课时跟踪训练.pdf

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1、 课时跟踪训练 53 第 2 页 课时跟踪训练(五十三)基础巩固 一、选择题 1(2019广东汕头质检)已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，则 cosAFB()A.45 B.35 C35 D45 解析 抛物线 C：y24x 的焦点为 F，点 F 的坐标为(1,0)又直线 y2x4 与 C 交于 A，B 两点，A，B 两点坐标分别为(1，2)，(4,4)，则FA(0，2)，FB(3,4)，cosAFBFAFB|FA|FB|81045.故选 D.答案 D 2(2019北京东城期末)过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横

2、坐标之和等于3，则这样的直线()A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在 解析 过抛物线 y24x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A，B 两点，若直线 AB 的斜率不存在，则横坐标之和等于 2，不符合题意设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 yk(x1)，代入抛物线方程 y24x，得 k2x22(k22)xk20.A，B 两点的横坐标 第 3 页 之和等于 3，2k22k2k2，符合题意的直线有且仅有两条故选 B.答案 B 3(2019湖南长沙调研)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若OAF(O 为坐标原点)的面积为 4

3、，则抛物线的方程为()Ay24x By24x Cy28x Dy28x 解析 抛物线 y2ax(a0)的焦点 F 的坐标为a4，0，直线l 的方程为 y2xa4.直线 l 与 y 轴的交点为 A0，a2，OAF的面积为12a4a24，解得 a8.抛物线的方程为 y28x，故选C.答案 C 4(2019河南三门峡灵宝期末)已知抛物线方程为 y22px(p0)，过该抛物线焦点 F 且不与 x 轴垂直的直线交抛物线于 A，B 两点，过点 A，点 B 分别作 AM，BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于 M，N 两点，那么MFN 必是()A锐角 B直角 C钝角 D以上皆有可能 解析 由题意画出图象，如图

4、由抛物线的定义，可知|NB|BF|.所以BNF 是等腰三角形因为 BNOF，所以 NF 平分OFB.第 4 页 同理 MF 平分OFA，所以NFM90.故选 B.答案 B 5(2019黑龙江七台河期末)已知抛物线 C：y28x 的焦点为F，直线 l：x1，点 A 是 l 上的一动点，直线 AF 与抛物线 C 的一个交点为 B.若FA3FB，则|AB|()A20 B16 C10 D5 解析 由抛物线 C：y28x，得 F(2,0)设 A(1，a)，B(m，n)，且 n28m.FA3FB，123(m2)，解得 m3，n2 6.a3n，a6 6，|AB|1322 66 6220.故选 A.答案 A

5、6(2019湖北襄阳月考)已知抛物线 y12x2的焦点为 F，准线为l，M 在 l 上，线段 MF 与抛物线交于 N 点，若|MN|2|NF|，则|MF|()A2 B3 C.2 D.3 解析 如图，过 N 作准线的垂线 NH，垂足为 H.根据抛物线的定义可知|NH|NF|，在NHM 中，|NM|2|NH|，则 NMH45.第 5 页 在MFK 中，FMK45，所以|MF|2|FK|.而|FK|1.所以|MF|2.故选 C.答案 C 7已知抛物线 y22px(p0)的准线与曲线 x2y24x50 相切，则 p 的值为_ 解析 曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为 3

6、的圆，又抛物线的准线方程为 xp2，由抛物线的准线与圆相切得 2p23，解得 p2.答案 2 二、填空题 8(2019武汉模拟)抛物线 y24x 的焦点为 F，倾斜角等于 45的直线过 F 交该抛物线于 A，B 两点，则|AB|_.解析 由抛物线焦点弦的性质，得|AB|2psin222sin2458.答案 8 9(2019黑龙江绥化期末)设抛物线 y216x 的焦点为 F，经过点 P(1,0)的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且 2BPPA，则|AF|2|BF|_.解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)P(1,0)，BP(1x2，y2)，PA(x11，y1)第 6 页 2BPPA，

7、2(1x2，y2)(x11，y1)，x12x23，2y2y1.将 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线方程 y216x，得 y2116x1，y2216x2.又2y2y1，4x2x1.又x12x23，解得 x212，x12.|AF|2|BF|x142(x24)242124 15.答案 15 三、解答题 10(2019河北沧州百校联盟)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上一点 P 的横坐标为 2，|PF|3.(1)求抛物线 C 的方程；(2)过点 F 且倾斜角为 30的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，求OAB 的面积 解(1)由抛物线定义可知，|PF

8、|2p23，p2，抛物线C 的方程为 y24x.(2)由 y24x，得 F(1,0)，过点 F 且倾斜角为 30的直线方程为y33(x1)联立 y24x，消去 x 得 y24 3y40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24 3，y1y24.第 7 页 SOABSOAFSOFB12|y1y2|1248164.能力提升 11(2019辽宁沈阳二中期中)抛物线 C：y24x 的焦点为 F，斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点若线段 MN 的垂直平分线与x轴交点的横坐标为a(a0)，n|MF|NF|，则2an()A2 B3 C4 D5 解析 由题意得 F(1,0)

9、，准线方程为 xMN 的中点坐标为(x0，y0)由抛物线的定义，得 n|MF|NF|xM1xN1xMxN22x0MN 的垂直平分线方程为 yy01k(xx0)，令 y0，得 xky0 x0，即 aky0 x0.由点差法可得 ky02，所以 x0a2，所以2an2x04(2x02)2.故选 A.答案 A 12(2019北京昌平期末)已知ABC 的三个顶点均在抛物线 y2x 上，边 AC 的中线 BMx 轴，|BM|2，则ABC 的面积为_ 解析 根据题意设 A(a2，a)，B(b2，b)，C(c2，c)，不妨设 ac.M 为边 AC 的中点，Ma2c22，ac2.又BMx 轴，bac2.|BM|

10、a2c22b2a2c22ac242，第 8 页(ac)28，ac2 2.作 AHBM 交 BM 的延长线于 H，故 SABC2SABM212|BM|AN|2|ab|2aac2ac2 2.答案 2 2 13(2019福建厦门期中)设抛物线 C：y24x，F 为 C 的焦点，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点(1)若 l 的斜率为 1，求|AB|的大小；(2)求证：OAOB是一个定值 解(1)直线 l 的斜率为 1 且过点 F(1,0)，直线 l 的方程为 yx1.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 yx1，y24x，消去 y 得 x26x10.0，x1x26，x1x21

11、，|AB|x1x2p8.(2)证明：设直线 l 的方程为 xky1，联立 xky1，y24x，消去x 得 y24ky40，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24k，y1y24，第 9 页 OA(x1，y1)，OB(x2，y2)OAOBx1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143.OAOB3 是一个定值 14已知抛物线 y22px(p0)，过点 C(2,0)的直线 l 交抛物线于 A、B 两点，坐标原点为 O，OAOB12.(1)求抛物线的方程；(2)当以 AB 为直径的圆与 y 轴相切时，求直线 l 的方程 解(1)设 l：

12、xmy2，代入 y22px，得 y22pmy4p0.(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y24p，则 x1x2y21y224p24.因为OAOB12，所以 x1x2y1y212，即 44p12，得 p2，抛物线的方程为 y24x.(2)(1)中(*)式可化为 y24my80，y1y24m，y1y28.设 AB 的中点为 M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24，第 10 页 又|AB|1m2|y1y2|1m216m232，由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得 m23，m 3.所以直线 l 的方程为 x 3y20 或 x 3y20.延伸

13、拓展 已知过点 A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B、C 两点当直线 l 的斜率是12时，AC4AB.(1)求抛物线 G 的方程；(2)设线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围 解(1)设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线 l 的斜率是12时，l 的方程为 y12(x4)，即 x2y4.由 x22py，x2y4得 2y2(8p)y80，y1y24，y1y28p2.又AC4AB，y24y1，由及 p0 得：y11，y24，p2，则抛物线 G 的方程为x24y.(2)设 l：yk(x4)，BC 的中点坐标为(x0，y0)，第 11 页 由 x24y，ykx4得 x24kx16k0，x0 xCxB22k，y0k(x04)2k24k.线段 BC 的中垂线方程为 y2k24k1k(x2k)，线段 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为：b2k24k22(k1)2，对于方程，由 16k264k0 得：k0 或 k4.b(2，)