全等三角形难题集锦(整理)_1.pdf

《全等三角形难题集锦(整理)_1.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形难题集锦(整理)_1.pdf（13页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 1 1、（1）如图 1，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 2，OAB 固定不动，保持 OCD 的形状和大小不变，将 OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和 OCD 不能重叠），求AEB 的大小.图 1 图 2 2、（1）如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在 A 点处，两条直角边也与 CB 的延长线、DC 分别交于点 E、F请你通过观察、测量，判断 AE 与

2、 AF 之间的数量关系，并说明理由（2）将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置，PE、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理由（3）如果将三角尺旋转到图 3 的位置，PE、PF 之间是否还具有（2）中的数量关系？如果有，请说明 3、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：4、C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作等边和等边，AD 与 BE交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ以下五个结论：AD=BE；AP=BQ；DE=DP；CP=CQCPQ 为等边三角形 共有 2 对全等三角形 CO 平分 CO 平分 恒成立的结论有_（

3、把你认为正确的序号都填上）5、D 为等腰斜边 AB 的中点，DMDN，DM，DN 分别交 BC，CA 于点 E，F。（1）当绕点 D 转动时，求证：DE=DF。（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。6、如图，是正三角形，BDC 是顶角的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60角，角的两边分别交 AB、AC 边于M、N 两点，连接 MN探究：线段 BM、MN、NC 之间的关系，并加以证明 7、点 C 为线段 AB 上一点，ACM，CBN 都是等边三角形，线段 AN，MC 交于点 E，BM，CN 交于点 F。A B C E D O P Q K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习

4、与答案 2 求证：（1）AN=MB.（2）将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？（3）AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。图 图 8、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在中，AB=AC，P 是内部任意一点，将 AP 绕 A 顺时针旋转至 AQ，使，连接 BQ、CP，则 BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得 BQ=CP 之后，将点 P 移到等腰三角形 ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明 9、将一张透明的平行四边形胶片

5、沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片和且。将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时针方向旋转，这时与相交于点 当旋转至如图位置，点，在同一直线上时，与的数量关系是 当继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？与存在怎样的数量关系？请说明理由 10、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DCBE 11、两个全等的含 30、60角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起，E、A、C 三点在一条直线上，

6、连接BD，取 BD 中点 M，连接 ME、MC，试判断EMC 的形状，并说明理由 图 1 图 2 D C E A B K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 3 12、如图，AD/BC，AD=BC，AEAD，AFAB，且 AE=AD，AF=AB，求证：AC=EF 13、如图，AEAB，ADAC，AB=AE，B=E，求证：（1）BD=CE；（2）BDCE 14、如图，BFAC 于点 F，CEAB 于点 E，且 BD=CD。求证：（1）BDECDF；（2）点 D 在A 的平分线上 15、如图 1，A、E、F、C 在同一条直线上，AE=CF，过 E、F 分别作 DEAC，BFAC，

7、（1）若 AB=CD，试说明 BD 平分 EF；（2）若将DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时，其余条件不变，BD 是否还平分 EF，请说明理由。16、如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理

8、由。17、如图 1，点 M 为锐角内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB 为一边向外作等边，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60得到 BN，连接 EN O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 4（1）求证：AMBENB；（2）若 AM+BM+CM 的值最小，则称点 M 为的费尔马点若点 M 为的费尔马点，试求此时、的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图 2，分别以的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF，连接 CE、BF，设交点为 M，则点 M 即为

9、的费尔马点试说明这种作法的依据 18、如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F.（1）如图 1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是；请证明你的上述两猜想.（2）如图 2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N，使得 NE=BF，进而猜想此时 DE与

10、 EF 有怎样的数量关系并证明 图 1 图 2 19、如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别为边 BC、CD 的中点，AF、DE 相交于点 G，则可得结论：AF=DE；AFDE.（不需要证明）（1）如图 2，若点 E、F 不是正方形 ABCD 的边 BC、CD 的中点，但满足 CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图 3，若点 E、F 分别在正方形 ABCD 的边 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.20、如图 1、图 2、图 3，AOB，COD

11、均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图 1 中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。（2）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 5（3）若COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？21、如图 1，在中，BC 边在直线 l 上，ACBC，且 AC=BCEFP 的边 FP 也在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合，且 EF=FP（1）在图 1

12、 中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB 与 AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 14-2 的位置时，EP 交 AC 于点 Q，连结 AP，BQ猜想并写出 BQ 与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时，EP 的延长线交 AC 的延长线于点 Q，连结 AP，BQ你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 22、如图所示，在和中，且点，在一条直线上，连接，分别为的中点（1）求证：；（2）在图的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其

13、他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.23、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是边 BC 的中点，且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F，求证：AE=EF 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB 的中点 M，连接 ME，则 AM=EC，易证，所以 图 1 （F）B C P A（E）l l P A E B C Q F 图 2 l B P A 图 3 E F Q C C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 6 在此基础上，同学们

14、作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上（除 B，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上（除 C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由 24、问题背景，如下命题：如图 1，在正三角形 ABC 中，N 为 BC 边上任一点，CM 为正三角形外角ACK 的平分线，若，则 AN=NM。如图 2，在

15、正方形 ABCD 中，N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角DCK 的平分线，若，则 AN=NM。如图 3，在正五边形 ABCDE 中，N 为 BC 边上任一点，CM 为正五边形外角DCK 的平分线，若，则 AN=NM。任务要求：（1）请你证明以上三个命题；（2）请你继续完成下面的探索：如图 4，在正（3）边形 ABCDEF中，N 为 BC 边上任一点，CM 为正边形外角DCK 的平分线，问当ANM 等于多少度时，结论 AN=NM 成立（不要求证明）.如图 5，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=BC=CD，N 为 BC 延长线上一点，CM 为DCN 的平分线，若ANM=ABC，请问

16、AN=NM 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.25、已知AOB=90，AOB 的平分线 OM 上有一点 C，将一个三角板的直角顶点与点 C 重合，它的两条直角边分别与 OA、OB 或它们的反向延长线相交于 D、E。A D F C G E B 图 1 A D F C G E B 图 2 A D F C G E B 图 3 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 7（1）当三角形绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时（如图 1），易证：CD=CE（2）当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时，在图 2 图 3 这两种情况下，上述结论是否成立，请给予

17、证明，若不成立，请写出你的猜想，不需证明。26、已知 AB=CD=AE=BC+DE=2，ABC=AED=90，求五边形 ABCDE 的面积 27、已知 AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBF 28、已知 BE，CF 是的高，且 BP=AC，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系 29、已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且DAE=FAE。求证：30、已知 PA=，PB=4，以 AB 为一边作正方形 ABCD，使 P、D 两点落在直线 AB 的两侧.（1）如图，当APB=45时，求 AB 及 PD

18、的长;（2）当APB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应APB 的大小.31、已知点是正方形的边上一点，点是的延长线上一点，且 求证：32、以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由 K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 8 33、用两个全等的等边和ACD拼成菱形ABCD，把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图131），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么

19、结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图132），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.34、在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，探究：当点 M，N 分别爱直线AB，AC 上移动时，BM，NC，MN 之间的数量关系及的周长与等边的周长 L 的关系（1）如图，当点 M，N 在边 AB，AC 上，且 DM=DN 时，BM，NC，MN 之间的数量关系式_；此时=_（2）如图，当点 M，N 在边AB，AC上，且时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点 M，N 分别在边 A

20、B，CA 的延长线上时，若 AN=x，则 Q=_（用 x，L 表示）35、在等边中，P 在延长线上一点，以 PA 为边作等边，EC 延长线交 BP 于 M，连接 AM。求证：（1）BP=CE；（2）EMPM=AM.36、在等边中，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使DAF=60，连接 CF（1）如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；A G F C B D E P B A C E M K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 9（2）如图 2，当点 D

21、在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、CF、CD 之间存在的数量关系 37、在等边中，过边上的点作，交于点，在的延长线上取点，使，连接，（1）求证：；（2）过点作，交于点，请你连接，并判断是怎样的三角形，试证明你的结论 38、在等腰中，是的中点，过作，且求证：39、在等腰中，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交 AB 于点 E，交 AD 于点 F。求证：ADCBDE 4

22、0、在等腰中，ACB=90，F 是 AB 的中点，直线 l 经过点 C，分别过点 A、B 作 l 的垂线，即，（1）如图 1，当 CE 位于点 F 的右侧时，求证：ADCCEB；（2）如图 2，当 CE 位于点 F 的左侧时，求证：ED=BE-AD；（3）如图 3，当 CE 在的外部时，试猜想 ED、AD、BE 之间的数量关系，并证明你的猜想 41、四边形 ABCD 中，AB=BC，BF 是ABC 的平分线，AFDC，连接 AC、CF。求证：CA 是DCF 的平分线。K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 10 42、在四边形 ABCD 中，AC 平分BAD，CEAB 于 E

23、，且B+D=180，求证：AE=AD+BE 43、在正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求EAF 的度数.44、在正方形中，求证：45、在中，将绕点顺时针旋转角得,交于点，分别交、于、两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论。46、在中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、。当绕点旋转到于时（如图 1），易证 当绕点旋转到和不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 47、在中，A=90

24、，D 是 AC 上的一点，BD=DC，P 是 BC 上的任一点，PEBD，PFAC，E、F 为垂足求证：PE+PF=AB 48、在中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。A D B E C F A D B E C F A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 11（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=BF；（3）CE 与 BC 的大小关系如何？试证明你的结论。4

25、9、在中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC 交 CF的延长线于 D求证：（1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长 50、在中，ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧作等腰直角ADE，解答下列各题：如果 AB=AC，BAC=90（1）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图甲，猜想并证明线段 BD，CE 之间的位置关系。（2）当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图乙，（1）中的结论是否还成立？为什么？51、在中，BAC=60，C=40，

26、AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q。求证：。52、在中，AB=AC，D 是 CB 延长线上一点，ADB=60，E 是 AD 上一点，且 DE=DB，求证：53、在中，AB=AC=6cm，B=C，BC=4cm，点 D 为 AB 的中点（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后，BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPD

27、与CQP 全等？（2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿三边运动，则经过后，点 P 与点 Q 第一次在的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）54、在中，ABAC，P 为 AD 上任意一点，求证：K2MG-E专业技术人员绩效管理与业务能力提升练习与答案 12 55、在中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DGAC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线 AB 于点 H求证：DG=DC；判断

28、FH 与 FC 的数量关系并加以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，（1）中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在（1）中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）56、在中，ADBC，BEAC，D、E 为垂足，AD 与 BE 交与点 H，BD=AD。求证：BH=AC 57、在中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF 58、在中，是中线求证：59、正方形 ABCD 的边长为 1，G 为 CD 边上一动点（点 G 与 C、D 不重合），以 CG 为一边向正方形 ABCD 外K2MG-E专业技术人员

29、绩效管理与业务能力提升练习与答案 13 作正方形 GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H。（1）证明：BCGDCE；（2）BHDE（3）BG 与 CD 有何关系？为什么？（4）将正方形 GCEF 绕点 C 顺时针旋转，在旋转过程中，（1）、（2）中的结论还成立吗？画出一个图形，直接回答，不必说明理由。60、直线 CD 经过的顶点 C，CA=CBE、F 分别是直线 CD 上两点，且（1）若直线 CD 经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若，则（填“”，“”或“”号）；如图 2，若，若使中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；（2）如图 3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明 世上没有一件工作不辛苦，没有一处人事不复杂。不要随意发脾气，谁都不欠你的 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3