高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9-9圆锥曲线的综合问题第1课时直线与圆锥曲线教师用书理苏教.doc

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1、1 / 17【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几精选高考数学大一轮复习第九章平面解析几何何 9-99-9 圆锥曲线的综合问题第圆锥曲线的综合问题第 1 1 课时直线与圆锥曲线教师课时直线与圆锥曲线教师用书理苏教用书理苏教1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)(1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式 ，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)表示的曲线大致是_(填序号)答案 解析 将方程 a2x2b2y21 变形为1，ab0，b0，0，即33

2、时，方程没有实数根，可知原方程组没有实数解这时直线 l 与椭圆 C 没有公共点思维升华 (1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0的大小关系求解(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，直线l：yt(t0)交 y 轴于点 M，交抛物线 C：y22px(p0)于点 P，M关于点 P 的对称

3、点为 N，连结 ON 并延长交 C 于点 H.(1)求；(2)除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？说明理由解 (1)由已知得 M(0，t)，P，又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 N，ON 的方程为 yx，代入y22px 整理，得 px22t2x0，解得 x10，x2，因此 H.所以 N 为 OH 的中点，即2.(2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点，理由如下：直线 MH 的方程为 ytx，即 x(yt)6 / 17代入 y22px，得 y24ty4t20，解得 y1y22t，即直线 MH与 C 只有一个公共点，所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公

4、共点题型二 弦长问题例 2 (2016全国甲卷)已知 A 是椭圆 E：1 的左顶点，斜率为k(k0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当 AMAN 时，求AMN 的面积(2)当 2AMAN 时，证明：0，由 AMAN 及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为.又 A(2,0)，因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入1，得 7y212y0，解得 y0 或 y，所以 y1.因此AMN 的面积 SAMN2.(2)证明 设直线 AM 的方程为 yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120，由 x1(2)，得 x1，故 AM|x1

5、2|.由题设，直线 AN 的方程为 y(x2)，故同理可得 AN.由 2AMAN，得，即 4k36k23k80，设 f(t)4t36t23t8，则 k 是 f(t)的零点，f(t)12t212t33(2t1)20，所以 f(t)在(0，)上单调递增，又 f()15260，因此 f(t)在(0，)上有唯一的零点，且零点 k 在(，2)内，所以b0)的离心率为，F1，F2 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且PF1F2 的周长是 42.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设椭圆 C1 的左，右顶点分别为 A，B，过椭圆 C1 上的一点 D 作x 轴的垂线交 x 轴于点 E(点 D 与点 A，B

6、 不重合)，若 C 点满足，连结 AC 交 DE 于点 P，求证：PDPE.(1)解 由 e，知，所以 ca，因为PF1F2 的周长是 42，所以 2a2c42，所以 a2，c，所以 b2a2c21，所以椭圆 C1 的方程为y21.(2)证明 由(1)得 A(2,0)，B(2,0)，设 D(x0，y0)，所以 E(x0,0)，因为，所以可设 C(2，y1)，所以(x02，y0)，(2，y1)，由可得(x02)y12y0，即 y1.所以直线 AC 的方程为，整理得 y(x2)又点 P 在 DE 上，将 xx0 代入直线 AC 的方程可得 y，即点 P 的坐标为(x0，)，所以 P 为 DE 的中

7、点，8 / 17所以 PDPE.题型三 中点弦问题命题点 1 利用中点弦确定直线或曲线方程例 3 (1)已知椭圆 E：1(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为_(2)已知(4,2)是直线 l 被椭圆1 所截得的线段的中点，则 l 的方程是_答案 (1)1 (2)x2y80解析 (1)因为直线 AB 过点 F(3,0)和点(1，1)，所以直线 AB 的方程为 y(x3)，代入椭圆方程1 消去 y，得x2a2xa2a2b20，所以 AB 的中点的横坐标为1，即a22b2，又 a2b2c2，所以 bc3，a3.所

8、以 E 的方程为1.(2)设直线 l 与椭圆相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减得.又 x1x28，y1y24，所以，故直线 l 的方程为 y2(x4)，即 x2y80.命题点 2 由中点弦解决对称问题例 4 (2015浙江)已知椭圆y21 上两个不同的点 A，B 关于直线 ymx对称(1)求实数 m 的取值范围；9 / 17(2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点)解 (1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为yxb.由Error!消去 y，得 x2xb210.因为直线 yxb 与椭圆y21 有两个不同的交点，所以2b220，将 AB 中点 M 代入直线方

9、程 ymx，解得 b.由得 m或 m.(2)令 t，则AB，且 O 到直线 AB 的距离为 d.设AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)ABd ，当且仅当 t2时，等号成立故AOB 面积的最大值为.思维升华 处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有 x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解(3)解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点 A，B 关于直线 l 对

10、称，则 l 垂直直线 AB 且 A，B 的中点在直线 l上的应用设抛物线过定点 A(1,0)，且以直线 x1 为准线10 / 17(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被直线x平分，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 ykxm，试求 m 的取值范围解 (1)设抛物线顶点为 P(x，y)，则焦点 F(2x1，y)再根据抛物线的定义得 AF2，即(2x)2y24，所以轨迹 C 的方程为 x21.(2)设弦 MN 的中点为 P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点 M，N 为椭圆 C 上的点，可知Error!两式相减，得4(x

11、MxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将 xMxN21，yMyN2y0，代入上式，得 k.yMyN xMxN又点 P 在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y0km.所以 my0ky0.由点 P(，y0)在线段 BB上(B，B 为直线 x与椭圆的交点，如图所示)，所以 yB0，b0)的一条渐近线与抛物线 yx21 只有一个公共点，则双曲线的离心率为_答案 5解析 双曲线1 的一条渐近线为 yx，由方程组消去 y，得 x2x10 有唯一解，所以 ()240，2，e .6已知 F 为抛物线 y28x 的焦点，过点 F 且斜率为 1 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，则|FAFB|的值为_

12、答案 82解析 依题意知 F(2,0)，所以直线 l 的方程为 yx2，联立方程，得Error!消去 y，得 x212x40.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，x1x212，则|FAFB|(x12)(x22)|x1x2|x1x224x1x28.13 / 177在抛物线 yx2 上关于直线 yx3 对称的两点 M，N 的坐标分别为_答案 (2,4)，(1,1)解析 设直线 MN 的方程为 yxb，代入 yx2 中，整理得 x2xb0，令 14b0，b.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x21，bb，y1y2 2由(，b)在直线 yx3 上，即b3，解得 b2，

13、联立解得Error!Error!8已知抛物线 y24x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2，则 AB 的最大值为_答案 6解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，那么 AFBFx1x22，又 AFBFABAB6，当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6.9过椭圆1 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案 3x4y130解析 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由于 A，B 两点均在椭圆上，故1，1，两式相减得0.x1x2x1x2 1614 / 17又P 是 A，B 的中点，x1x26，y1y22，kAB.直线 AB 的方程为 y1(

14、x3)即 3x4y130.10已知双曲线 C：x21，直线 y2xm 与双曲线 C 的右支交于 A，B 两点(A 在 B 的上方)，且与 y 轴交于点 M，则的取值范围为_答案 (1,74)解析 由可得 x24mxm230，由题意得方程在1，)上有两个不相等的实根，设 f(x)x24mxm23，则得 m1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x11 得，的取值范围为(1,74)11.如图，定直线 l 的方程为 x4，定点 F 的坐标为(1,0)，P(x，y)为平面上一动点，作 PQl 于 Q，若 PQ2PF.(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程；(2)过定点 F 作直线交曲线 E 于 A、

15、B 两点，若曲线 E 的中心为 O，且32，求三角形 OAB 的面积解 (1)由|x4|2，化简得轨迹 E 的方程为1.(2)设直线 AB 的方程为 kyx1，与椭圆方程联立消去 x 得(3k24)y26ky90.15 / 17设 A(x1，y1)，B(x2，y2)32，O(0,0)，F(1,0)，y12y2.y1，y2，k2.AB|y1y2|，又点 O 到直线 AB 的距离 d，SOAB.12. (2016泰州模拟)设点 F1(c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：y21(a1)的左，右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点，且的最小值为 0.(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，动直线 l：yk

16、xm 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，作F1Ml，F2Nl 分别交直线 l 于 M，N 两点，求四边形 F1MNF2 面积S 的最大值解 (1)设 P(x，y)，则(cx，y)，(cx，y)，x2y2c2x21c2，xa，a，由题意，得 1c20，c1，则 a22，椭圆 C 的方程为y21.(2)将直线 l 的方程 l：ykxm 代入椭圆 C 的方程y21 中，得(2k21)x24kmx2m220，则 16k2m24(2k21)(2m22)0，化简得 m22k21.设 d1F1M，d2F2N.当 k0 时，设直线 l 的倾斜角为 ，则|d1d2|MN|tan |，16 / 17MN|d1d2|

17、，S|d1d2|(d1d2)，m22k21，当 k0 时，|m|1，|m|2，即 S2.当 k0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，此时 S2.四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2.13. (2015江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程解 (1)由题意，得且 c3，解得 a，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当 ABx 轴时，AB，又 CP3，不合题意当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则 x1,2，故 C 的坐标为，且 ABx2x12y2y12.若 k0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意从而 k0，故直线 PC 的方程为17 / 17y，则 P 点的坐标为，从而 PC.因为 PC2AB，所以，解得 k1.此时直线 AB 的方程为 yx1 或 yx1.