(精品李正元高等数学强化讲义.pdf

《(精品李正元高等数学强化讲义.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(精品李正元高等数学强化讲义.pdf（147页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 李正元高等数学强化讲义 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第一讲 极限、无穷小与连续性 一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是：最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 掌握求极限的各种方法 掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法 判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）复合函数、分段函数及函数记号的运算 1 极限的重要性质 1不等式性质 设ByAxnnnnlimlim，且 AB，则存在自然数 N，使得当 nN 时有 xnyn 设ByAxnnnnlimlim，且存在自然数 N，当 nN 时有 xn

2、yn，则 AB 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设Axnnlim，且 A0，则存在自然数 N，使得当 nN 时有 xn0设Axnnlim，且存在自然数N，当 nN 时有 xn0，则 A0 对各种函数极限有类似的性质例如：设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，且 AB，则存在0，使得当00 xx有 f（x）g（x）设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，且存在0，使得当 0 xx0时 f（x）g（x），则 AB 2有界或局部有界性性质 设Axnnlim，则数列xn有界，即存在M0，使得xnM（n=1，2，3，）设，Axfxx)(lim0则函数 f（x）在 x=x0的某空心

3、邻域中有界，即存在0和 M0，使得当 0 xx0时有f（x）M对其他类型的函数极限也有类似的结论 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2 求极限的方法 1极限的四则运算法则及其推广 设BxgAxfxxxx)(lim)(lim00，则；BAxgxfxx)()(lim0；ABxgxfxx)()(lim0)0()()(lim0BBAxgxfxx 只要设)(glim)(lim00 xxfxxxx，存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“00”，“”，“0”，“”四种未定式以外的各种情形即：1设Bxxfxxxx)(glim)(lim00，则)()(lim

4、0 xgxfxx.)()(lim0 xgxfxx（()0g x）又 B0，则)()(lim0 xgxfxx2设)(lim0 xfxx，当 xx0时()g x局部有界，（即0,0M，使得00 xx时()g xM），则)()(lim0 xgxfxx 设)(lim0 xfxx，当 xx0时g（x）局部有正下界，（即0，b0 使得 0 x x0时g（x）b0），则)()(lim0 xgxfxx 3设)(lim0 xfxx，)(lim0 xgxx，则)()(lim0 xgxfxx，又0 使得 0 x x0时 f（x）g（x）0，则)()(lim0 xgxfxx 4设0)(lim0 xfxx，xx0时 g

5、（x）局部有界，则0)()(lim0 xgxfxx（无穷小量与有界变量之积为无穷小）2幂指函数的极限及其推广 设AxfBxgAxfBxgxxxxxx)()(lim)(lim0)(lim000则，000lim()ln()()()ln()ln(lim()lim)xxg xf xg xg xf xBABxxxxf xeeeA 只要设00lim()lim()xxxxf xg x，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1”，“00”及“0”三种未定式以外的各种情形这是因为仅在这三个情况下)(ln)(lim0 xfxgxx是“0”型未定式 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请

6、联系网站删除 1设)(lim0 xfxx=0（0 x0 x时 f（x）0），0)(lim0Bxgxx，则 0()0(0)lim()(0)g xxxBf xB 2设)(lim0 xfxx=A0，A1，)(lim0 xgxx=+，则 0()0(01)lim()(1)g xxxAf xA 3设)(lim0 xfxx=+，0)(lim0Bxgxx，则 0)()0(0)(lim)(0BBxfxgxx 【例 1】设，则，又_)(lim0)(glim)()(lim000 xfxAxgxfxxxxxx【分析】00)()()(lim)(lim00Axgxgxfxfxxxx【例 2】设an，bn，cn均为非负数列

7、，且，nnnnnncbalim1lim0lim则必有 （A）anbn对任意 n成立 （B）bncn对任意 n 成立（C）极限nnncalim不存在 （D）nnncblim不存在 用相消法求00或型极限 【例 1】求)cos1(sin1tan1lim0 xxxxIx 【解】作恒等变形，分子、分母同乘得xxsin1tan1 0tansinlim(1 cos)1tan1 sinxxxIxxxx xxxxxxxxsin1tan11lim)cos1()cos1(tanlim0021211 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【例 2】求22411limsinxxxx

8、Ixx 【解】作恒等变形，分子、分母同除)0(2xxx得 20211141401 0lim1sin101xxxxIxx 利用洛必达法则求极限 【例 1】设 f（x）在 x=0有连续导数，又 2)(sinlim20 xxfxxIx 求(0)(0)ff 与【例 2】求)1ln()cos1(1cossin2lim20 xxxxxx【例 3】求xxIxxe)1(lim10【例 4】求xxIxxxsineelimsin0【例 5】若306sin()lim0 xxxf xx，则_)(6lim20 xxfx【例 6】求)1ln(0)(tanlimxxxI 【例 7】设0，0为常数且122lim()aaaxI

9、xxx，则（，）=_【分析】型极限 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 210121)1(lim1t 1)(1limttxxxIaataaxttataaaat2)1(1lim1110 )20()2(21)2(0)1(21lim2110aaattaaat 因此（，）=)212(，分别求左、右极限的情形，分别求nnnnxx212limlim与的情形 【例 1】设|sine1e2)(41xxxfxx，求0lim()xf x【例 2】求nnnIn)1(1lim 利用函数极限求数列极限 【例 1】求)1(limaanInn【例 2】求21lim(tan)nnInn

10、 【解 1】)11tan(11tan12)11tan(1limnnnnnnnnI 转化为求2230021tan11tan11tanlim(tan1)limlimlim1nnxxnxxxnxn nnxxn 123201cos1lime33xxIx 【解 2】用求指数型极限的一般方法 nnnnI11tanln2elim 转化为求 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2021tantan1lnlim lnlim1nxnxxnxn201tanlimxxxx（等价无穷小因子替换），余下同前 3 无穷小和它的阶 1无穷小、极限、无穷大及其联系 （1）无穷小与无穷大的

11、定义 （2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系 0lim()()()xxf xAf xAx 其中00lim()0()(1).xxxf xAoxx，o（1）表示无穷小量 在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u0）u1是无穷大量反之若 u是无穷大量，则u1是无穷小量 2无穷小阶的概念 （1）定义 同一极限过程中，（x），（x）为无穷小，设 0()()1()()()lim()()()()0()()()()()lxxlxxxlxxxlxxxox为有限数，称与为同阶无穷小时，称与为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为极限过程 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联

12、系网站删除 定义 设在同一极限过程中（x），（x）均为无穷小，（x）为基本无穷小，若存在正数 k与常数l使得0)()(lim lxxk 称（x）是（x）的 k阶无穷小，特别有0)()(lim00lxxxkxx，称 xx0时（x）是（xx0）的 k阶无穷小 （2）重要的等价无穷小 x0时 sinx x，tanx x，（1+x）x，ex1 x；ax1 xlna，arcsinx x，arctanx x；（1+x）a1 ax，1cosx 221x （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1若 ，2 =+o（）3在求“00”型与“0”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例 1】求13cos21

13、lim30 xxxxI【例 2】设_)(lim5132sin)(1lnlim200 xxfxxfxxx，则【分析】由已知条件及 02sin)(lim0)2sin)(1ln(lim0)13(lim000 xxfxxfxxxx又在 x=0某空心邻域 f（x）0()()()ln(1)(0)sin 2sin 22f xf xf xxxxx，又 3x1 xln3于是 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 22000()/2()()limlim5lim10ln3ln32ln3xxxf xxf xf xxxx 【例 3】设 x a时（x），（x）分别是 x a的 n 阶

14、与 m阶无穷小，又0)(limAxhax，则 x a 时 （1）（x）h（x）是 x a 的_阶无穷小 （2）（x）（x）是 x a 的_阶无穷小 （3）nm时，（x）（x）是 x a 的_阶无穷小 （4）nm时)()(xx是 x a 的_阶无穷小 （5）k是正整数时，k是 x a 的_阶无穷小 以上结论容易按定义证明。例如，已知0)()(limAaxxfnax，()()()()()lim0limlim0()()()()mn mnmxaxaxag xf x g xf xg xBA Bxaxaxaxaf（x）g（x）是 x a的 n+m阶无穷小 【例 4】设 f（x）连续，x a时 f（x）是

15、x a 的 n 阶无穷小，求证：xadttf)(是 x a的 n+1阶无穷小 【例 5】x 0时，231)1(xxx是 x的_阶无穷小；332xx 是 x的_阶无穷小；)1ln(sin3xx是 x的_阶无穷小，xdtt02sin是 x的_阶无穷小 【例 6】x 0 时，下列无穷小中（）比其他三个的阶高，最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 （A）x2 （B）1cosx （C）112 x （D）x tanx 【例 7】当 x 0 时，xdttxfsin02sin)(与43)(xxxg比较是（）的无穷小 （A）等价 （B）同阶非等价（C）高阶 （D）低阶 4

16、连续性及其判断 1连续性概念 （1）连续的定义：函数 f（x）满足)()(lim00 xfxfxx，则称 f（x）在点 x=x0处连续；f（x）满足00lim()()xxf xf x（或)()(lim00 xfxfxx，则称f（x）在 x=x0处右（或左）连续 若 f（x）在（a，b）内每一点连续，则称 f（x）在（a，b）内连续；若 f（x）在（a，b）内连续，且在 x=a 处右连续，在点 x=b 处左连续，则称 f（x）在a，b上连续（2）单双侧连续性 f（x）在 x=x0处连续 f（x）在 x=x0处既左连续，又右连续 （3）间断点的分类：设 f（x）在点 x=x0的某一空心邻域内有定义

17、，且 x0是 f（x）的间断点 若 f（x）在点 x=x0处的左、右极限 f（x00）与 f（x0+0）存在并相等，但不等于函数值 f（x0）或 f（x）在 x0无定义，则称点 x0是可去间断点；若 f（x）在点 x=最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 x0处的左、右极限 f（x00）与 f（x0+0）存在但不等，则称点 x0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点 若 f（x）在点 x=x0处的左、右极限 f（x00）与 f（x0+0）至少有一个不存在，则称点 x0为第二类间断点 2函数连续性与间断点类型的判断：若 f（x）为初等函数，则 f（x）在其定义

18、域区间 D上连续，即当开区间（a，b）D，则 f（x）在（a，b）内连续；当闭区间c，d D，则 f（x）在c，d上连续若 f（x）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断当f（x）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性 判断 f（x）的间断点的类型，就是求极限00lim()xxf x 3有界闭区间a，b上连续函数的性质：最大值和最小值定理：设f（x）在闭区间a，b上连续，则存在和a，b，使得 f（）f（x）f（），（axb）有界性定理：设 f（x）在闭区间a，b上连续，则存在 M0，使得 f（x）M，（a

19、xb）介值定理：设函数 f（x）在闭区间a，b上连续，且 f（a）f（b），则对 f（a）与 f（b）之间的任意一个数 c，在（a，b）内至少存在一点，使得 f（）=c 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 推论 1（零值定理）：设 f（x）在闭区间a，b上连续，且 f（a）f（b）0，则在（a，b）内至少存在一点，使得 f（）=0 推论 2：设 f（x）在闭区间a，b上连续，且 m和 M分别是 f（x）在a，b上最小值和最大值，若 mM，则 f（x）在a，b上的值域为m，M 【例 1】函数2)2)(1()2sin(|)(xxxxxxf在下列哪个区间内有界

20、 （A）（1，0）（B）（0，1）（C）（1，2）（D）（2，3）【分析一】这里|xx有界只须考察2)2)(1()2sin()(xxxxg，g(x）是初等函数，它在定义域（x1，x2）上连续，有界闭区间上连续函数有界，1，0 定义域，g(x）在1，0有界，选（A）【分析二】设 h(x）定义在（a，b）上，若)(lim0 xhax或)(lim0 xhbx，则h(x）在（a，b）无界因)(lim1xfx，)(lim2xfx()f x在（0，1），（1，2），（2，3）均无界选（A）【例 2】设111)(2xxxxxf，xxxxxxxg5352)1(22)(，讨论 y=f（g（x）的连续性，若有间断

21、点并指出类型 【分析与解法 1】先求 f（g（x）的表达式 2()()1)()1()()1)gxg xf g xg xg x)5()3(1)52()1(21)21(1)1()(2xxxxxxxxxgf 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 在（，1），（1，2），（2，5），（5，+），f（g(x）分别与初等函数相同，故连续x=2 或 5 时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续 f（g(x）在 x=2 或 5 连续x=1时 1lim)(lim0)1(lim)(lim201010101xxgfxxgfxxxx x=1 是 f（g（x）的第一类间断点（

22、跳跃间断点）【分析与解法 2】不必求出 f（g（x）的表达式 g(x）的表达式中，x=2或 5 处可添加等号，左、右连接起来g(x）在（，+）处处连续 111)(2uuuuuf，u1 时连续 u=g（x）=1x=1 因此，x1时由连续函数的复合函数是连续的f（g（x）连续.x=1 时 1lim)(lim)(lim0)1(lim)(lim)(lim2010101010101xxfxgfxxfxgfxxxxxx x=1 是 f（g（x）的第一类间断点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 第二讲 一元函数微分学的概念、计算及简单应用 一、知识网络图 二、重点考

23、核点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 这部分的重点是 导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系 按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求 n 阶导数表达式 求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率 导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）1 一元函数微分学中的基本概念及其联系 1可导与可微的定义及其联系 f 00000000000()()()()()lim

24、lim()()()(1)0(1)()xxxf xxf xf xf xxf xfxxxxf xxf xAoxoxAfx 在 可导：，即无穷小量 0000000()()()()(0)()()()()x xf xxf xxf xA xoxxf xxxf xA xfxxfx dx 在 可微：在的微分d 0()f xxx在连续最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2几何意义与力学意义)(0 xf 是曲线 y=f（x）在点（x0，f(x0）处切线的斜率 xxfxdfxx)()(00是相应于x该切线上纵坐标的增量 质点作直线运动，t 时刻质点的坐标为 x=x(t），)(

25、0tx是 t=t0时刻的速度 3单侧导数与双侧导数 f（x）在 x=x0可导00)()f xfx，均存在且相等 此时 000()()()fxfxfx 0000()()()limxf xxf xfxx，-0000()()()lim.xf xxf xfxx 【例 1】说明下列事实的几何意义（1）xgxfxgxf)()()()(0000，（2）f(x)，g(x)在 x=x0处有连续二阶导数，0000()()()()f xg xfxg x，xgxf0)()(00 （3）f(x）在 x=x0处存在00()()fxfx，但00()()fxfx.（4）y=f(x）在 x=x0处连续且000()()lim.x

26、xf xf xxx 【例 2】()()()g xf xh x 0000 xxxxxx，0 为某常数设000()(),(),g xh xgx0()hx均存在且00()()gxhx.求证：0000()()()()fxfxgxhx存在且.【例 3】请回答下列问题：（1）设 y=f（x）在 x=x0可导，相应于x 有 y=f（x0+x）f（x0），xxfdy)(0 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 x0时它们均是无穷小试比较下列无穷小：y是x的_无穷小；ydy是x 的_无穷小；0)(0 xf时y与 dy是_无穷小（2）du与u 是否相等？【例 4】设 f（x）

27、连续，试讨论)(0 xf 的存在性与0|)(|xxxf的存在性之间的关系 （1）考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析)(0 xf 存在与0|)(|xxxf存在之间的关系 （2）f（x0）0时，求证：)(0 xf 存在0|)(|xxxf存在 【证明】因0()f x0，由连续性，0，使得当xx0时有 f（x）0或 f（x）0，于是在 x0该邻域内必有f（x）=f(x）或f（x）=f(x）之一成立，故在点 x=x0处两个函数的可导性是等价的 （3）f（x0）=0时，求证：0|)(|0)(0 xxxfxf存在 【证明】设 f（x0）=0 0|)(|xxxf存在xxfxxfxxfxxfxx|)(

28、|)(|lim|)(|)(|lim000000 0000|()|()|lim(0)lim(0)xxf xxf xxxx 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 0|)(|lim|)(|lim0000 xxxfxxxfxx xfxxfxxfx0)(0)()(lim0000 综合可得，题目中结论（2）和（3）成立也可以概括为：点 x=x0是可导函数()f x的绝对值函数()f x的不可导点的充分必要条件是它使得 f（x0）=0但0)(0 xf 【评注】论证中用到显然的事实：lim()0lim|()|0 xaxaf xf x 【例 5】设函数 f(x）连续，且(0

29、)0f，则存在 0，使得 （A）()f x在（0，）内单调增加 （B）()f x在（，0）内单调减少（C）对任意的 x（0，）有()f xf（0）（D）对任意的 x（，0）有()f xf（0）2 一元函数求导法 反函数求导法：设 f（x）在区间 Ix可导，()0fx，值域区间为 Iy，则它的反函数 x=（y）在 Iy可导且()1d1()d()ddxyxyyfxyx 【例】设 y=y（x）满足xye2，求它的反函数的二阶导数22ddyx 【解】xxxyxxyxxyyx222e41dde21dddde21)(1dd，变限积分求导法：设函数 f（x）在a，b上连续，则xattfxFd)()(在a，b

30、上可导，且 ()()F xf x，（axb）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 设()f x在c，d上连续，当 x a，b时函数 u（x），v（x）可导，且()()u xv x和的值域不超出c，d，则)()(d)()(xuxvttfxF在a，b上可导，且 )()()()()(xuxvfxuxufxF，（axb）【例 1】设 f（x）在（，+）连续且10()(s)dxnnn xsf xs，求)(x 【例 2】设 f（x）在（，+）连续，又xttftxx02d)()(21)(，求)()(x，x 【例 3】设ytttxyxd)d1sin()(20220，求)(

31、x 【例 4】设 f（x）为连续函数，ttyxxfytF1d)(d)(，则)2(F等于 （A）2f（2）（B）f（2）（C）f（2）（D）0 【分析一】先用分部积分法将 F（t）化为定积分 111()()d)d()d)d()d)ttttty tyyyyF tf xxyyf xxyf xx tttxxfxyyyfxxf111d)()1(d)(d)(，)2()2()()1()(fFtfttF选（B）【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形 tttyttyxxftyxxfyxxfyxxftF1111111d)()1(d)d)(d)d)(d)d)()(11)()1()()1(d)(d)()(ttt

32、fttftxxfxxftF )2()2(fF选（B）【分析三】交换积分顺序化为定积分 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分顺序交换积DxtyxfxyxxftF11d)(ddd)()(txxfx1d)()1(【分析四】特殊选取法取 f（x）=1（满足条件）ttytttytytytyytxyxxfytF112121)1(21)(21d)(d1dd)(d)(fFttF)2(1)2(1)(，选（B）隐函数求导法：【例 1】y=y（x）由0e)sin(222xyyxx所确定，则xy_dd 【例 2】y=y（x）由下列方程确定，求xyxy22dddd，（1）x+a

33、rctany=y；【解】对 x求导yyy2111，解出211yyy得再对 x求导得523)1(22yyyyy （2）yyfex)(e，其中1)()(xfxf存在，【解】对 x求导得 yeyyfxyyfyf)(ee)()(利用方程化简得)(1(1)(1yfxyyyyfx，再将y的方程对x求导得yyyfyyfx )()(122 解出y，并代入y表达式 322)(1()(1()(yfxyfyfy 若先取对数得lnx+f（y）=y 然后再求导，可简化计算 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【例 3】设 y=y（x）由方程 yxey=1 确定，求022ddxxy

34、的值 【解】原方程中令 x=0 y（0）=1将方程对 x求导得 0eeyxyyy 令e)0(0yx将上述方程两边再对 x求导得 2e2)0(0)(e2 yyexyyxyy 分段函数求导法：【例 1】设 f（x）=x2x，则使()()nfx处处存在的最高阶数 n 为_ 【例 2】设0dsin10)(0001sin)1ln(1)(203xttxxxf，xxxxxxfx，处在则，（A）不连续 （B）连续，但不可导（C）可导但导函数不连续 （D）可导且导函数连续 【分析】先按定义讨论 f（x）在 x=0的可导性问题 3200()(0)11(0)limlimln(1)sin0 xxf xffxxxx 2

35、220000()(0)1sin2(0)limlimsin dlim02xxxxf xfxxft txxx (0)(0)0(0)0fff 进一步考察)(xf 在 x=0 的连续性 当 x0时，xxxxxxxxxxxxxxf1cos)1ln(1sin)1(31sin)1ln()1sin)1ln(1()(3332233 由此可知，)()(lim0 xfxfx不在 x=0 不连续 因此，选（C）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 【例 3】求常数 a，b 使函数33)(2xb，axxxxf处处可导，并求出导数 【分析与求解】对常数a，b，x3 时 f（x）均可导

36、现要确定a，b使)3(f 存在f（x）在x=3 必须连续且(3)(3)ff，由这两个条件求出 a 与 b 由 babaxxfxxfxxxx3)(lim)(lim9lim)(lim030320303，f（x）在 x=3连续，a，b满足 f（3+0）=f（30）=f（3）即 3a+b=9 在此条件下，23()3xxf xaxbx ()2(3),()(3)fxx xfxax 3(3)26,(3)xfxfa(3)(3)(3)fff即 a=6 代入 3a+b=9 b=9 因此，仅当 a=6，b=9时 f（x）处处可导且)3(6)3(2)(xxxxf 【评注】求解此类问题常犯以下错误 1没说明对常数 a，

37、b，x3 时 f（x）均可导 2先由 x=3处可导求出 a 值，再由连续性求出 b 值请看以下错误表达：“因 33(3)26(3)()xxfxfaxba，由(3)(3)ff得 a=6再由连续性 f（3+0）=f（30）即 9=3a+b，b=9”错误在于当 3a+b9 时(3)f不存在，也不可能有3(3)()xfaxb 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 f（3+0）=f（30）不能保证 f（x）在 x=3连续仅当 f（3+0）=f（30）=f（3）时才能保证 x=3连续 必须先由连续性定出 3a+b=9，在此条件下就可得 (3)fa 高阶导数与 n 阶导

38、数的求法 常见的五个函数的 n 阶导数公式：baxnnbaxae)e()()2sin()(sin()(nbaxabaxnn )2cos()(cos()(nbaxabaxnn 1()(1)(1)!(ln|)()nnnnnaaxbaxb ()()(1)(1)()nnnaxbnaaxb 3 一元函数导数（微分）概念的简单应用【例1】设nxxf)(,在点 1,1处的切线与x轴的交点为,0n，则lim()_.nnf 【例 2】若周期为4 的函数 f（x）可导且12)1()1(lim0 xxffx 则曲线 y=f（x）在点（5，f（5）处的切线斜率 k=_ 【例 3】设 y=f（x）由方程 e2x+yco

39、s（xy）=e1所确定，则曲线 y=f（x）在点（0，1）处的法线方程为_ 【例 4】已知曲线的极坐标方程为=2sin，点 M0的极坐标为（1，6），则点M0处的切线的直角坐标方程为_ 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【分析一】（数学一，二）点 M0在上，直角坐标为：0(1)63cos2x，21sin)61(0，y 的参数方程为2cos1sinsin22sincossin2yx，在 M0点处的切线的斜率：33tan2cos22sin2dd66xy 在 M0处的切线方程 13)23(321xyxy，即 【分析二】的方程可化为2=2 sin，于是的隐式方程

40、为 x2+y2=2y由隐函数求导法，得 yxyyyyx1222，3)23()2123()(00yyx代入得，于是切线方程为 133()3122yxyx即 第三讲 一元函数积分学 一、知识网络图 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二、重点考核点 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 这部分的重点是：不定积分、原函数及定积分概念，特别是定积分的主要性质 两个基本公式：牛顿莱布尼兹公式，变限积分及其导数公式 熟记基本积分表，掌握分项积分法、分段积分法、换元积分法和分部积分法计算各类积分 反常积分敛散性概念与计算 定积分的

41、应用 1 一元函数积分学的基本概念与基本定理 1原函数与不定积分的概念及性质：（1）定义 若 F（x）的导函数)()(xfxF在某区间上成立，则称 F（x）是 f（x）在该区间上的一个原函数：f（x）的全体原函数称为 f（x）的不定积分，记为xxfd)(（2）原函数与不定积分的关系 若已知 F（x）是 f（x）的一个原函数，则 CxFxxf)(d)(其中 C 是任意常数 （3）求不定积分与求导是互为逆运算的关系，即 xxfxxfxfxxfd)(d)(d)()d)(或 CxFxFCxFxxF)()(d)(d)(或 其中 C 也是任意常数 （4）不定积分的基本性质：)0()(d)(kdxxfkxx

42、kf常数 xxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2定积分的概念与性质：（1）定义 设max11210iniiiinx，xxxb，xxxxa令，若对任何 101,lim()niiiiiixxfx有存在，则称 f（x）在a，b上可积，并称此极限值为 f（x）在 a，b上的定积分，记为 niiibaxfxxf10)(limd)(定积分的值与积分变量的名称无关，即把积分变量 x换为 t 或 u等其他字母时，有 bababauufttfxxfd)(d)(d)(另外，约定 baabaaxxfxxf，xxfd)(d)(0d)(

43、（2）可积性条件 可积的必要条件：若 f（x）在a，b上可积，则 f（x）在a，b上有界 可积函数类（可积的充分但非必要的条件）：1f（x）在a，b上连续，则 f（x）在a，b上可积；2f（x）在a，b上有界且仅有有限个间断点，则 f（x）在a，b上可积 （3）定积分的几何意义：最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 设 f（x）在a，b上连续，则baxxfd)(表示界于 x轴、曲线 y=f（x）以及直线 x=a，x=b 之间的平面图形面积的代数和，其中在 x轴上方部分取正号，在 x轴下方部分取负号 特别，若 f（x）在a，b上连续且非负，则baxxfd)(

44、表示 x轴，曲线 y=f（x）以及直线 x=a，x=b 围成的曲边梯形的面积 （4）定积分有以下性质：1线性性质：若 f（x），g（x）在a，b上可积，且 A、B为两个常数，则 Af（x）+Bg（x）也在a，b上可积，且 xxgBxxfAxxBgxAfbababad)(d)(d)()(2对积分区间的可加性：若f（x）在由 a、b、c三数构成的最大区间上可积，则 xxfxxfxxfbccabad)(d)(d)(3改变有限个点上的函数值不改变可积性与积分值 4比较性质：若 f（x），g（x）在a，b上可积，且 f（x）g（x）在a，b上成立，则 xxgxxfbabad)(d)(进一步又有：若 f（

45、x），g（x）在a，b上连续，且 f（x）g（x），f（x）g（x）在a，b上成立，则 xxgxxfbabad)(d)(若 f（x）在a，b可积，则f（x）|在a，b可积且xxfxxfbabad|)(|d)(5积分中值定理：若 f（x）在a，b上连续，则存在（a，b），使得()d()()baf xxfba 3变限积分，原函数存在定理，牛顿 莱布尼兹公式：最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 （1）变限积分的连续性：若函数 f（x）在a，b上可积，则函数xadttfx)()(在a，b上连续 （2）变限积分的可导性，原函数存在定理：若函数 f（x）在a，b上连

46、续，则函数xadttfx)()(就是 f（x）在a，b上的一个原函数，即，xfx)()(xa，b （3）不定积分与变限积分的关系由原函数存在定理可得若f（x）在a，b上连续，则不定积分 xxCdttfdxxf0)()(，其中x0a，b为一个定值，C 为任意常数 （4）牛顿莱布尼兹公式：设()f x在,a b上连续，()F x是()f x在,a b上的任一原函数，则)()()()(aFbFabxFdxxfba这个公式又称微积分基本公式 推广形式：设函数f（x）在a，b上连续，F（x）是 f（x）在（a，b）内的一个原函数，又极限F（a+0）和 F（b0）存在，则)0()0(00)()(aFbFa

47、bxFdxxfba （5）初等函数的原函数 4周期函数与奇偶函数的积分性质：（1）周期函数的积分性质：设 f（x）在（，+）连续，以 T 为周期，则 1xxfxxfTTaad)(d)(0（a 为任意实数）最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2xTttf0d)(为周期以0d)(0Txxf 3xxfd)(（即 f（x）的全体原函数）为 T 周期的0d)(0Txxf【证明】1 证法 1d()()()0da Taf x dxf aTf aa 0()d()d()d.0a Ta TTaaf xxf xxf xxa 证法 2 aTTaTTaaxxfxxfxxfxxfd

48、)(d)(d)(d)(00，其中00()d()d()()dT aT aaaTTsxTf xxf xTxf s dsf xx 代入上式得TaaaTTaxxfxxfxxfxxfxxf0000d)(d)(d)(d)(d)(。（此种证法不必假定 f（x）连续，只须假定 f（x）在0，T）可积)2xTxTxTxxttfttfttfttfTttf00000d)(1d)(d)(d)(d)(题为周期以 3只须注意xfttfC，ttfxxfxx00)(d)(d)(d)(的一个原函数是 例（08，数三，数四）设 f（x）是周期为 2的连续函数.（）证明对任意的实数 t，有22)()(ttodxxfdxxf；（）证

49、明G（x）=dtdssftfxott2)()(2是周期为 2的周期函数。【分析与证明】（）（它是结论 1的特例，a=2，见证明 1）（）由题（）的结论，G（x）=xoodssfxdttf2)()(2 由于对x，G（x+2）G（x）=xoooxodssfxdttfdssfxdttf222)()(2)()2()(2 =22)(2)(2xxodttfdttf=220)(2)(2oodttfdttf G（x）是周期为2的周期函数 最新好资料推荐-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 （2）奇偶函数的积分性质：设 f（x）在a，a连续，且为奇函数或偶函数 1)(d)(2)(0d)(

50、0为偶函数为奇函数xfxxfxfxxfaaa 2令0()()()dt,()()xf xF xf xF xf x为偶函数若为奇函数则为奇函数若为偶函数 3若 f（x）为奇函数，则在a，a上 f（x）的全体原函数为偶函数 若 f（x）为偶函数，则在a，a上 f（x）只有惟一的一个原函数为奇函数 【证明】2设 f（x）为奇函数 证法 1考察 xxfxfxFxFxxFxFx(0)()()()()(),()()(则a，a 0)0()(x常数F（x）=F（x）（xa，a），即 F（x）为偶函数 证法 2xxx，xFssftsttfttfxF000)(d)(d)(d)()(xa，a），即F（x）为偶函数（此