高考数学大一轮复习第十章计数原理概率随机变量及其分布第二节排列与组合教师用书理.doc

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1、- 1 -第二节第二节 排列与组合排列与组合2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题。2015，四川卷，4,5 分(排列问题)2015，广东卷，12,5 分(排列问题)2014，重庆卷，9,5 分(排列问题)2014，安徽卷，8,5 分(组合问题)1.排列、组合问题每年必考；2.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力；3.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查。微知识 小题练自|主|排|查1排列与组合

2、的概念名称定义排列按照一定的顺序排成一列组合从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用 A 表示。m n(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用 C 表示。m n3排列数、组合数的公式及性质公式(1)A n(n1)(n2)(nm1)m nn！ nm！(2)C m nAm n Am mnn1n2nm1 m！n！ m！nm！性质(1)0！1；A n！n n- 2 -(2)C C；

3、CC Cm nnmnmn1m nm1n微点提醒 1排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序” 。取出元素后交换顺序，如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合。2排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题要先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍缩法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价转化。小|题|快|练一 、走进教材1(选修 23P25练习 T4改编)从 3,5,7,11 这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为a，

4、b，共可得到 lgalgb的不同值的个数是( )A6 B8C12 D16【解析】 由于 lgalgblg ，从 3,5,7,11 中取出两个不同的数分别赋值给a和b共a b有 A 12 种，所以得到不同的值有 12 个。故选 C。2 4【答案】 C2(选修 23P27A 组 T5改编)2015 年北京国际田联世界田径锦标赛，要从 6 名男生和 2名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有( )A30 种 B36 种C42 种 D60 种【解析】 分两类：第 1 类：有 1 名女生的有 C C 21530 种，1 22 6第 2 类：有 2 名女生的有 C C 6，2 21 6

5、由分类加法计数原理得共有 30636(种)。故选 B。【答案】 B二、双基查验1将 2 封不同的信投入 4 个邮箱，每个邮箱最多投一封，不同的投法有( )A4 种 B8 种C12 种 D16 种【解析】 从 4 个邮箱中任选 2 个进行排列，有 A 4312(种)。故选 C。2 4【答案】 C2有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，- 3 -则不同的选法共有( )A60 种 B70 种C75 种 D150 种【解析】 由题意，从 6 名男医生中选 2 人，5 名女医生中选 1 名组成一个医疗小组，不同的选法共有 C C 75 种。故选 C。2 6

6、 1 5【答案】 C3现有 6 人分乘两辆不同的出租车，每辆车最多乘 4 人，则不同的乘车方案数为( )A70 B60C50 D40【解析】 先将 6 人分成两组，有两种情况：(4,2)，(3,3)，然后再分配到两辆车上共有 C A C 50 种。故选 C。4 6 2 23 6【答案】 C4把 5 件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种。【解析】 设这 5 件不同的产品分别为A，B，C，D，E，先把产品A与产品B捆绑有 A种摆法，再与产品D，E全排列有 A 种摆法，最后把产品C插空有 C 种摆法，所以共有2 23 31 3A A C 36 种不同摆

7、法。2 2 3 3 1 3【答案】 365某教师上午要排 3 个班的课，每班一节，且上午只排 4 节课，若教师不能连上 3 节课，则这位教师上午的课程表不同的排法有_种(用数字作答)。【解析】 第一节和第四节必须排课，且第二、三节只能安排一节，共有A A 12(种)。2 31 2【答案】 12微考点 大课堂考点一 排列的应用【典例 1】 (1)有 4 名男生，5 名女生，全体排成一行，则甲不在中间也不在两端的排法有_种。(2)在数字 1,2,3 与符号“” “”这五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列方法共有_种。【解析】 (1)分两步进行：第一步，先排甲有 A 种，第二步，排其

8、余 8 人有 A 种，1 68 8由分步乘法计数原理，共有 A A 241 920(种)排法。1 68 8(2)本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“” “” ，有 A 种排列方法，此2 2- 4 -时两个符号中间与两端共有 3 个空位，把数字 1,2,3“插空” ，有 A 种排列方法，因此满足3 3题目要求的排列方法共有 A A 12(种)。2 2 3 3【答案】 (1)241 920 (2)12【母题变式】 1.若本典例(2)中条件“任意两个数字都不相邻”改为“1,2,3 这三个数字必须相邻” ，则这样的全排列方法有多少种？【解析】 用捆绑法，有 A A 36(种)。3 3 3 3【

9、答案】 362若本典例(2)中条件变为：符号“”与“”都不相邻，则这样的全排列有多少种？【解析】 A A 72(种)。3 3 2 4【答案】 72反思归纳 排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法。2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法。【拓展变式】 (2016黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不

10、能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_。【解析】 不相邻问题插空法。2 位男生不能连续出场的排法有N1A A 72 种，女3 32 4生甲排第一个且 2 位男生不连续出场的排法共有N2A A 12 种，所以出场顺序的排法种2 22 3数为NN1N260。【答案】 60考点二 组合的应用【典例 2】 (1)若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法的种数是( )A60 种 B63 种C65 种 D66 种(2)要从 12 人中选出 5 人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有_种不同选法。【解析】 (1)因为 1,2,3，

11、9 中共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的奇数，要使和为偶数，则 4 个数全为奇数，或全为偶数，或 2 个奇数和 2 个偶数，故有 C C C C 664 54 42 5 2 4种不同的取法。故选 D。- 5 -(2)只需从A，B，C之外的 9 人中选择 2 人，即有 C 36 种选法。2 9【答案】 (1)D (2)36【母题变式】 1.本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人都不能入选” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？【解析】 由A，B，C三人都不能入选只需从余下 9 人中选择 5 人，即有 C C 1265 94 9种选法。【答案】 126 种2本典

12、例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人只有一人入选” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？【解析】 可分两步，先从A，B，C三人中选出 1 人，有 C 种选法，再从余下的 9 人1 3中选 4 人，有 C 种选法，所以共有 C C 378 种选法。4 91 34 9【答案】 378 种3本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至少一人入选” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？【解析】 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C种，再减去A，B，C三人都不入5 12选的情况 C 种，共有 CC 666 种选法。5 95 125 9【

13、答案】 666 种4本典例(2)中若将条件“A，B，C三人必须入选”改为“A，B，C三人至多两人入选” ，其他条件不变，则不同的选法有多少种？【解析】 可考虑间接法，从 12 人中选 5 人共有 C种，再减去A，B，C三人都入选5 12的情况有 C 种，所以共有 CC 756 种选法。2 95 122 9【答案】 756 种反思归纳 1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型。 “含” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。2 “至少”或“至多”含有几个元素的题型。考虑逆向思维，用间接法处理。考点三 排列与组合的综合应用多维探究角度一：

14、简单的排列与组合综合应用【典例 3】 (2017衡水模拟)从 1,2,3,4,5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有 2 和 3 时，2 需排在 3 的前面(不一定相邻)，这样的三位数有( )A51 个 B54 个C12 个 D45 个【解析】 分三类：第 1 类，没有 2,3，由其他三个数字组成三位数，有 A (个)；3 3第 2 类，只有 2 或 3 中的一个，需从 1,4,5 中选两个数字，可组成 2C A (个)；2 3 3 3第 3 类，2,3 均有，再从 1,4,5 中选一个，- 6 -因为 2 需排在 3 的前面，所以可组成(个)。C1 3A3 3 A

15、2 2由分类加法计数原理得共有 A 2C A 51(个)。故选 A。3 32 3 3 3C1 3A3 3 A2 2【答案】 A角度二：分组、分配问题【典例 4】 (2016大连模拟)有 5 名优秀毕业生到母校的 3 个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A150 B180C200 D280【解析】 (1)第 1 步：将 5 名学生分成 3 组，有两种情况，第一类：按 3,1,1 分组，有 C 种分法；3 5第 2 类：按 2,2,1 分组，有种分法，由分类加法计数原理得，共有 C 25C2 5C2 3 A2 23 5C2 5C2 3 A2 2种不同的分组方式；第 2

16、 步：分配到 3 个班去，有 A 种分法，由分步乘法计数原理得，共有3 3A 256150(种)不同的分配方法。故选 A。(C3 5C2 5C2 3 A2 2)3 3【答案】 A反思归纳 求解排列与组合问题的注意点：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理。(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏。微考场 新提升1(2016长沙一模)考生甲填报某高校专业意向，打算从 5 个专业中挑选 3 个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有( )A10 种 B60 种

17、 C125 种 D243 种解析 由题意，得考生甲不同的志愿填法有 A 54360 种，故选 B。3 5答案 B2(2016福州八中模拟)甲、乙等 5 人在 9 月 3 号参加了纪念抗日战争胜利 70 周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有( )A12 种 B24 种 - 7 -C48 种 D120 种解析 甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有 A A 种排法，甲乙相邻且在4 4 2 2两端有 C A A 种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有 A A C A A 24(种)。故选1 2 3 3 2 24 4 2 21 2 3 3 2 2B

18、。答案 B3(2016威海一模)某学校开设“蓝天工程博览课程” ，组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆，每个年级任选一个博物馆参观，则有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有( )AA A 种 BA 54种2 64 52 6CC A 种 DC 54种2 64 52 6解析 有两个年级选择甲博物馆有 C 种情况，其余四个年级每个年级各有 5 种选择情2 6况，故有且只有两个年级选择甲博物馆的情况有 C 54种，故选 D。2 6答案 D4若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种。解析 把 g、o、o、d4 个字母排一列，可分两步进行，第一步：排

19、g 和 d，共有 A 种排2 4法；第二步：排两个 o，共一种排法，所以总的排法种数为 A 12 种。其中正确的有一种，2 4所以错误的共有 A 112111(种)。2 4答案 115(2017江西模拟)摄像师要对已坐定一排照相的 5 位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有 2 人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_。(用数字作答)解析 先从 5 位小朋友中选取 2 位，让他们位置不变，其余 3 位都改变自己的位置，即3 人不在其位。共有方案种数为NC C C C 20。2 51 21 11 1答案 20微专题 巧突破分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基

20、本指导思想就是先分组后分配。关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分组三种，无论分成几组，都应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象。1整体均分问题【典例 1】 国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育- 8 -专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教。现有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去任教，有_种不同的分派方法。【解析】 先把 6 个毕业生平均分成 3 组，有种方法，再将 3 组毕业生分到 3 所C2 6C2 4C2 2 A3 3学校，有 A 6 种方法，故 6 个毕业生平均分到 3 所学校，共有A 90 种不同的分3 3C2 6

21、C2 4C2 2 A3 33 3派方法。【答案】 90反思归纳 本题属于整体均分问题，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 A (n为均分的组数)，避免重复计数。n n2局部均分问题【典例 2】 将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁 4 个人，每人至少 1 本的不同分法共有_种。(用数字作答)【解析】 把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种。有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有20(种)；C3 6C1 3C1 2C1 1 A3 3有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有45(种)。C

22、2 6C2 4 A2 2C1 2C1 1 A2 2所以不同的分组方法共有 204565(种)。然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同的分法共有 65A 1 560(种)。4 4【答案】 1 560反思归纳 本题属于局部均分问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数。3不等分问题【典例 3】 若将 6 名教师分到 3 所中学任教，一所 1 名，一所 2 名，一所 3 名，则有_种不同的分法。【解析】 将 6 名教师分组，分三步完成：第 1 步，在 6 名教师中任取 1 名作为一组，有 C 种分法；1 6第 2 步，在余下的 5 名教师中任取 2 名作为一组，有 C 种分法；2 5第 3 步，余下的 3 名教师作为一组，有 C 种分法。3 3根据分步乘法计数原理，共有 C C C 60 种分法。1 6 2 5 3 3再将这 3 组教师分配到 3 所中学，有 A 6 种分法，3 3故共有 606360 种不同的分法。【答案】 360- 9 -反思归纳 本题属于不等分问题，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都 不相等，所以不需要除以全排列数。