圈越大，消去的变量越多，合并后得到的乘积项中变量的个数越少。（乘积项中变量最少原则）71 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1CA Bu画包围圈时应注意:包围圈内的方格数必定是 2n,n=1,2,3 合并后消去 n 个变量。同一个最小项可以被不同的包围圈重复包围，但是每一个圈至少应包含一个新的最小项，否则就是多余的。72 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1ABCD圈相邻项时，一般先把只有

22、一种圈法的相邻项圈出来，然后用尽可能大的圈覆盖未圈过的最小项。73 00 01 11 10 00 1 01 1 1 1 11 1 1 1 10 1 ABCD74 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 1 11 1 1 10 1 1ABCDCDBCABDABDABCD75 00 01 11 10 00 1 1 01 1 11 1 1 1 10 1 1 ABCDu说明 在有些情况下，不同圈法得到的与或表达式都是最简形式。即一个函数的最简与或表达式不是唯一的。u本例中m15有两种圈法，都符合最少原则。76 3.8.3 随意项 例:按8421BCD码设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数

23、是奇数还是偶数。A B C D A B C DF F A B C D A B C DF F 说说 明明 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 0 0 1 0 0 0 01 1 0 0 0 0 0 0 1 10 0 1 0 0 1 0 0 1 10 0 0 0 1 0 0 1 0 01 1 1 0 1 1 0 1 0 0 不会出现不会出现 0 0 1 0 0 1 1 10 0 1 0 1 1 0 1 1 1 不会出现不会出现 0 1 0 0 1 0 0 01 1 1 1 0 1 1 0 0 0 不会出现不会出现 0 1 0 0 1 0 1 10 0 1 1 0 1 1 0 1 1 不会出现不

24、会出现 0 1 1 0 1 1 0 01 1 1 1 1 1 1 1 0 0 不会出现不会出现 0 1 1 0 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 1 1 1 不会出现不会出现77u输入变量A,B,C,D取值为00001001时，逻辑函数F有确定的值，根据题意，偶数时为1，奇数时为0uA,B,C,D取值为1010 1111的情况不会出现或不允许出现。u随意项：不会出现的输入变量取值组合所对应的最小项叫做随意项。用符号“”、“”或“d”表示78u由于每一组输入变量的取值都使一个对应的最小项的值为 1，所以当某些输入变量的取值组合不会出现时，可以用它们对应的最小项（即随意项）恒等于 0 来表

25、示。u可以用约束方程来表示输入变量之间的约束关系u随意项之和d 称为随意条件。u在上面的例子中，m10=m11=m12=m13=m14=m15=0 m10+m11+m12+m13+m14+m15=0 d（m10，m11，m12，m13，m14，m15）0 79 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 10 1 ABCD 00 01 11 10 00 1 1 01 1 1 11 10 1 ABCDDADBCD80u比较以上两种化简结果，可以看出，利用随意项化简获得的逻辑函数简单得多。u 含有随意条件的逻辑函数可以表示成如下形式：81 00 01 11 10 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1ABC 3.8.4 卡诺图化简求最简或-与表达式u若卡诺图中含 0 的小方格数目小于含 1 的小方格数，也可以用圈 0 的方法先求反函数 F。82 00 01 11 10 00 1 0 1 1 01 0 1 1 1 11 10 1 1 ABCD83