2020-2021中考数学压轴题专题一元二次方程组的经典综合题含答案解析.pdf

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1、2020-2021中考数学压轴题专题一元二次方程组的经典综合题含答案解析 一、一元二次方程 1如图，A、B、C、D 为矩形的 4 个顶点，AB16cm，BC6cm，动点 P、Q 分别以3cm/s、2cm/s 的速度从点 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 向点 D 移动(1)若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，问经过 2s 时 P、Q两点之间的距离是多少 cm？(2)若点 P 从点 A 移动到点 B 停止，点 Q 随点 P 的停止而停止移动，点 P、Q 分别从点 A、C同时出发，问经过多长时间 P、Q 两点之间的距离是 10cm？(3)若点 P 沿着

2、 ABBCCD 移动，点 P、Q 分别从点 A、C 同时出发，点 Q 从点 C 移动到点D 停止时，点 P 随点 Q 的停止而停止移动，试探求经过多长时间 PBQ 的面积为 12cm2 【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s 或245s；（3）经过 4 秒或 6 秒 PBQ 的面积为 12cm2【解析】试题分析：（1）作 PECD 于 E，表示出 PQ 的长度，利用 PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设 x 秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10cm在 Rt PEQ 中，根据勾股定理列出关于 x 的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得 x 的值；（3）分类讨论：当点

3、P 在 AB 上时；当点 P 在 BC 边上；当点 P 在 CD 边上时 试题解析：（1）过点 P 作 PECD 于 E 则根据题意，得 EQ=16-23-22=6（cm），PE=AD=6cm；在 Rt PEQ 中，根据勾股定理，得 PE2+EQ2=PQ2，即 36+36=PQ2，PQ=62cm；经过 2s 时 P、Q 两点之间的距离是 62cm；（2）设 x 秒后，点 P 和点 Q 的距离是 10cm（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，16-5x=8，x1=85，x2=245；经过85s 或245sP、Q 两点之间的距离是 10cm；（3）连接 BQ设经过 ys

4、后 PBQ 的面积为 12cm2 当 0y163时，则 PB=16-3y，12PBBC=12，即12（16-3y）6=12，解得 y=4；当163x223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则 12BPCQ=12（3y-16）2y=12，解得 y1=6，y2=-23（舍去）；223x8 时，QP=CQ-PQ=22-y，则 12QPCB=12（22-y）6=12，解得 y=18（舍去）综上所述，经过 4 秒或 6 秒 PBQ 的面积为 12cm2 考点：一元二次方程的应用 2已知关于 x 的一元二次方程（x3）（x4）m2=0（1）求证：对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的 实数根

5、；（2）若方程的一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根【答案】（1）证明见解析；（2）m 的值为2，方程的另一个根是 5【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式=b2-4ac 证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解 m 的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：（x3）（x4）m2=0，x27x+12m2=0，=（7）24（12m2）=1+4m2，m20，0，对任意实数 m，方程总有 2 个不相等的实数根；（2）解：方程的一个根是 2，414+12m2=0，解得 m=，原方程为 x27x+10=0，解得 x=2 或 x=5，即 m 的值为，方程的

6、另一个根是 5【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当=b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当=b2-4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；当=b2-4ac0 时，方程没有实数根.3已知关于x的方程221(1)104xkxk 有两个实数根.(1)求k的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x，2x，且221212615xxx x，求k的值.【答案】（1）32k （2）4【解析】试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114xxkxxk，结合221212615

7、xxx x 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k值，再由的结论即可确定k值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以22114 112304kkk ，解得32k.根据韦达定理，2212121111411.114kkxxkxxk，因为221212615xxx x，所以212128150 xxx x，将上式代入可得 2211811504kk，整理得2280kk，解得 1242kk，又因为32k，所以4k.4解下列方程：(1)2x24x10(配方法)；(2)(x1)26x6.【答案】(1)x1162，x2162(2)x11，x25.【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项

8、，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为 ab=0 的形式，然后求解即可.试题解析：(1)由题可得，x22x12，x22x132.(x1)232.x13262.x1162，x2162.(2)由题可得，(x1)26(x1)0，(x1)(x16)0.x10 或 x160.x11，x25.5如图，在Rt ABC中，90B，10ACcm，6BCcm，现有两点P、Q的分别从点A和点 B 同时出发，沿边AB，BC 向终点 C 移动已知点P，Q的速度分别为2/cm s，1/cm s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移

9、动，设P，Q两点移动时间为xs问是否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于216cm若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由 【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出 BQ、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：90B，10AC，6BC，8AB BQx，82PBx；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于216cm，则116 8821622xx ，整理得：2480 xx，1632160，假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于216cm【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法

10、、理解方程的意义是本题的解题关键.6（问题）如图，在 abc（长宽高，其中 a，b，c 为正整数）个小立方块组成的长方体中，长方体的个数是多少？（探究）探究一：（1）如图，在 211 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 311=3（2）如图，在 311 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为 611=6（3）依此类推，如图，在 a11 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上共有1+2+a=a a1

11、2线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_ 探究二：（4）如图，在 a21 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2=2 32=3 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a1231=3a a12（5）如图，在 a31 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有 1+2+3=3 42=6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为_（6）依此类推，如图，在 ab1 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_ 探究三：（7）如图，在以 ab2 个小立方块组成的长方体

12、中，棱 AB 上有a a12条线段，棱AC 上有b b12 条线段，棱 AD 上有 1+2=2 32=3 条线段，则图中长方体的个数为3a a12b b123=3ab a1b14（8）如图，在 ab3 个小立方块组成的长方体中，棱 AB 上有a a12条线段，棱 AC上有b b12条线段，棱 AD 上有 1+2+3=3 42=6 条线段，则图中长方体的个数为_ （结论）如图，在 abc 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（应用）在 234 个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为_（拓展）如果在若干个小立方块组成的正方体中共有 1000 个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多

13、少？请通过计算说明你的结论【答案】探究一：（3）a a12；探究二：（5）3a（a+1）；（6）ab a1b 14；探究三：（8）3ab a1b12；【结论】：abc a1b1 c 18；【应用】：180；【拓展】：组成这个正方体的小立方块的个数是 64，见解析.【解析】【分析】（3）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（5）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（6）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；（8）根据规律，求出棱 AB，AC，AD 上的线段条数，即可得出结论；(结论)根据规律，求出棱 AB，AC，A

14、D 上的线段条数，即可得出结论；(应用)a=2，b=3，c=4 代入(结论)中得出的结果，即可得出结论；(拓展)根据(结论)中得出的结果，建立方程求解，即可得出结论【详解】解：探究一、（3）棱 AB 上共有a a12线段，棱 AC，AD 上分别只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 11=a a12，故答案为a a12；探究二：（5）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有 6 条线段，棱 AD 上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 61=3a（a+1），故答案为 3a（a+1）；（6）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD

15、上只有 1 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b121=ab a1b 14，故答案为ab a1b 14；探究三：（8）棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有 6 条线段，则图中长方体的个数为a a12 b b126=3ab a1b12，故答案为3ab a1b12；(结论)棱 AB 上有a a12 条线段，棱 AC 上有b b12条线段，棱 AD 上有c c12条线段，则图中长方体的个数为a a12b b12c c12=abc a1b1 c 18，故答案为abc a1b1 c 18；(应用)由(结论)知，abc a1b1 c 18，在 234

16、个小立方块组成的长方体中，长方体的个数为 2 3 42 13 14 18 =180，故答案为为 180；拓展：设正方体的每条棱上都有 x 个小立方体，即 a=b=c=x，由题意得 33(1)8xx=1000，x（x+1）3=203，x（x+1）=20，x1=4，x2=-5（不合题意，舍去）444=64 所以组成这个正方体的小立方块的个数是 64【点睛】解此题的关键在于根据已知得出规律，题目较好，但有一定的难度，是一道比较容易出错的题目 7已知关于 x 的一元二次方程2211204xmxm 1若此方程有两个实数根，求 m 的最小整数值；2若此方程的两个实数根为1x，2x，且满足222121211

17、84xxx xm，求 m 的值【答案】（1）m的最小整数值为4；（2）3m 【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得0,列式即可求解,（2）利用韦达定理即可解题.【详解】（1）解：22114 124mm 22218mmm 29m 方程有两个实数根 0，即290m 92m m的最小整数值为4（2）由根与系数的关系得：121xxm，212124x xm 由22212121184xxx xm得：22211121844mmm 13m，25m 92m 3m【点睛】本题考查了根的判别式和韦达定理,中等难度,熟悉韦达定理是解题关键.8设 m 是不小于1 的实数，关于 x 的方程 x2+2（m2）x+m2

18、3m+3=0 有两个不相等的实数根 x1、x2，（1）若 x12+x22=6，求 m 值；（2）令 T=121211mxmxxx，求 T 的取值范围【答案】（1）m=5172；（2）0T4 且 T2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得1m1，根据根与系数的关系可得 x1+x2=42m，x1x2=m23m+3；（1）把 x12+x22=6 化为（x1+x2）22x1x2=6，代入解方程求得 m 的值，根据1m1 对方程的解进行取舍；（2）把 T 化简为 22m，结合1m1 且m0 即可求 T 得取值范围.【详解】方程由两个不相等的实数根，所以=2（m2）24（m23m+3）=4m+

19、40，所以 m1，又 m 是不小于1 的实数，1m1 x1+x2=2（m2）=42m，x1x2=m23m+3；（1）x12+x22=6，（x1+x2）22x1x2=6，即（42m）22（m23m+3）=6 整理，得 m25m+2=0 解得 m=；1m1 所以 m=（2）T=+=22m 1m1 且 m0 所以 022m4 且 m0 即 0T4 且 T2【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法 9阅读下面的例题，范例：解方程 x2|x|2=0，解：（1）当 x0 时，原方程化为 x2x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍

20、去）（2）当 x0 时，原方程化为 x2+x2=0，解得：x1=2，x2=1（不合题意，舍去）原方程的根是 x1=2，x2=2 请参照例题解方程 x2|x10|10=0【答案】x1=4，x2=5【解析】【分析】分为两种情况：当 x10 时，原方程化为 x2x=0，当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，分别求出方程的解即可【详解】当 x10 时，原方程化为 x2x+1010=0，解得 x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；当 x10 时，原方程化为 x2+x20=0，解得 x3=4，x4=5，故原方程的根是 x1=4，x2=5【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法，

21、解此题的关键是能正确去掉绝对值符号 10重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为 20 元，每天销售 150 件：（1）若要每天的利润不低于 2250 元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低 m%，则日销售量可以在 150 件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到 5670 元；要使销售量尽可能大，求出 m 的值【答案】（1）销售单价至少为 35 元；（2）m=16【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价（1m%）

22、，销售量为（150+m），列出方程求解即可 试题解析：（1）设销售单价至少为 x 元，根据题意列方程得，150（x20）=2250，解得 x=35，答：销售单价至少为 35 元；（2）由题意得：35（1 m%）（150+m）=5670，150+m150 m%m%m=162，mm2=12，60m3m2=192，m220m+64=0，m1=4，m2=16，要使销售量尽可能大，m=16【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用 11已知关于 x 的方程 x2（2k+1）x+4（k12）0（1）求证：无论 k 取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰 ABC 的一边长 a3，另两边 b、c 恰好是

23、这个方程的两个根，求 k 值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k32或 2【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到（2k3）20，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到 x12k1，x22，再根据等腰三角形的性质得到 2k12或 2k13，然后分别解关于 k 的方程即可【详解】（1）（2k+1）244（k12）4k212k+9（2k3）20，该方程总有实数根；（2）2k12k 3x=2 x12k1，x22，a、b、c 为等腰三角形的三边，2k12 或 2k13，k32或 2【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分 a 是等腰三角形的底和腰两种

24、情况是解题的关键.12若两个一次函数的图象与 x 轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x 牵手函数”，这个交点为“x 牵手点”（1）一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为 ；一次函数 yax+2 与一次函数 yx1为一对“x 牵手函数”，则 a ；（2）已知一对“x 牵手函数”：yax+1 与 ybx1，其中 a，b 为一元二次方程 x2kx+k40 的两根，求它们的“x 牵手点”【答案】（1）（1，0），a2；（2）“x 牵手点”为（12，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据 x 轴上点的坐标特征可求一次函数 y=x-1 与 x 轴的交点坐标；把一次函数 y=x-1与 x 轴的交

25、点坐标代入一次函数 y=ax+2 可求 a 的值；（2）根据“x 牵手函数”的定义得到 a+b=0，根据根与系数的关系求得 k=0，可得方程 x2-4=0，解得 x1=2，x2=-2，再分两种情况：若 a=2，b=-2，若 a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x 牵手点”【详解】解：（1）当 y0 时，即 x10，所以 x1，即一次函数 yx1 与 x 轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数 yax+2 与一次函数 yx1 为一对“x 牵手函数”，所以 0a+2，解得 a2；（2）yax+1 与 ybx1 为一对“x 牵手函数”11ab，a+b0 a，b 为 x2kx+k40 的两根 a+b

26、k0，x240，x12，x22 若 a2，b2 则 y2x+1 与 y2x1 的“x 牵手点”为1,02；若 a2，b2 则 y2x+1 与 y2x1 的“x 牵手点”为（12，0）综上所述，“x 牵手点”为1,02或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用 13已知关于 x 的方程 x2(k+3)x+3k0(1)若该方程的一个根为 1，求 k 的值；(2)求证：不论 k 取何实数，该方程总有两个实数根【答案】(1)k1；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）把 x1 代入方程，即可求得 k 的值；（2）求出根的判别式是非负数即可.【详解

27、】(1)把 x1 代入方程 x2(k+3)x+3k0 得 1(k3)+3k0，1k3+3k0 解得 k1；(2)证明：1,(3),3abkck 24bac (k+3)243k(k3)20，所以不论 k 取何实数，该方程总有两个实数根【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题关键.14如图，一艘轮船以 30km/h 的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以 10km/h 的速度由东向西移动，距台风中心 200km 的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离 BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的

28、最近距离 AB=300km（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）经过 1515h就会进入台风影响区；（3）215小时【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时

29、间长.【详解】解：（1）如图易知 AB=30010t，AC=40030t，当 BC=200 时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(30010t)2+(40030t)2=2002，整理得到：t230t+210=0，解得 t=1515，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区（2）由（1）可知经过(1515)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15（1515）=215 h【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于 x 的等式是解题关键 15阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为

30、 x=a 的形式。求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转化为整式方程来解。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想-转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。例如，一元三次方程3220 xxx，可以通过因式分解把它转化为2(2)0 x xx，解方程0 x 和220 xx，可得方程3220 xxx的解。（1）问题：方程3220 xxx的解是10 x，2x _，3x _。（2）拓展：用“转化”思想求方程43xx的解。（3）应用：如图，已知矩形草坪 ABCD 的长6ADm，宽

31、4ABm，小华把一根长为10m 的绳子的一端固定在点 B，沿草坪边沿 BA，AD 走到点 P 处，把长绳 PB 段拉直并固定在点 P，然后沿草坪边沿 PD、DC 走到点 C 处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 C。求 AP 的长。【答案】（1）2，-1;（2）1，3 ;（3）3m.【解析】【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，验根即可；（3）设 AP 的长为 xm，根据勾股定理和 BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可.【详解】（1）x3-x2-2x=0，x（x2-x-2）=

32、0，x（x-2）（x+1）=0 所以 x=0 或 x-2=0 或 x+1=0 x1=0，x2=2，x3=-1；故答案为：2，-1；（2）43xx 方程的两边平方，得 4x-3=x2 即 x2-4x+3=0（x-3）（x-1）=0 x-3=0 或 x-1=0 x1=3，x2=1，当 x=3 或 1 时,43x有意义，故是方程的解.（3）因为四边形 ABCD 是矩形，所以 A=D=90，AB=CD=4m,设 AP=xm，则 PD=（6-x）m 因为 BP+CP=10，BP=22216APABx,CP=22216(6)DCPDx,所以216(6)x=10-216x 两边平方，得 16+(6-x)2=100-20216x+x2+16 整理，得 3x+16=5216x,两边平方并整理，得 x2-6x+9=0 即（x-3）2=0 所以 x=3 经检验，x=3 是方程的解 答：AP 的长为 3m【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法解无理方程是注意到验根解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键