考研数学公式手册随身看.pdf

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1、.目 录 一、高等数学 1(一)函数、极限、连续 1(二)一元函数微分学 5(三)一元函数积分学 13(四)向量代数和空间解析几何 21(五)多元函数微分学 30(六)多元函数积分学 37(七)无穷级数 42(八)常微分方程 49 二、线性代数 54(一)行列式 54(二)矩阵 56(三)向量 59(四)线性方程组 62(五)矩阵的特征值和特征向量 64(六)二次型 66 三、概率论与数理统计 68(一)随机事件和概率 68(二)随机变量及其概率分布 72(三)多维随机变量及其分布 74(四)随机变量的数字特征 78(五)大数定律和中心极限定理 80(六)数理统计的根本概念 82(七)参数估计

2、 84(八)假设检验 86 经常用到的初等数学公式 88 平面几何 89.一、高等数学(一)函数、极限、连续 考试容 公式、定理、概念 函数和隐函数 函数：设有两个变量x和y，变量x的定义域为D，如果对于D中的每一个x值，按照一定的法则，变量y有一个确定的值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作：yf x 根本初等函数的性质及其图 形，初等函数，函数关系的建立：根本初等函数包括五类函数:1 幂函数:yxR;2 指数函数xya(0a 且1a);3 对数函数:logayx(0a 且1a);4 三角函数:如sin,cos,tanyx yx yx等;5 反三角函数:如 arcsin,arccos,a

3、rctanyx yx yx等.初等函数：由常数C和根本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数.数列极限与函数极限的定义及 其 性质，函数的左极限1000lim()()()xxf xAfxfxA 2000lim()()(),lim()0 xxxxf xAf xAa xa x其中 3(保号定理).与右极限 0lim(),0(0),0 xxf xAAA设又或则 一个,000(,),()0()0)xxxxxf xf x当且时，或 无穷小和无穷大的概念及其 关系，无穷小的性质及无穷小的比拟 lim)0,lim()0 xx设（()(1)lim0,()(

4、)xxxx若则是比（高阶的无穷小，记为(x)=o(x).()(2)lim,()()xxxx 若则是比（低阶的无穷小，()(3)lim(0),()()xc cxxx若则与（是同阶无穷小，()(4)lim1,()()xxxx若则与（是等价的无穷小，记为(x)(x)()(5)lim(0),0,()()kxc ckxxx若则是（的k 阶无穷小 0 x 常用的等阶无穷小：当时 sinarcsintan,arctanln(1)e1xxxxxxx2111 cos21(1)1nxxxxn 无穷小的性质（1）有限个无穷小的代数和为无穷小（2）有限个无穷小的乘积为无穷小（3）无穷小乘以有界变量为无穷小.Th 在同

5、一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的四则运算 lim(),lim().f xAg xB则(1)lim()()f xg xAB；(2)lim()()f x g xA B；()(3)lim(0)()f xABg xB 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则，两个重 要 极限：1()()(),xxf xx0夹逼定理）设在的邻域内，恒有（00lim()lim(),xxxxxxA且0lim()xxf xA则 2 单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限：0sin(1)lim1xxx10(2)lim(1)exxx 重要公式：0010111011,lim

6、0,nnnnmmxmmanmba xa xaxanmb xb xbxbnm 4 几个常用极限特例 lim1,nnnlim arctan2xx lim arctan2xx lim arccot0,xx.lim arccotxxlim e0,xx lim e,xx 0lim1,xxx 函数连续的概念：函数连续 点的类 型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质 连续函数在闭区间上的性质：(1)(连续函数的有界性)设函数 f x在,a b上连续,则 f x 在,a b上有界,即常数0M，对任意的,xa b,恒有 fxM.(2)(最值定理)设函数 f x在,a b上连续,则在,a b上 f x至少取

7、得最大值与最小值各一次,即,使得:max,a x bff xa b；min,a x bff xa b.(3)(介值定理)假设函数 f x在,a b上连续,是介于 f a与 f b(或最大值M与最小值m)之间的任一实数,则在,a b 上至少一个,使得.fab.(4)(零点定理或根的存在性定理)设函数 f x在,a b上连 续,且 0f af b,则在,a b至少一个,使得 0.fab(二)一元函数微分学 考试容 对应公式、定理、概念 导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和 物理意义 1导数定义：0000()()()limxf xxf xfxx1 或 0000()()()limxxf xf xf

8、xxx 2 2 函数()f x在0 x处的左、右导数分别定义为：左导数：00000000()()()()()limlim,()xxxf xxf xf xf xfxxxxxxx 右导数：0000000()()()()()limlimxxxf xxf xf xf xfxxxx 函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和 法线 Th1:函数()f x在0 x处可微()f x在0 x处可导 Th2:假设函数()yf x在点0 x处可导，则()yf x在点0 x处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导.Th3:0()fx存在00()()fxfx 00()()(,)f xxxf xM xy0设函数

9、在处可导，则在处的 0000000-()()1-(),()0.()yyfxxxyyxxfxfx 切线方程：法线方程:.导数和微分的四则运算，初等函数的导数，四则运算法则:设函数()uu x，()vv x在点x可导则(1)()uvuv()d uvdudv(2)()uvuvvu()d uvudvvdu(3)2()(0)uvuuvvvv 2()uvduudvdvv 根本导数与微分表(1)yc常数 0y 0dy (2)yx(为实数)1yx 1dyxdx(3)xyalnxyaa lnxdyaadx 特例 (e)exx(e)exxddx(4)1lnyxa 1lndydxxa 特例 lnyx1(ln)xx

10、1(ln)dxdxx(5)sinyxcosyx(sin)cosdxxdx(6)cosyxsinyx (cos)sindxxdx (7)tanyx221seccosyxx 2(tan)secdxxdx(8)cotyx221cscsinyxx 2(cot)cscdxxdx (9)secyxsectanyxx(sec)sectandxxxdx(10)cscyxcsc cotyxx (csc)csc cotdxxxdx (11)arcsinyx211yx 21(arcsin)1dxdxx(12)arccosyx211yx 21(arccos)1dxdxx .(13)arctanyx211yx 21(a

11、rctan)1dxdxx(14)arccotyx211yx 21(arccot)1dxdxx (15)yshxychx()d shxchxdx(16)ychxyshx()d chxshxdx 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法，1 反函数的运算法则:设()yf x在点x的*邻域单调连 续，在点x处可导且()0fx，则其反函数在点x所对应的 y处可导，并且有1dydxdxdy 2 复合函数的运算法则:假设()x在点x可导,而()yf 在对应点()x)可导,则复合函数()yfx在点x可 导,且()()yfx 3 隐函数导数dydx的求法一般有三种方法：(1)方程两边对x求导

12、，要记住y是x的函数，则y的函数是 x的复合函数.例如1y，2y，ln y，ey等均是x的复合函数.对x求导应按复合函数连锁法则做.(2)公式法.由(,)0F x y 知(,)(,)xyF x ydydxF x y,其中，(,)xF x y，(,)yFx y分别表示(,)F x y对x和y的偏导数(3)利用微分形式不变性.高 阶 导数，一阶微分形式的 不 变性，常用高阶导数公式 1()()()ln(0)(e)exnxnxnxaaaa 2()(sin)sin()2nnkxkkxn 3()(cos)cos()2nnkxkkxn 4()()(1)(1)mnm-nxm m-m-n+x 5()(1)(1

13、)!(ln)(1)nnnnxx 6莱布尼兹公式：假设()()u x,v x均n阶可导，则()()()0()nniin-ini=uvc u v，其中(0)u=u，(0)v=v 微分中值 定理，必达法则，泰勒公式 Th1(费马定理)假设函数()f x满足条件：(1)函数()f x在0 x的*邻域有定义，并且在此邻域恒有 0()()f xf x或0()()f xf x,(2)()f x在0 x处可导,则有 0()0fx Th2(罗尔定理)设函数()f x满足条件：(1)在闭区间,a b上连续；(2)在(,)a b可导，则在(,)a b一个，使 ()0f Th3(拉格朗日中值定理)设函数()f x满足

14、条件：(1)在,a b上连续；(2)在(,)a b可导；则在(,)a b一个，使 ()()()f bf afba Th4(柯西中值定理)设函数()f x，()g x满足条件：(1)在,a b上连续；(2)在(,)a b可导且()fx，()g x均存在，.且()0g x则在(,)a b一个，使 ()()()()()()f bf afg bg ag 洛必达法则：法则 (00型)设函数 ,f xg x满足条件：00lim0,lim0 xxxxf xg x;,f xg x在0 x的邻域可导(在0 x处可除外)且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx

15、 法则I(00型)设函数 ,f xg x满足条件：lim0,lim0 xxfxg x;一个0X,当xX 时,f xg x可导,且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx 法则(型)设函数 ,f xg x满足条件：00lim,limxxxxf xg x ;,f xg x在0 x 的邻域可.导(在0 x处可除外)且 0gx;0limxxfxgx存在(或).则 00limlim.xxxxf xfxg xgx同理法则II(型)仿法则I可写出 泰勒公式:设函数()f x在点0 x处的*邻域具有1n阶导 数，则对该邻域异于0 x的任意点x，在0 x与x之

16、间至少 一个，使得 2000001()()()()()()2!fxfxfxxxfxxx()00()()()!nnnfxxxRxn 其中(1)10()()()(1)!nnnfRxxxn称为()f x在点0 x处的n阶泰勒余项.令00 x，则n阶泰勒公式()21(0)()(0)(0)(0)()2!nnnffxffxfxxRxn(1)其中(1)1()()(1)!nnnfRxxn，在 0 与x之间.(1)式称为麦克劳林公式 常用五种函数在00 x 处的泰勒公式 1211e12!(1)!nxnxxxxenn .或 2111()2!nnxxxo xn 1311sinsinsin()3!2(1)!2nnxn

17、xnxxxnn 或 31sin()3!2nnxnxxo xn 1211cos1coscos()2!2(1)!2nnxnxnxxnn 或 211cos()2!2nnxnxo xn 1231111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nnnnnxxxxxxnn 或 23111(1)()23nnnxxxxo xn 2(1)(1)(1)(1)12!mnm mm mmnxmxxxn 11(1)(1)(1)(1)!nm nm mmnxn 或 2(1)(1)12!mm mxmxx(1)(1)()!nnm mmnxo xn 函数单调性的判别，函数的极值，函数的图形的凹凸性，拐点1 函数单调性的判断：Th1 设

18、函数()f x在(,)a b区间可导，如果对(,)xa b，都有()0fx 或()0fx ，则函数()f x在(,)a b是单调增加的或单调减少 Th2 取极值的必要条件 设函数()f x在0 x处可导，且在0 x.及渐近线，用函数图形描绘函数最大值和最小值，处取极值，则0()0fx.Th3 取极值的第一充分条件设函数()f x在0 x的*一邻域可微，且0()0fx或()f x在0 x处连续，但0()fx不存在.(1)假设当x经过0 x时，()fx由+变-，则0()f x为极大值；(2)假设当x经过0 x时，()fx由-变+，则0()f x为极小值；(3)假设()fx经过0 xx的两侧不变号，

19、则0()f x不是极值.Th4(取 极 值 的 第 二 充 分 条 件)设()f x在 点0 x处 有()0fx，且0()0fx，则 当0()0fx时，0()f x为极大值；当0()0fx时，0()f x为极小值.注：如果0()0fx，此方法失效.2 渐近线的求法：(1)水平渐近线 假设lim()xf xb，或lim()xf xb，则yb 称为函数()yf x的水平渐近线.(2)铅直渐近线 假设0lim()xxf x，或0lim()xxf x，则0 xx 称为()yf x的铅直渐近线.(3)斜渐近线 假设()lim,lim()xxf xabf xaxx，则 yaxb称为()yf x的斜渐近线

20、3 函数凹凸性的判断：Th1(凹凸性的判别定理假设在 I 上()0fx 或()0fx ，则()f x在 I 上是凸的或凹的.Th2(拐点的判别定理 1)假设在0 x处()0fx，或()fx不存 在，当x变动经过0 x时，()fx变号，则00(,()xf x为拐点.Th3(拐点的判别定理 2)设()f x在0 x点的*邻域有三阶导数，且()0fx，()0fx，则00(,()xf x为拐点 弧微分，曲率的概念，曲率半径 1.弧微分：21.dSy dx 2.曲率：曲线()yf x在点(,)x y处的曲率322.(1)yky 对于参数方程(),()xtyt3222()()()().()()ttttkt

21、t 3.曲率半径：曲线在点M处的曲率(0)k k 与曲线在点M处的曲率半径有如下关系：1.k(三)一元函数积分学.考试容 对应公式、定理、概念 原函数和不定积分的概念，不定积分的根本性质 根本性质 1()()kf x dxkf x dx 0k 为常数 21212()()()()()()kkf xfxfx dxf x dxfx dxfx dx 3 求导：()()f x dxf x 或微分：()()df x dxf x dx 4()()F x dxF xC或()()dF xF xCC是任意常数 根本积分 公式 111kkx dxxCk 1k 211dxCxx 12dxxCx 1lndxxCx(0,

22、1)eelnxxxxaa dxCaadxCa cossinsincosxdxxCxdxxC 221sectancosdxxdxxCx 221csccotsindxxdxxCx 1cscln csccotsindxxdxxxCx1secln sectancosdxxdxxxCx.sectanseccsccotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 2221arctanarctan1dxxdxCxCaaaxx 222arcsinarcsin1dxxdxCxCaaxx 222111lnln2211dxaxdxxCCaaxxaxx 2222lndxxx

23、aCxa 重要公式(1)(),f xl l设在上连续，则 0()()()lllfx dxfxfxdx00,2(),lfxfx dxfx当（）为奇函数当（）为偶函数 2f xTa（）设（）是以为周期的连续函数，为任意实数，则202()()().TaTTTafx dxfx dxfx dx 22201(3)4aax dxa 2200131,22 2(4)sincos1321,23nnnnnnnxdxxdxnnnnn当 为偶数当 为奇数.20,5sincossincos0,nmnxmxdxnxmxdxnm-（）20sincossincos0nxmxdxnxmxdx 20,coscoscoscos00,

24、nmnxmxdxnxmxdxnm 定积分的概念和根本性质，定积分中值定理 1 定积分的根本性质(1)()()()bbbaaaf x dxf t dtf u du定积分只与被积函数和积分限有关，而与积分变量无关，即(2)()()baabf x dxf x dx (3)badxba(4)()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx(5)()()(bbaakf x dxkf x dx k为常数）(6)()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx(7)()(),()().bbaaf xg x xa bf x dxg x dx比较定理：设则(),()0;baf

25、xxa bf x dx推论：1.当0,时，2.|()|()|bbaaf x dxf x dx.(8)(),()()()bamf xM xa bm Mm baf x dxM ba估值定理：设其中为常数，则(9)(),()()()baf xa ba bf x dxba f积分中值定理：设在上连续，则在上至少 一个使1()()baff x dxba平均值公式 积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼兹公式 Th1()xaf xabxabF xf t dtx设函数（）在，上连续，则变上限积分（）对 可导()()()()xaddFxF xf t dtfxdxdx且有()()(),()()().xaF xf t

26、 dtFxfxx推论 1 设=则()()()()()()()xxxf t dtfxxfxx推论2 ()()()()()()xxxxaaf t g x dtg xf t dt推论 3()()()()()()xagxf t dtg x fxx Th2(),f xa bxa b设在 上连续，,则()(),xaf x dtf xa b是在上的一个原函数 Th3(),f xa b牛顿-莱布尼茨公式:设在 上连续，()F x()f x是的原函数，则()()|()()bbaafx dxFxF bF a.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 1 不定积分：分部积分法：udvuvvdu选择 u，dv 的原则

27、：积分容易者选作 dv，求导简单者选为 u 换元积分法：()(),f u duF uC设()()()()fxx dxfxdx则()()()()uxf u duF uCFxC设 2 定积分 换元法:f xabxt设函数（）在，上连续，若（）满足：()0.tt(1)()在，上连续，且(2)()().aabt 并且当在，上变化时，tab（）的值在，上变化，则()()().bafx dxftt dt 分部积分公式 (),(),u xv xa bu x v x设（），（）在，上具有连续导函数则()()()()|()()aaabbbu x vx dxu x v xv x ux dx 3 定积分不等式证明中

28、常用的不等式 22(1)2abab1(2)0,2aaa.(3)柯西不等式：222()()()(),bbbaaaf x g x dxfx dxgx dxf xg xab其中（），（）在，上连续 有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分，广义积分和定积分的应 用 1 三角函数代换 函数()f x含根式 所作代换 三角形示意图 22ax sinxat 22ax tanxat 22xa secxat 有理函数积分(1)ln|AdxAxaCxa 11(2)(1)()1()nnAAdxC nxanxa .2222222424(3)4()()()24pxunnq pnadxdxdupq pxpx qu

29、ax令+221211(4)()()2(1)()2()nnnx apdxdxaxpx qnxpx qxpx q240pq 4 广义积分（1）无穷限的广义积分无穷积分 f x设（）连续，则()lim()baabf x dxf x dx+.=()lim()baaf x dxf x dxb-2.=3.()()()ccf x dxf x dxf x dx（2）无界函数的广义积分瑕积分 01.()lim(),()bbaaf x dxf x dxxbf x 当时，02.()lim(),(bbaafx dxfx dxxafx 当时，（）00.()lim()lim()(bcbaacf x dxf x dxf x

30、 dxxcfx 当时，（）.(四)向量代数和空间解析几何 考试容 对应公式、定理、概念 向量的概念，向量的线性运算，1.向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.2.向量的模：向量a的大小.记为a.3.向量的坐标表示：假设向量用坐标表示 ,axiyjzkx y z，则222axyz 4 向量的运算法则：加减运算 设有矢量111,ax y z，222,bxyz，则 121212,.abxxyyzz.数乘运算 数乘运算矢量a与一数量之积a，000,0,a aaaa aa即与 同向0=0,即为零矢量-即与 反向 设111,ax y z，则 111,.axyz 向量的数量积和向量积，向量的混合积，1 矢量

31、的数积点积，积：矢量a与b的数量积 cos,.a ba ba b 设111,ax y z，222,bxyz，则121212.a bx xy yz z.2 矢量的向量积叉积，外积：设有两个向量a与b，假设一个矢量c，满足如下条件 1sin(,)ca ba b；2,ca cb，即c垂直于a，b所确定的平面；3a，b，c成右手系.则称矢量c为矢量a与b的矢量积，记ca b.设111,ax y z222,bxyz，则 111111111222222222.ijkyzx zxyabxyzijkyzxzxyxyz 3 混合积：设有三个矢量,a b c，假设先作a，b的叉积a b，再与c作点积()a bc，

32、则这样的数积称为矢量a，b，c的混合积，记为(,)a b c，即(,)().a b ca bc 设111,ax y z，222,bxyz，333,cxyz，则111222333(,)xyza b cxyzxyz.两向量垂直、平行的条件，两向量的夹角，向量的坐标表达式及其运算，单 位 向量，方向数与方向余弦，1 向量之间的位置关系及结论 设111,ax y z，222,bxyz，333,cxyz 112121200aba bx xy yz z；2111222/0 xyzaba bxyz；其中222,xyz之中有一个为0，如20 x，应理解为10 x；3a，b不共线 不全为零的数,使0ab；4矢量

33、a与b的夹角，可由下式求出 121212222222111222cos()x xy yz za bxyzxyz；5a，b，c共面 不全为零的数,v，使 0abvc或者(,)0a b c 2 单位向量：模为 1 的向量.向量a的单位向量记作0a，.0222222222,.axyzaaxyzxyzxyz 3 向量的方向余弦：222222222cos,cos,cos,xyzxyzxyzxyz其中,为向量a与各坐标轴正向的夹角.4 单位向量的方向余弦：显然0cos,cos,cos a，且有 222coscoscos1.曲面方程和空间曲线方程的概念，平面方程，直 线 方程，平面与平面、平面与直线、直线与

34、直线的以 及 平行、垂直的条件，点到平面和点到直1 平面方程(1)一般式方程 0AxByCzD，法矢量,nA B C，假设方程中*个坐标不出现，则平面就平行于该坐标轴，例如 平面0/AxCzDy轴(2)平面的点法式方程 000()()()0A xxB yyC zz000(,)M xyz为平面上点，,nA B C为法矢量(3)三点式方程 111212121313131xxyyzzxx yy zzxx yy zz 1111(,)Mx y z,2222(,)Mxyz,3333(,)Mxy z为平面上的三个点.线的距离(4)截距式方程 1xyzabc，,a b c分别为平面上坐标轴上 的截距，即平面通

35、过三点(,0,0),(0,0),(0,0,)abc 2 直线方程 一般式方程(两平面交线)：1111222200A xB yC xDA xB yC xD12平面平面 平面1与平面2的法矢量分别为1111,nA B C，2222,nA B C，直线的方向矢量为12111222ijksnnA B CA B C(2)标准式方程 000 xxyyzzlmn000(,)M xyz为直线上点，,sl m n为直线的方向矢量(3)两点式方程 111212121xxyyzzxxyyzz 其中1111(,)Mx y z，2222(,)Mxyz为直线上的两点(4)参数式方程000 xxltyymtzznt000(

36、,)M xyz为直线上.点，,sl m n为直线的方向矢量 3 平面间的关系 设有两个平面：平面1：11110A xB yC zD平面2：22220A xB yC zD(1)平面1/平面2111222ABCABC(2)平面1平面21212120A AB BC C(3)平面1与平面2的夹角，由下式确定 121212222222111222cosA AB BC CABCABC 4 平面与直线间关系 直线000:xxyyzzLlmn 平面1：11110A xB yC zD(1)/0LAlBmCn(2)ABCLlmn(3)L与的夹角，由下式确定 222222sinAlBmCnABClmn 5 直线间关

37、系 设有两直线：直线1111111:xxyyzzLlmn 直线2222222:xxyyzzLlmn.(1)11112222/lmnLLlmn(2)121 212120LLl lm mn n(3)直线1L与2L的夹角，由下式确定 1 21212222222111222cosl lm mn nlmnlmn 6 点到平面的距离：000(,)M xyz到平面:0AxByCzD的距离为 000222AxByCzDdABC 7 点到直线的距离：000(,)M xyz到直线 1111111:xxyyzzLlmn距离为 0101011012221ijkxxyyzzlmnM MM PdM Plmn 球面，母线平

38、行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程，准线为各种形式的柱面方程的求法(1)准线为,0:0fx yz,母线/z轴的柱面方程为,0f x y,准线为,0:0 x zy,母线/y轴的柱面方程为.常用的二次曲面方,0 x z,准线为,0:0y zx,母线/x轴的柱面方程为,0y z.(2)准线为,0:,0fx y zg x y z,母线的方向矢量为,l m n的柱面方程的求法 首先,在准线上任取一点,x y z,则过点,x y z的母线方程为XxYyZzlmn 其中,X Y Z为母线上任一点的流动坐标,消去方程组,0,0fx y zg x y zXxYyZzlmn 中的,x y z便得所求

39、的柱面方程 常见的柱面方程 名称 方程 图形 圆柱面 222xyR xyzo.程及其图形，空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.椭圆柱面 22221xyab xyz 双曲柱面 22221xyab-aoaxyz 抛物柱面 22,0 xpy p zyx 标准二次方程及其图形 名称 方程 图形 椭球面 2222221xyzabc(,a b c均为正数)obczyx 单叶双曲面 2222221xyzabc(,a b c均为正数).双叶双曲面 2222221xyzabc(,a b c均为正数)椭圆的抛物面 22222xypzab(,a b p为正数)双曲抛物面(又名马鞍面)22

40、222xypzab(,a b p均为正数)二次锥面 2222220 xyzabc (,a b c为正数)oyxz(五)多元函数微分学 考试容 对应公式、定理、概念.多元函数的概念，二元函数的几何意义，二元函数的极限和连续的概念，二元函数(,)zf x y连续，可导两偏导存在与可微三者的关系如下：可导可微函数连续 表示可推出 用全微分定义验证一个可导函数的可微性，只需验证：(,)(,)lim0 xyzfx yxfx yy 是否为 有界闭区域上多元连续函数的性质，多元函数偏导数和全微分，全微分存在的必要条件和充分条件，根本原理 1()(,)(,),(,),(,)(,)xyyxxyyxThzf x

41、yfx yfx yDfx yfx y求偏导与次序无关定理设的两个混合偏导数在区域内连续 则有2()(,)(,),Thzf x yP x yzzzzdzdxdyxyxy可微与偏导存在的关系定理若在点处可微则在该点处必存在且有3()(,),(,)(,)(,)(,)Thzzfx yP x yyP x yzfx yP x y偏导存在与可微的关系定理z若的两个偏导数在x上的某领域内存在,且在连续,则在点处可微 多元复合函数、隐函数的求导法，二阶 偏 导数，方向1 复合函数微分法(1)(,),(,),(,),zf u v ux y vx y设则zzuzvxuxvxzzuzvyuyv y .导数和梯度，(2

42、)(,),(),(),zf u v ux vxz duz dvzu dxv dx设dz则称之为 的全导数dx(3)(,),(,),(,),0zf x u v ux y vx yzffufvxxuxvxzfufvyuyvy设则 注：复合函数一定要设中间变量，抽象函数的高阶偏导数，其中间变量用数字 1，2，3表示更简洁.2 隐函数微分法 (,)(1)(,)0,(,)xyFx ydyF x ydxFx y 设则 (,)(,)(2)(,)0,(,)(,)yxzzFx y zFx y zzzF x y zxFx y zyFx y z 则(3)(),(),yy x zz xF(x,y,z)=0设由方程组确

43、定的隐函数G(x,y,z)=0,dy dzdx dx则可通过,dy dzdx dx解关于的线性方程组 0:0 xyzxyzdydzFFFdxdydydzGGGdxdx,yzxyzxdydzFFFdxdxdydzGGGdxdx 来求解 方向导数和梯度 Th1 设(,)zf x y在000(,)Mxy处可 微，则(,)f x y在 点000(,)Mxy沿任意方向(cos,cos)l 存在方向导数且000000(,)(,)(,)coscosf xyf xyf xylxy 在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示：.(cos,sin)l，0,2 l是 的极角，此时相应的方向导 数的计算公式为 000

44、000(,)(,)(,)cossinf xyf xyf xylxy Th2 设三元函数(,)uf x y z在0000(,)Mxyz处可微，则(,)uf x y z在点0000(,)Mxyz沿任意方向(cos,cos,cos)l存在方向导数且有 000000000(,)(,)(,)coscosf xyzf xyzf xyzlxy 000(,)cosf xyzz 梯度：(,)zf x y在点0M的方向导数计算公式可改写成 000000(,)(,)(,)(,)(cos,cos)f xyf xyf xylxy 000000(,)(,)cos(,),grad f xylgradf xygrad f x

45、yl 这里向量000000(,)(,)(,)(,)f xyf xygradf xyxy成为(,)zf x y在点0M的梯度(向量)00(,)f xyll随 而变化0000(,)(,)grad f xylgrad f xy即沿梯度方向时，方 向导数取最大值00(,)grad f xy 空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，1 曲线的切线及法平面方程 0000()(1)()(,)()xx tyy txyzttzz t曲线在.000000()()()xxyyzzx ty tz t处的切线方程：000000()()()()()()0 x txxy tyyz tzz法平面方程：(2)空间曲线 的一

46、般式方程为,)0(,)0F x y zG x y z（000,)P xyz则在曲线 的（处的 000(,)(,)(,)(,)(,)(,)pppxxyyzzF GF GF Gy zz xx y切线方程：法线方程：000(,)(,)(,)()()0(,)(,)(,)pppF GF GF Gxxyyzzy zz xx y（2 空间曲面在其上*点处的切平面和法线方程 000(1)(,),(,)zf x yP x y z设曲面为显示方程则在上一点处的 000()()()0.ppzzxxyyzzxy切平面方程：0001ppxxyyzzzzxy法线方程：000(2),)0,(,)F x y zP xy z设

47、曲面为隐式方程（则在上一点的000()()()0 xyzppFxxFyyFzz切平面方程：.000|xpypzpxxyyzzFFF法线方程：二元函数的二阶泰勒公式，多元函数的极值和条件极值，多元函数的最大值、最小值及其简单应用 1 多元函数的极值 定义：00(,)(,)zf x yP x y设函数在的某邻域内有定义，假设对于该邻域 异于00(,)P xy点的任一(,)Q x y点恒有 0000(,)(,)(,)f x yf xyf xy或 00(,)(,)f xyf x y则称为的极小值(极大值)000000001(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0 xyThzfx yP xyfxyP x

48、yzfx yfxy（取极值的必要条件）设在点的一阶偏导数存在，且是的极值点，则 000002(,)(,),)0,(,)0 xyThzfx yP xyfxyfxy0（函数取极值的充分条件）设在点的某邻域内有连续的二阶偏导数,且(222000000(,)(,)(,)0 xyxyfxyfxyfxy00(,)(,)P xyzf x y则是的一个极值点 22000000(1)(,)0(,)0),(,)xyfxyfxyP xy若或则为极小值点。22000000(,)0(,)0),(,)xyfx yfx yP x y(2)若或则为极大值点。2 无条件极值.解题程序：0(1)(,),)zf x yxy0求出的

49、驻点（；00(2)2(,)Thxy用判别是否为极值点；是，00(,)f xy则为(,)zf x y的极值。3 条件极值拉格朗日乘数法 1(,)x yzf x y）由条件(,)=0,求的极值 解题程序:(,)(,)F x yf x yx y令=+(,);00(,)(,)0(,)(,)0(,);(,)0 xxyyfx yx yfx yx yxyx y解方程组 求驻点 00(,)(,)f xyf x y即为的极值（存在的话）0,0,00,002(,),),)(,)(,)0(,)(,)0(,)(,)0(,)0)(,)(,)xxyyzzuf x y zF x y zx y zfx yzx y zfx y

50、 zx y zfx y zx y zx y zx y zf x y zf x y z）由条件(x,y,z)=0,求的极值。解题程序：令（;，解方程组若（为其解即为的极值（若存在的话）.1211223,)0.(,)0(,),)(,),),)12x y zx y zuf x y zF x y zf x y zx y zx y z）由条件（求函数的极值解题程序：令（以下仿），）(六)多元函数积分学 考试容 对应公式、定理、概念 二重积分与三重积分 的 概念、性质、计算和应用 1 二重积分：,011iI=(,)lim(),1,2,)maxniiiidi niif x y dfdddin D=,其中为的