九年级数学上册第三章圆的基本性质微专题垂径定理有关的辅助线随堂练习含解析新版浙教版.pdf

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1、.微专题_垂径定理有关的辅助线 一 连半径构造直角三角形 如图 1,在O中,半径OCAB于点D.已知O的半径为 2,AB3,求DC的长 图 1 教材母题答图 解：如答图,连结OA.OCAB,AD错误!AB错误!3错误!,OD错误!错误!错误!,DCOCOD2错误!0.68.思想方法 求圆中的弦长或其他线段长时,通常连半径,由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成直角三角形进行求解 2017呼和浩特如图 2,CD为O的直径,弦ABCD,垂足为M,若AB12,OMMD58,则O的周长为 A26 B13 C.错误!D.错误!图 2 变形 1 答图 解析 如答图,连结OA,设OM5x,MD8x,OAOD

2、13x,又AB12,由垂径定理可得AM6,在 RtAOM中,2622,解得x错误!,半径OA错误!,根据周长公式C2r,O的周长为 13.如图 3,已知O的半径为 5,点A到圆心O的距离为 3,则过点A的所有弦中,最短的弦长为.图 3 A4 B6 C8 D10 已知O的直径CD10 cm,AB是O的弦,AB8 cm,且ABCD,垂足为M,则AC的长为 A2错误!cm B4错误!cm C2错误!cm 或 4错误!cm D2错误!cm 或 4错误!cm 解析 如答图,连结AC,AO.O的直径CD10 cm,ABCD,AB8 cm,AM错误!AB错误!84,ODOC5 cm.当点C位置如答图所示时,

3、OA5 cm,AM4 cm,ABCD,OM错误!错误!3,CMOCOM538,AC错误!错误!4错误!；变形 3 答图 当点C位置如答图所示时,同理可得OM3 cm,OC5 cm,MC532 在 RtAMC中,AC错误!错误!2错误!故选 C.如图 4,用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上,若四周下垂的最大长度相等,则桌布下垂的最大长度x为 A.错误!a B.错误!a Ca Da 解析 从题目中很容易看出桌布刚好覆盖正方形桌子的桌面,桌子的边长为错误!a,用直径a减去桌子的边长刚好为 2x的长度,x错误!a.故选 B.图 4 图 5 如图 5,一块破残的轮片上,点O是这块轮片

4、的圆心,AB120 mm,C是错误!上的一点,OCAB,垂足为D,CD20 mm,则原轮片的半径是_100_mm.如图 6 是某风景区的一个圆拱形门,路面AB宽为 2 m,净高CD为 5 m,则圆拱形门所在圆的半径为_2.6_m.图 6 变形 6 答图 解析 如答图,连结OA.在 RtOAD中,AD错误!AB1 设O的半径为R,则OAOCR,OD m,由勾股定理,得OA2OD2AD2,即R2212,解得R2.6.如图 7,O是ABC的外接圆,圆心O在这个三角形的高线AD上,AB10,BC12,求O的半径 图 7 变形 7 答图 解：如答图,连结OB.AD是ABC的高线,ABC外接圆的圆心在AD

5、上,BD错误!BC6.在 RtABD中,AD错误!错误!8.设圆的半径是R,则OD8R.在 RtOBD中,由勾股定理,得R2362,解得R错误!.即O的半径为错误!.二 作圆心到弦的垂线巧解题 已知：如图 8,在O中,弦ABCD.求证：错误!错误!.图 8 教材母题答图 证明：如答图,过点O作OEAB,交O于点E,ABCD,OECD,则错误!错误!,错误!错误!,错误!错误!错误!错误!,即错误!错误!.思想方法 当圆中出现弦时,通常作圆心到弦的垂线,或再连半径构造直角三角形,可通过垂径定理或勾股定理解题 如图 9,矩形ABCD与O相交于点M,N,F,E,若AM2,DE1,EF8,则MN的长为

6、 A2 B4 C6 D8 图 9 变形 1 答图 解析 如答图,过点O作OHAB于点H,交CD于点G,则MHHN,EGGF,四边形ADGH是矩形,AHDG.EG错误!EF4,DGDEEG145,AH5.又AHAMMH2MH5,MH3,则MN2MH236.故选 C.2017XX如图 10,在半径为 13 cm 的圆形铁片上切下一块高为 8 cm 的弓形铁片,则弓形弦AB的长为 A10 cm B16 cm C24 cm D26 cm.图 10 变形 2 答图 解析 如答图,在 RtOCB中,OC5 cm,OB13 cm,根据勾股定理,得BC错误!错误!12AB2BC24 2017XX如图 11,A

7、B是O的直径,弦CD交AB于点P,AP 2,BP 6,APC30.则CD的长为 A.错误!B2错误!C2错误!D8 图 11 变形 3 答图 解析 如答图,作OHCD于H,连结OC,OHCD,HCHD,AP2,BP6,AB8,OA4,OPOAAP2,在 RtOPH中,OPH30,OH错误!OP1,在 RtOHC中,OC4,OH1,CH错误!错误!,CD2CH2错误!.如图 12,O的弦AB,CD反向延长交于点P,ABCD.求证：OP平分BPD.图 12 变形 4 答图 证明：如答图,连结OB,OD,过点O作OMAB于点M,ONCD于点N,则由垂径定理,得BM错误!AB,DN错误!CD.又ABC

8、D,BMDN.由勾股定理,得OM2OB2BM2,ON2OD2DN2.OBOD,BMDN,OMON.又OMAB,ONCD,OP平分BPD.如图13,有一石拱桥的桥拱是圆弧形,正常水位下水面宽AB60 m,水面到拱顶距离CD18 m,当洪水泛滥时,水面到拱顶距离为 3.5 m 时需要采取紧急措施,当水面宽MN32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由 图 13 变形 5 答图 解：不需要采取紧急措施理由：设OAR,在 RtAOC中,AC错误!AB30,OC m.由勾股定理,得OA2AC2OC2,即R23022,解得R34.如答图,连结OM,设DEx 在 RtMOE中,ME错误!MN16,OEm.由勾股定理,得OM2ME2OE2,即 3421622,解得x14,x264,DE4 m.43.5,不需要采取紧急措施