统计过程控制-spc-与休哈特控制图_02.doc.pdf

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1、统计过程控制（统计过程控制（SPCSPC）与休哈特控制图）与休哈特控制图(二二)第五章第五章 休哈特控制图休哈特控制图一、一、特控制图的种类及其用途特控制图的种类及其用途国标 GB4091 常规控制图是针对休哈特控制图的。根据该国标,常规休哈特控制图如表常规的休哈特控制图。表中计件值控制图与计点值控制图又统称计数值控制图。这些控制图各有各的用途,应根据所控制质量指标的情况和数据性质分别加以选择。常规的休哈特控制图表中的二项分布和泊松分布是离散数据场合的两种典型分布,它们超出 3界限的第类错误的概率当然未必恰巧等于正态分布 3界限的第 I 类错误的概率=0.0027,但无论如何总是个相当小的概率

2、。因此,可以应用与正态分布情况类似的论证,从而建立 p、pn、c、u 等控制图。常规的休哈特控制图数据计量值分布正态分布控制图均值-极差控制图简记x一 R控制图均值-标准差控制图x一 R控制图Xmed 一 R控制图x 一 Rs控制图P控制图Pn控制图U控制图C控制图中位数-极差控制图单值-移动极差控制图计件值二项分布不合格品率控制图不合格品数控制图计点值泊松分布单位缺陷数控制图缺陷数控制图现在简单说明各个控制图的用途:1.x一 R 控制图。对于计量值数据而言,这是最常用最基本的控制图。它用于控制对象为长度、重量、强度、纯度、时间和生产量等计量值的场合。x控制图主要用于观察分布的均值的变化,R

3、控制图用于观察分布的分散情况或变异度的变化,而x一 R 图则将二者联合运用,用于观察分布的变化。2.x一 s 控制图与x一 R 图相似,只是用标准差图(s 图)代替极差图(R 图)而已。极差计算简便,故 R 图得到广泛应用,但当样本大小 n10 或口,这时应用极差估计总体标准差。的效率减低,需要应用 s 图来代替 R 图。3.XMED 一 R 控制图与x一 R 图也很相似,只是用中位数图(XMED 图)代替均值图(x图)。所谓中位数即指在一组按大小顺序排列的数列中居中的数。例如,在以下数列中 2、3、7、13、18,中位数为 7。又如,在以下数列中 2、3、7、9、13、18,共有偶数个数据。

4、这时中位数规定为中间79两个数的均值。在本例即2=8。由于中位数的计算比均值简单,所以多用于现场需要把测定数据直接记入控制图进行控制的场合,这时为了简便,当然规定为奇数个数据。4.x 一 Rs 控制图。多用于下列场合:对每一个产品都进行检验,采用自动化检查和测量的场合;取样费时、昂贵的场合;以及如化工等过程,样品均匀,多抽样也无太大意义的场合。由于它不像前三种控制图那样能取得较多的信息,所以它判断过程变化的灵敏度?要差一些。5.P 控制图。用于控制对象为不合格品率或合格品率等计数值质量指标的场合。这里需要注意的是,在根据多种检查项目总合起来确定不合格品率的情况,当控制图显示异常后难以找出异常的

5、原因。因此,使用 p 图时应选择重要的检查项目作为判断不合格品的依据。常见的不良率有不合格品率、废品率、交货延迟率、缺勤率,邮电、铁道部门的各种差错率等等。6.Pn 控制图。用于控制对象为不合格品数的场合。设 n 为样本大小-户为不合格品率,则 t 为不合格品个数。所以取 pn 作为不合格品数控制图的简记记号。由于计算不合格品率需进行除法,比较麻烦,所以在样本大小相同的情况下,用此图比校方便。7.c 控制图。用于控制一部机器,一个部件,一定的长度,一定的面积或任何一定的单位中所出现的缺陷数目。如布匹上的疵点数,铸件上的砂眼数,机器设备的缺陷数或故障次数,传票的误记数,每页印刷错误数,办公室的差

6、错次数等等。8.u 控制图。当上述一定的单位,也即样品的大小保持不变时可以应用c 控制图,而当样品的大小变化时则应换算为平均每单位的缺陷数后再使用 u 控制图。例如,在制造厚度为 2mm 的钢板的生产过程中,一批样品是 2 平方米的,下一批样品是 3 平方米的。这时就都应换算为平均每平方米的缺陷数,然后再对它进行控制。二、应用控制图需要考虑的一些问题二、应用控制图需要考虑的一些问题应用控制图需要考虑以下一些问题:1.控制图用于何处?原则上讲,对于任何过程,凡需要对质量进行控制管理的场合都可以应用控制图。但这里还要求:对于所确定的控制对象一质量指标应能够定量,这样才能应用计量值控制图。如果只有定

7、性的描述而不能够定量,那就只能应用计数值控制图。所控制的过程必须具有重复性,即具有统计规律。对于只有一次性或少数几次的过程显然难于应用控制图进行控制。2.如何选择控制对象?在使用控制图时应选择能代表过程的主要质量指标作为控制对象。一个过程往往具有各种各样的特性,需要选择能够真正代表过程情况的指标。例如,假定某产品在强度方面有问题,就应该选择强度作为控制对象。在电动机装配车间,如果对于电动机轴的尺寸要求很高,这就需要把机轴直径作为我们的控制对象。在电路板沉铜缸就要选择甲醛、Na0H、Cu度以及沉铜速率作为多指标统一进行控制。3.怎样选择控制图?选择控制图主要考虑下列几点:首先根据所控制质量指标的

8、数据性质 来进行品,如数据为连续值的应选择x一 R、x一 s、XMED 一 Rs 或 x 一 Rs 图;数据为计件值的应选择 p2的浓或pn图,数据为计点值的应选择c或u图。其次,要确定过程中的异常因素是全部加以控制(全控)还是部分加以控制(选控),若为全控应采用休哈特图等;若为选控,应采用选控图,参见第七章(一);若为单指标可选择一元控制图,若为多指标则须选择多指标控制图,参见第七章(二)。最后,还需要考虑其他要求,如检出力大小,抽取样品、取得数据的难易和是否经济等等。例如要求检 出力大可采用成组数据的控制图,如x一 R 图。4.如何分析控制图?如果在控制图中点子未出界,同时点子的排列也是随

9、机的,则认为生 产过程处于稳定状态或控制状态。,如果控制图点子出界或界内点排列非随机,就认为生产过程失控。对于应用控制图的方法还不够熟悉的工作人员来说,即使在控制图点子出界的场合,也首先应该从下列几方面进行检查:样品的取法是否随机,数字的读取是否正确,计算有无错误,描点有无差错,然后再来调查生产过程方面的原因,经验证明这点十分重要。5.对于点子出界或违反其他准则的处理。若点子出界或界内点排列非随机,应执行第二章（五）的 20 个字,立即追查原因并采取措施防止它再次出现。应该强调指出,正是执行了第二章（五）的20 个字,才能取得贯彻预防原则的作用。因此,若不执行这 20 个字,就不如不搞控制图。

10、6.对于过程而言,控制图起着告警铃的作用,控制图点子出界就好比告警铃响,告诉现在是应该进行查找原因、采取措施、防止再犯的时刻了。虽然有些控制图,如x一 R 控制图等,积累长期经验后,根据x图与 R 图的点子出界情况,有时可以大致判断出是属于哪方面的异常因素造成的,但一般来说,控制图只起告警铃的作用,而不能告诉这种告警究竟是由什么异常因素造成的。要找出造成异常的原因,除去根据生产和管理方面的技术与经验来解决外,应该强调指出,应用两种质量诊断理论和两种质量多元诊断理论来诊断的方法是十分重要的。有关内容参见第七章。7.控制图的重新制定。控制图是根据稳定状态下的条件(人员、设备、原材料、工艺方法、环境

11、,即 4M1E)来制定的。如果上述条件变化,如操作人员更换或通过学习操作水平显著提高,设备更新,采用新型原材料或其他原材料,改变工艺参数或采用新工艺,环境改变等,这时,控制图也必须重新加以制定。由于控制图是科学管理生产过程的重要依据，所以经过相当时间的使用后应重新抽取数据,进行计算,加以检验。8.控制图的保管问题。控制图的计算以及日常的记录都应作为技术资料加以妥善保管。对于点子出界或界内点排列非随机以及当时处理的情况都应予以记录,因为这些都是以后出现 异常时查找原因的重要参考资料。有了长期保存的记录,便能对该过程的质量水平有清楚的了解,这对于今后在产品设计和制定规格方面是十分有用的。三、三、x

12、-R(-R(均值均值-极差极差)控制图控制图对于计量值数据,x一 R(均值一极差)控制图是最常用、最重要的控制图,因为它具有下列优点:1.适用范围广。对于x图而言,计量值数据 x 服从正态分布是经常出现的。若x 非正态分布,则当样本大小 n4 或 5 时,根据中心极限定理,知道x近似正态分布。对于 R 图而言,通过在电子计算机上的统计模拟实验证实,只要总体分布不是太不对称的,R 的分布没有大的变化。这就从理论上说明了x一 R 图适用的范围广泛。2.灵敏度高。x图的统计量为均值x,反映在 x 上的偶然波动是随机的,通过均值的平均作用,这种偶然波动得到一定程度的抵消;而反映在 x 上的异常波动往往

13、是在同一个方向的,它不会通过均值的平均作用抵消。因此,正图检出异常的能力高。至于 R 图的灵敏度则不如x图高。),且,均已 知。现在说明一下x一 R 图的统计基础,假定质量特性服从正态分布N(,若 x1,x2,.,xn是大小为 n 的样本,则样本均值为2x1 x2.xnx=n由于x服从正态分布 N(,/n),并且样本均值落入下列两个界限/22-z=-z/2n (5.3-1a)n (5.3-1b)+z=+z/2/2间的概率为 1-。因此若 与 已知,则式(5.3-1a)与式(5.3-1b)可分别作为样本均值的控制图的上下控制界限。如前述,通常取 Za/2=3,即采用 3控制界限。当然,即使 x

14、的分布是非正态的,但由于中心极限定理,上述结果也近似成立。在实际工作中,与通常未知,这时就必须应用从稳态过程所取的预备样本的数据对它们进行估计。预备样本通常至少取 25 个(根据判稳准则(2),最好至少取 35 个预备样本)。设取 m 个样本,每个样本包含 n 个观测值。样本大小 n 主要取决于合理分组的结构,抽样与检查的费用,参数估计的效率等因素,n 通常取为 4,5 或 6。令所取的m 个样本的均值分别为x1,x2,.,xm,则过程的的最佳估计量为总均值x,即=x=（x1+x2+xm）/m (5.3-2)于是x可作为x图的中心线。为了建立控制界限,需要估计过程的标准差可以根据m 个样本的极

15、差或标准差来进行估计。应用极差进行估计的优点是极差计算简单,所以至今 R 图的应用较 s 图为广。现在讨论极差法。设x1,x2,.,xn为一大小为n的样本,则此样本的极差R为最大观测值xmax与最小观测值 xmin之差,即R=xmax-xmin(5.3-3)若样本取自正态总体,可以证明样本极差 R 与总体标准差 有下列关系:令 W=R/,可以证明E(W)=d2,为一与样本大小n 有关的常数,于是,的估计量为=E(R)/d2。令 m 个样本的极差为R1,R2,.,Rm,则样本平均极差为R1 R2.RmmR=(5.3-4)故的估计量为=E(R)/d2 (5.3-5)若样本大小 n 较小,则用极差法

16、估计总体方差与用样本方差去估计总体方差的效果是一样的。但当 n 较大,如 n10 或 12,则由于极差没有考虑样本在 xmax与 xmin之间的观测值的信息,故极差法的效率迅速降低。但在实际工作中,x一 R 图一般取 n=4，5 或 6,所以极差法是令人满意的。若取的估计量为x，的估计量为 E(R)/d2,则x图的控制线为UCL=+3nx+3d2 nR=x+A2R CL=x (5.3-6)LCL=-3nx-3d2 nR=x-A2R式中A2=3d2 n (5.3-7)为一与样本大小 n 有关的常数,参见附录计量值控制图系数表。由上述,已知样本极差 R 与过程标准差 有关,因此可以通过 R 来控制

17、过程的变异度,这就是R 图。R 图的中心线即=R。为了确定R 图的控制界限,需要对 R进行估计。若质量特性服从R正态分布,令 W=R/,可以证明 w=d3(d3 为一与样本大小n 有关的常数),于是从 R=W 知知 R=w=d3。由于 未知,故从式=E(R)/d2 得 R的估计量为=d3R/d2(5.3-8)根据上述,得到 R 图的控制线如下 UCL=CL=R+3d3R/d2+3R+3RRRR=R (5.3-9)R LCL=R-3d3R/d2-3R-3RRR令 D3=1-3d3/d2，D4=1+3d3/d2，则代入上式后，得R 图的控制线为 UCL=DD4R CL=R (5.3-10)LCL=

18、3R式中,系数 D3、D4 参见计量值控制图系数表。现在我们通过例子说明建立x一 R 图的步骤,其他控制图的建立步骤也与此类似。例 5.3-1 厂方要求对汽车引擎活塞环的制造过程建立x一 R 控制图进行控制。现取得 25 个样本，每个样本包含 5 个活塞环的直径的观测值，如活塞环直径的数据表所示。解 我们按下列步骤进行。步骤 1:取预备数据。已取得预备数据如活塞环直径的数据表所示。步骤 2:计算样本均值x。例如,对于第一个样本,我们有74.030 74.002 74.019 73.992 74.0085x1=74.010其余类推。步骤 3:计算样本极差 R。例如,对于第一个样本,xmax=74

19、.030,xmin=73.992,于是有 R1=74.030-73.992=0.058其余类推。活塞环直径的数据样本序号12345674.03073.99573.98874.00273.99274.009观测值74.00273.99274.02473.99674.00773.99474.01974.00174.02173.99374.01573.99773.99274.00174.00574.01573.98973.98574.00874.01174.00274.00974.01574.014x174.01074.00174.00874.00374.00373.996Ri0.0380.0190

20、.0360.0220.0260.0247891011121314151617181920212223242573.99573.98574.00873.99873.99474.00473.98374.00674.01274.00073.99474.00673.98474.00073.99874.00474.01074.01573.98274.00674.00373.99574.00073.99874.00074.00273.96774.01473.98474.01274.01074.00274.01074.01073.99973.98974.00873.98473.99473.99374.009

21、73.99073.99474.00773.99873.99474.99874.00573.98674.01874.00374.01374.01373.99073.99073.99373.99573.00074.01574.00574.00773.99574.00073.99974.00073.99973.99874.00574.00374.00574.02074.02074.00674.00974.00074.01773.00573.98874.00473.99573.99073.99674.00773.98474.00773.99674.00774.00073.99774.00374.003

22、74.00974.01474.01074.01374.00073.99774.00473.99873.99474.00174.00673.99074.00673.99774.00174.00773.99874.00774.00974.00274.00274.00573.9980.0120.0300.0140.0170.0080.0110.0290.0390.0160.0210.0260.0180.0210.0180.0200.0190.0250.0220.035小计1850.0240.581平均74.0010.023步骤 4:计算样本总均值x与平均样本极差故R。由于xii125=1850.02

23、4,Ri125=0.581,1x=25xii1251850.02425=74.001R1=25Ri1250.581=25=0.023步骤 5:计算 R 图与x图的控制线。计算x一 R 图应该从 R 图开始,因为x图的控制界限中包含R,所以若过程的变异度失控,则计算出来的这些控制界限就没有多大意义。对于样本大小 n=5,从附录 V 查得 D3=0,D4=2.115,又从步骤 4 知 R=0.023,于是代入式(5.3-10)后,得到 R 图的控制线为 UCL=D4R=2.115(0.023)=0.049 CL=R=0.023 LCL=如x一 R 控制图所示。事实上,LCL=D3R=(1 一 3d

24、2/d3)R,当 n=5,1-3d2/d3=1-3(0.864)/2.326=-0.114 为负值,但 R 不可能为负,故此时 LCL 不存在。这里,LCL=0 不过作为 R 的自然下界而已。当把 25 个预备样本的极差描点在 R 图中后,根据判断稳态的准则(1)知过程的变异度处于控制状态。于是可以建立x图。D3R=0(0.023)=0对于样本大小 n=5,从附录 V 查得 A2=0.577,又从步骤 4 知x=74.001,R=0.023,于是代入式UCL=+3nx+3d2 nR=x+A2R CL=xLCL=-3nx-3d2 nR=x-A2R后,得到x图的控制线为 UCL=x+A2R=74.

25、001+0.577(0.023)=74.014 CL=x=74.001 LCL=x-A2R=74.001 一 0.577(0.023)=73.988如图（x-R 控制图）所示。当把预备样本的均值描点在x图中后,根据判断稳态的准则(1)知过程的均值处于稳态。由于x图和 R 图都处于统计稳态,且从该厂知过程也处于技术稳态,于是上述x-R 图可加以延长,作为控制用控制图供日常管理之用。步骤 6:延长上述x一 R 图的控制界限作控制用控制图。为了进行日常管理,该厂又取了 15 个样本,参见x一 R 图的日常管理数据表。在计算出各个样本的x与 R 后在x一 R 图描点,如x一 R图用于日常管理图所示。从

26、图中可见,x图在第 11 个样本后的几个点子均出界,说明存在异常因素。事实上,从 x 图上第 9、第 10 个点子后的点子逐渐上升的趋势已可看出这是由于过程均值逐渐增大的结果。现在对x一 R 图进行一些讨论:1.如何联合应用x一 R 图查找异常。如表（x一 R 图的判断）所示,表中情况一、二、四的判断是成立的,至于情况三,现在说明如下:对于正态分布总体 N(,),只有 变化而 2不变,则在x图将由于描点出界的概率增大而告警;但若只有 变化,而 不变,这时不仅 R 图将由于描点出界的概率增大而告警,且x图中描点出界的概率也增大,从而也会告警。所以在情况三,R图告警可以判断变化,而x图同时告警则不

27、能判断一定发生变化,因为有可能是由于变化引起的,是否发生变化应视具体情况而定。x一 R 图的判断情况一二三四x图告警未告警告警未告警R 图未告警告警告警未告警变化变化判断变化,至于 变化是否发生应视具体情况而定正常2.容差图。在x图上的描点是样本的平均值x而非样本的各个测量值 x,有时将样本中的逐个x 反映在规格界限的容差图中是有用的,如图（容插图）所示。图中的竖线表示该样本中各个x 值的范围,规格界限为 74.0000.03。从图（容插图）可见,图（x一 R 图用于日常管理图）连续4 个点子出界并非是由于样本的个别异常观测值造成的,而是由于过程均值的偏移而造成的。我们求得从第 9 组到第 1

28、5 组样本的总均值为 74.015,若过程均值从原来的稳定值 74.001 偏移到此值,则将产生 6.43%的不合格品。3.控制界限、规格界限与自然容差界限间的关系。x一 R 图的控制界限与规格界限毫无关系完全是两码事。规格界限是由技术经济要求所决定的,而控制界限则是由过程的以标准差 度量的自然变异度,亦即过程的自然容差界限所决定的.两者不可混为一谈，如图（控制界限、规格界限于自然容差界限）所示。4.应用x一 R 的一些注意事项：(1)合理分组原则。在收集数据进行分组时要遵循休哈特的合理分组原则:1)组内差异仅由偶然波动(偶然因素)造成;2)组间差异主要由异常波动(异常因素)造成。下面作些说明

29、。首先,若过程稳定,则在过程中只存在偶然波动(偶然因素),它由 3方式中的所反映。如果确定值不仅有偶然波动而且还有异常波动,则值增大,也即上下控制界限的间隔加大。在极端情况下,若异常波动全部进入值的计算,则上下控制界限的间隔将大到使任何点都不会出界。从而控制图就失去了控制的作用。因此,一个样本组内各个样品特性值的差异要求尽可能由偶然波动造成。这就要求同一个样本组的各个样品的取样应在短时间内完成。其次,各个样本组的统计量平均值也是有差异的。由于偶然波动始终存在,它必然会对此差异有影响,但这种影响是微小的。若过程异常,要求统计量平均值之间的差异主要由异常波动(异常因素)造成,这样便于由控制图检出异

30、常。这就要求在容易产生异常的场合增加抽样频率,反之,亦然。(2)经济性。抽样的费用不得高于所获得的效益。(3)样本大小 n 和抽样频率。若用x控制图去检出过程的较大偏移,例如 2或更大的偏 移,则可用较小的样本(如n=4,5或6)即可将其检出,若检出较小的过程偏移,则需用较大的样本,甚至需要 n=15 至 25。当然,较小的样本在抽样时正好碰到过程偏移的可能性也小。因此,可以采用添加警戒限和其他判定界内点非随机排列的原则,来提高控制图检出过程小偏移的能力,而不采用大样本的作法。对于 R 图,若采用小样本则对于检出过程标准差的偏移是不很灵敏的,但大样本(n10),用极差法估计标准差的效率将迅速降

31、低。因此,对于 n10 的样本,应该采用 s 图而不用 R 图。在确定正图和 R 图的样本大小时,x图和 R 图的操作特性曲线是有用的。至于抽样频率,实践表明多倾向于采用小样本、短间隔而不是大样本、长间隔。（4）x图和 R 图检出过程质量偏移的能力可由其操作特性曲线(简称 OC 曲线)来描述。1)x图的检定能力和 OC 曲线。假定过程标准差为常数,若过程均值由稳定状态值0偏移到另一值1,其中1=0+的概率)或风险为=PLCLxUCL|=1=0+由于xN(,2K,则在偏移后第一个抽取的样本未检出此偏移的概率(即第类错误K（5。3-11）/n),而x图的上下控制界限分别为UCL=0+3n,UCL=

32、0-3n,于是,可将式(5.3 一 11)写成UCL(K)0=0UCL(K)0-/n/n 3/=n (K)0/n3/0n(K)0/n-=(3-Kn)-(-3-Kn)（5.3-12）式中,为标准正态累积分布函数,参见附录 I 表 A 一 1。根据式=(3-Kn)-(-3-Kn)可作出x图的 OC 曲线如 变化而 一定时x图的 OC 曲线图所示。从图中可见,当 n 一定时,值随 K 的增加而减少;而当 K 一定时,值随 n 的增加也减少。当样本大小 n),则 R 图的 OC 曲线(见图 3.5.3-7)给出了此偏移未被第一个样本检出的概率,即 值。从图 3.5.3-7 图中曲线可见,当样本大小 n

33、 增加时,值减小,R 图的检定能力提高,这点同x图的情况相同。但有一点是不同的,即x图对 的变化有一定的检定能力,但 R 图对 的变化却没有检定能力,也即若 不变而 变化,不能在 R 图上反映出来。另外,当采用小样本时,例如n=4,5 或 6 时,R 图对检出过程的偏移不是很有效。这时可采用前述增加控制图灵敏度的措施。若样本大小 n10 或 12 时,一般应采用 s 图来代替 R 图。3)x一 R 图的检定能力。分析了x图和 R 图的检定能力,现在来分析x图和 R 图同时使用时的总检定能力。在样本大小 n 较小时,x一 R 图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏移的概率的乘积。设x

34、为x图未能检出偏移的概率,R 为 R 图未能检出偏移的概率R为x一 R 图未能检出偏移的概率,则有T=xR例如,当 n=4 时,可以算得x一 R 图的命值如表所示。对于不同的n 可能算出不同的 T 值。由表x一 R 图的值（n=4）中数据可见,同时应用x图和 R 图的检定能力比单独使用x图或 R图 的检定能力大。四、四、x-s(-s(均值均值-标准差标准差)控制图控制图若样本大小 n 较大,例如 n10 或 12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在xR 中用 s 图代替 R 图。为一概率分布的未知方差,则样本方差若12s=n 122(xix)i1n2的无偏估计量,但样本标准差 s 并

35、非是 的无偏估计量。若样本取自正态总体,可以证明为=s1c42,这里c4为一与样本大小 n 有关的常数。现在,我们考虑。已知的情况,由于 E(s)=线为 UCL=CL=LCL=定义c4,故 s 图中的中心线为c4,于是 s 图的控制ccc4+31c424（5.4-1）4-31c42B=c54-31c41c422（5.4-2）（5.4-3）B=c64+3则代如上式后，得到已知的图的控制线为 UCL=CL=LCL=B6c4（5.4-4）B5式中,系数 B5、B6 可自附录 V 表 A 一 5 查得。若未知,则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)=c4,有=s/C4,这里1s=msii1m（5.4

36、-5）于是得到。未知情况的 s 图的控制线为s UCL=s+3c41c42 CL=s（5.4-6）s UCL=s-3定义c41c421B3=1-3c41c42（5.4-7）1B4=1+3c41c42（5.4-8）由此得到未知情况的 s 图的控制线为 UCL=BB4s CL=s LCL=3s式中,系数 B3、B4 可从附录 V 查得。在应用x-s 图时,相应的正图的控制界限也需要应用s/C4 来估计，于是这时x图的控制线为3s UCL=x+CL=xc4n3s LCL=x-令c34n则x图的控制线可写成A=c43n UCL=x+CL=x LCL=x-式中，系数 A3 可从附录查得。AA3s3s五、

37、五、Xmed-R(Xmed-R(中位数中位数-极差极差)控制图控制图 Xmed-R 图与x-R 图相似,只不过用 Xmed(中位数)图代替x图而已。若样本取自正态总体,x为样本中位数,m 个样本的样本平均中位数为1x=m可以证明 E(x)=。x=medii1mm3/n。这里,m3为一与样本大小 n 有关的常数。于是=xmed,由 此得 已知情况的x图的控制线为 UCL=med+3 CL=med LCL=med-3式中,系数mm3/n3/nm3可从附录 V 查得。若 未知,则需应用估计量 R/d2。代人上式后,得 未知情况的 Xmed 图的控制线为 UCL=med+3 CL=med LCL=me

38、d-3当 n=5,从附录 V 可查得m3R/d2n=med+m3A2Rm3R/d2n=med-m3A2Rm3=1.198,所以 Xmed 图的控制界限间隔要比x图的约宽 20%,从而 Xmed图检出过程偏移的能力也要比x图减低不少。六、六、x-Rs(x-Rs(单值单值-移动极差移动极差)控制图控制图现在样本大小为1,所以对过程标准差的估计要通过相邻两个样本间的移动极差Rs来进行。设从过程抽取的样本为x,i=1,2,.,n,则移动极差定义为i Rsi=|而平均移动极差为x一xit1|,i=1,2,.,n-11Rsi=n 1Ri1n1si242 ,于是=2Rs=若样本取自正在总体,可以证明 E(R

39、s)=,知的情况,x 图的控制线为 UCL=x+3R。对于已s CL=x UCL=x-3而 Rs 图的控制线为242 =3.69 UCL=+32 CL=242 =0 LCL=-3式中 LCL 为负值,但 Rs 不可能为负,故取 LCL=0 作为 Rs 的自然下界。对于未知的情况,x 图的控制线为UCL=x+32 CL=xR=x+2.66Rss LCL=x-32而 Rs 图的控制线为R=x-2.66Rss42 (2)Rs=3.27Rs UCL=x+3 CL=Rs42 (2)Rs=-3.27Rs LCL=x-3式中 LCL 为负值,但 Rs 不可能为负,故取 LCL=0 作为 Rs 的自然下界。例

40、 在炼钢过程中,对于某种化学成分需要进行控制。在生产稳定时已测得 25 组数据,如表所示。由于该化学成分的化验需要很长的时间,试制定 x 一 Rs 控制图对其加以控制。解按下列步骤进行:步骤 1:预备数据的取得。已给定样本大小为1 的数据 25 组,如表 3.5.6-1 所示。步骤 2:计算均值x。从表 3.5.6-1 中第(2)栏数据得到1x=25这就是 x 图的中心线。ii1251675.91=25=67.036步骤 3:计算移动极差 Rs。根据式(3.5.6-1),算得 Rs1=|67.00一 67.05|=0.05其余见表中第(3)栏。步骤 4：计算平均移动极查Rs。根据表 3.5.6

41、-1 中第(3)栏数据得到1Rs=24Rsii1242.92=24=0.12步骤 5:计算 x-Rs 图的控制线。先考虑 Rs 图,由于总体的未知,将上述Rs=0.123 代人式(3.5.6-6)后,得到 Rs 图的控制线为 UCL=3.27Rs=3.270.123=0.4020.40CL=Rs=0.1230.12 LCL=0如图所示。将 24 个 Rs 值描点在此图中,然后根据判稳准则(1)判断过程的变异度处于控制状态。现在开始计算 x 图的控制线,将x=67.036 与Rs=0.123 代入式(3.5.6-5)后,得到 I UCL=Rs+2.66Rs=67.036+2.660.123=67

42、36367.36 CL=x=67.03667.04 LCL=x-2.66Rs=67.036-2.660.123=66.709266.71如图所示。将 25 个x值描点在此图中,然后根据判稳准则(1)判断过程的均值也处控制状态。于是,在技术问满足后,可以延长 x 一 Rs 图的控制线作为控制用控制图进行日常管理。再说明一下 x 控制图的控制界限与规格之间的关系。这里,与x控制图情况不同,如果 x 图的控制界限在规格界限之内,产品质量就保证满足规格的要求。否则如果控制界限在规格界限之外,产品质量就不能保证满足规格的要求,这时应改进工艺或放宽规格要求。七、七、pp不合格晶率不合格晶率)控制图控制图

43、p 图的统计基础为二项分布。当控制图的控制对象为不合格品率时,过程处于稳定状态是指任何单位产品不合格品的概率为一常数P 且所生产的各个单位产品都是独立的。这时,所生产的每一单位产品都是具有参数 P 的二项随机变量的一个实现。设我们取一个包含n 个单位产品的随机样本,其中不合格单位产品数为D,则 D 服从参数为 n 和 P 的二项分布即 PD=x=CP(1P)xxnxn,x=0,1,.,n从 2.3.5 节知道随机变量p 的均值和方差分别为 nP 与 nP（1-P）。样本不合格品率 p 定义为样本不合格品数D 与样本大小 n 的比值,即 p=D/n从 2.3.5 节知道随机变量p 的均值和方差分

44、别为p=P=P(1-P)/np2这里,与正态分布情况不同 p 的与是不独立的,故只需一张控制图即 p 图对过程进行控制。p2若过程不合格品率 P 已知,则从式(3.3.2-1)可知 p 图的控制线为 UCL=P+3 CL=P LCL=P-3P(1 P)/nP(1 P)/n若不合格品率 P 未知,这时须根据以往的数据对其进行估计。通常至少取25 个预备样本。设每个样本的样本大小为 ni,第 i 个样本中的不合格品数为Di,则其样本不合格品率为 pi=Di/ni (i=1,2,.,m)式中,m 为样本个数,而样本平均不合格品率为p=Dinii 1mm/i 1p可作为不合格频率 P 的估计量。于是

45、P 未知的情况的 p 图的控制为 UCL=p+3 CL=pp(1 p)/ni LCL=p-3p(1 p)/ni例 某半导体器件厂 2 月份某种产品的数据如表3.5.7-1 中的第(2)、(3)栏所示。作 p 控制图对其进行控制。解 我们按下列步骤进行:步骤 1:预备数据的取得。已给定数据如上表所示。步骤 2:计算样本不合格品率。表 3.5.7-1 中第(2)、(3)栏数据,算得第一个样本的不合格品率为其余类推。步骤 3:计算p。从表 3.5.7-1 末行可得p1=2/85=0.024p=Dinii12828/i 1步骤 4:计算 p 图的控制线。将p=0.0389 代入式(3.5.7 一 8)

46、得到 p 图的控制线为 UCL=0.0389+3 CL=0.0389 LCL=p-30.0389(1 0.0389)/ni0.0389(1 0.0389)/ni由于本例各个样本的样本大小n 不相等,所以必须对各个样本分别求出其控制界限。如对于第一个样本,在式(3.5.7 一 9)中代入 n1=85 后,得到 UCL=0.0389+0.58/CL=0.0389 LCL=0.0389一 0.58/85=一 0.024这里,LCL 取负值,由于 p 不可能为负,故令 LCL=0 作为 p1 的自然下界。其余各个样本以此类推,参见图 3.5.7 一 1。为了判断过程是否处于稳定状态,将各个样本的不合格

47、品率描点在图 3.5.7 一 1 中。由于第 27 个样本的点子出界,所以过程失控,需要执行第二章（五）的 20 个字,找出异常因素并采取措施保证它不再出现。然后重复步骤 14,直到过程稳定为止,这时 p 图可作为控制用控制图供日常管理使用。现在,对 p 图进行一些讨论:1本大小 n 的确定。若过程不合格品率P 很小,则必须选择样本大小 n 充分大才能使得样本中至少包含 1 个不合格品的概率很大。否则,若 P 很小而 n 又不大,p 图的控制界限将使得样本中只要出现 1 个不合格品就会点子出界从而显示过程失控。如设P=0.01,n=8,则上控制界为85=0.102 UCL=P+3P(1 P)/

48、n=0.01+(0.01)(0.09)/8=0.1155如果现在样本中有一个不合格品,则样本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p图中的描点出界。事实上,由于 P0,总会出现一些不合格品,所以只凭出现一个不合格品就判断过程失控是不合理的。为了避免这种情况,可以选择充分大的n使得样本中至少包含1个不合格品的概率不小于某个数值 r。通常,取 nP 在 1 到 5 的范围内,即取 1/Pn1,否则样本缺陷经常为 0,容易造成误解,以为过程已经处于良好状态。因此,通常取大小适当的检查单位,使得1A5式中,可用 J 估计。2.通常 c 图用于检查单位即样本大小保持不变的场合。如果检查单位不能保持不变

49、,则参数 也将随之而变,这样 c 图的 UCL、CL、LCL 三者都呈凹凸状,作图极其不便。这时可采用Ct(通用缺陷数)图(参见 3.6 节)。无论检查单位有无改变,Ct 图均可应用,十分方便。十、十、u(u(单位缺陷数单位缺陷数)控制图控制图u 图与 c 图的关系和 p 图与 pn 图的关系相似。如果各个样本的检查单位也即样本大小是变化的,这时应将各个样本的缺陷数折算成平均每个检查单位的缺陷数,简称平均缺陷数,然后用 u 图进行控制。假定从参数为的泊松分布总体抽取一个包含n 个检查单位的随机样本,样本的总缺陷数为 C,则样本的平均每检查单位的缺陷数,简称样本单位缺陷数为 u=C/n式中,u

50、为泊松随机变量。设上述n 个检查单位各自的缺陷数分别为随机变量x1,x2,.,xn,则1 u=mxii1m故 u 为 n 个独立的泊松随机变量的线性组合,已知 u=U,u=U/n。这里，U 为过程的单位缺陷述，他等于过程的平均缺陷数。于是 U 图的控制线 UCL=U+3U/n CL=U LCL=U-3U/n为若参数 U 未知,则须根据以往的数据进行估计。设检验了 m 个检查单位的产品,其单位缺陷数 分别为屿,i=13,.,m,于是样本平均单位缺陷数为u=cinii1mm/i1可以用u来估计参数 U。因此,当 U 未知时,u 图的控制线 UCL=u+3u/n CL=u LCL=u-3u/n由于在