高考数学试题分项版解析专题14椭圆及其相关的综合问题文.doc-得力文库

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1、1 / 34【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1414 椭圆及其椭圆及其相关的综合问题文相关的综合问题文1.【2017 浙江，2】椭圆的离心率是22 194xyABCD13 35 32 35 9【答案】B【考点】椭圆的简单几何性质【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等cba,cba,ca,cba,2.【2017 课标 1，文 12】设 A、B 是椭圆 C：长轴的两个端点，若 C

2、上存在点 M 满足AMB=120，则 m 的取值范围是22 13xy mAB(0,19,)(0, 39,)CD(0,14,)(0, 34,)【答案】A【解析】试题分析：当，焦点在轴上，要使 C 上存在点 M 满足，则，即，得；当，焦点在轴上，要使 C 上存在点 M 满足，则，即，得，故的取值范围为，选 A03m120AMBtan603a b33m01m3m y2 / 34120AMBtan603a b33m9m m(0,19,)【考点】椭圆【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题解答问题的关键是利用条件确定的关系，求解时充分借助题设条件转化为，这是简化本题求解过程的一个

3、重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论ba,120AMB360tan ba3.【2017 课标 3，文 11】已知椭圆 C：，（ab0）的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线相切，则 C 的离心率为（）22221xy ab20bxayabA B CD6 33 32 31 3【答案】A【考点】椭圆离心率【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等., ,a b c, ,a b c, a c, ,a

4、b c4.【2016 高考新课标 1 文数】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为（）（A）（B）（C）（D）3 4【答案】B【解析】3 / 34试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OFc,OBb,OD2bb42在中,且,代入解得Rt OFB|OF|OB| |BF|OD|222abc22a4c,所以椭圆得离心率得,故选 B.1e2考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于 a,c 的齐次方程,方程两边同时除以 a 的最高次幂,转化为关于 e 的方程,解方

5、程求 e .5.20165.2016 高考新课标高考新课标文数文数已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点为的左，右顶点. .为上一点，且轴为上一点，且轴. .过点的直线与线段交于点，与过点的直线与线段交于点，与轴交于点轴交于点. .若直线经过的中点，则的离心率为（若直线经过的中点，则的离心率为（）OFC22221(0)xyabab,A BCPCPFxAPFMyEBMOEC（A）（B）（C）（D）1 31 22 33 4【答案】A考点：椭圆方程与几何性质【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得的值；（2）

6、建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出, a c, ,a b cb a 6.【2015 高考新课标 1，文 5】已知椭圆 E 的中心为坐标原点，离心率为，E 的右焦点与抛物线的焦点重合，是 C 的准线与 E 的两个交点，则 ( )1 22:8C yx,A BAB （A）（B）（C）（D）12【答案】B【解析】抛物线的焦点为（2,0），准线方程为，椭圆 E 的右焦点4 / 34为（2,0），2:8C yx2x 椭圆 E 的焦点在 x 轴上，设方程为，c=2，22221(0)xyabab，椭圆 E 方程为，1 2cea4a 22212bac22 11

7、612xy将代入椭圆 E 的方程解得 A（-2,3），B（-2，-3），|AB|=6，故选 B.2x 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质.7.【2015 高考福建，文 11】已知椭圆的右焦点为短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点若，点到直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（）2222:1(0)xyEababFM:340lxyE,A B4AFBFM

8、4 5EA B C D3(0,23(0, 43,1)23 ,1)4【答案】A【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，将转化为，进而确定的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量满足的不等量关系，以确定的取值范围5 / 344AFBF142AFAFa, ,a b cc a8.【2015 高考广东，文 8】已知椭圆（）的左焦点为，则（）222125xy m0m 1F4,0m A B C D 【答案】C【考点定位】椭圆的简单几何性质【名师点晴】本题主

9、要考查的是椭圆的简单几何性质，属于容易题解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆（）的左焦点，右焦点，其中22221xy ab0ab1F,0c2F,0c222abc9.【2015 高考浙江，文 15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 22221xy ab0abF,0cbyxcQ【答案】2 2【解析】设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率.F,0cbyxc( , )Q m n12 22nb mc c nbm c 3222222,cbbcbcmnaa3222222(,)cbbc

10、bcQaa32222422(2)(2)1cbbcbc aa b222ac2 2cea6 / 34【考点定位】1.点关于直线对称；2.椭圆的离心率.【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率.利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于的方程，由此计算离心率.本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力., a c10.【2017 课标 II，文 20】设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C 上，过M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足2NPNM (1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点在直线上，且.证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线过 C 的左焦

11、点 F. Q3x 1OP PQ 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题解析：（1）设 P（x，y），M（）,则 N（），由得.因为 M（）在 C 上，所以.因此点 P 的轨迹为.（2）由题意知 F（-1,0），设 Q（-3，t），P（m，n），则，.由得，又由（1）知，故2231mmtnn330mtn.所以，即.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ7 / 34的直线 l 过 C 的左焦点 F【考点】求轨迹方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代

12、数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.11.【2017 山东，文 21】（本小题满分 14 分）在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C:(ab0)的离心率为,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为.22221xy ab2 22 2()求椭圆 C 的方程；()动直线 l:y=kx+m(m0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N是 M 关于 O 的对称点,圆 N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与圆 N 分别相切于点

13、E,F,求 EDF 的最小值.【答案】();()的最小值为.22 142xyEDF 2【解析】222(21)4240kxkxm,确定,222(,)21 21kmmDkk42 223221mDNkkk所以,由此可得的最小值为的最小值为.8 / 34242212sin221ONkFDNDNkk FDN,4EDF 2试题解析：（）由椭圆的离心率为，得，2 22222()aab又当时，，得，1y 2 22 2axab2 2 22aab所以，224,2ab因此椭圆方程为.22 142xy（）设，1122( ,), (,)A x yB xy联立方程2224ykxm xy 得，222(21)4240kxk

14、mxm由得（*）0 2242mk且，1224 21kmxxk因此，1222 21myyk所以，222(,)21 21kmmDkk又，(0,)Nm所以 222 222()()2121kmmNDmkk 整理得：，2242224(1 3) (21)mkkNDk因为 NFm所以 2422222224(31)831(21)(21)NDkkk kkNF 令 283,3tkt故 21214tk 9 / 34所以 .2221616111(1)2NDttNFtt 令，所以 .1ytt 211yt 当时，,3t 0y 从而在上单调递增，1ytt 3,)因此，110 3tt等号当且仅当时成立，此时

15、，3t 0k 所以，221 34NDNF 由（*）得且，22m0m 故，1 2ND NF设，2EDF则，1sin2NF ND所以得最小值为.6从而的最小值为，此时直线的斜率时.EDF3综上所述：当，时，取得最小值为.0k (2,0)(0,2)m EDF3【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题常见解法：几何法,若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决；代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数

16、关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式10 / 34法、配方法及导数法求解12.【2017 天津，文 20】已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.22221(0)xyabab,()0FcA E(0, )cEFA22b（I）求椭圆的离心率；（II）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.QAE3|2FQcFQPMNPMQNPMQNPQNM3c（i）求直线的斜率；FP（ii）求椭圆的方程.【答案】（）（）（）（）1 23 422 11612xy【解析】试题解析：（）解：设椭圆的离心率为 e.由

17、已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得.21()22bca c222bac2220caca2210ee 01e1 2e 所以，椭圆的离心率为.1 2（）（）依题意，设直线 FP 的方程为，则直线 FP 的斜率为.(0)xmyc m1 m由（）知，可得直线 AE 的方程为，即，与直线 FP 的方程联立，可解得，即点 Q 的坐标为.2ac12xy cc220xyc(22)3,22mccxymm (22)3(,)22mcc mm 由已知|FQ|=，有，整理得，所以，即直线 FP 的斜率为.3 2c222(22)33()()222mccccmm2340mm4 3m 3 411 / 34（ii）解：

18、由，可得，故椭圆方程可以表示为.2ac3bc2222143xy cc由（i）得直线 FP 的方程为，与椭圆方程联立消去，整理得，解得（舍去），或.因此可得点，进而可得，所以.由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线和都垂直于直线.3430xyc22223430,1,43xycxy ccy2276130xcxc13 7cx xc3( ,)2cP c2235|()()22|ccFPcc53| |22ccFPFQQcPPQPMQNPMQNFP因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.QNFP339| | tan248ccQNFQQFNFQN212

19、7|232cFQ QN FPM275 32cPQNM3c22752733232ccc22cc0c 2c 所以，椭圆的方程为.22 11612xy【考点】1.椭圆方程；2.椭圆的几何性质；3.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大。, , ,a b c e PQNM13.【2017 北京，文 19】

20、已知椭圆 C 的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为3 2（）求椭圆 C 的方程；12 / 34（）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点M，N，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E.求证：BDE 与BDN 的面积之比为 4:5【答案】（）；（）详见解析.2 214xy【解析】试题解析：（）设椭圆的方程为.C22221(0,0)xyabab由题意得解得.2,3,2ac a3c 所以.2221bac所以椭圆的方程为.C2 214xy（）设，则.( , )M m n( ,0),( ,)D mN mn由题设知，且.2m 0n

21、直线的斜率，故直线的斜率.AM2AMnkmDE2DEmkn所以直线的方程为.DE2()myxmn 直线的方程为.BN(2)2nyxm联立解得点的纵坐标.2(),(2),2myxmn nyxm E222(4) 4Enmymn 由点在椭圆上，得.MC2244mn所以.4 5Eyn 又，12| | |25BDEESBDyBDn1| |2BDNSBDn，所以与的面积之比为.BDEBDN4:513 / 34【考点】1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆

22、（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再根据面积的几何关系，从而求解面积比值，计算结果，本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等., , ,a b c e14.【2017 江苏，17】如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为 8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线,过点作直线的垂线.xOy2222:1(0)xyEabab1F2F1 2P E1F1PF2F2PF（1）求椭圆的标准方程；E（2）若直线的交点在椭圆上,求

23、点的坐标.EQE P【答案】（1）（2）22 143xy4 7 3 7(,)77因此椭圆 E 的标准方程是.22 143xy（2）由（1）知，，.1( 1,0)F 2(1,0)F设，因为点为第一象限的点，故.00(,)P xyP000,0xy当时，与相交于，与题设不符.01x 1F当时，直线的斜率为，直线的斜率为.01x 1PF001y x 2PF001y x 因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，11lPF22lPF001x y14 / 34001x y从而直线的方程：， 001(1)xyxy 直线的方程：. 001(1)xyxy 由，解得，所以.2 0 0 01,xxxyy 2

24、0 0 01(,)xQxy因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.Q2 0 0 01xyy 22 001xy22 001xy又在椭圆 E 上，故.P22 00143xy由，解得；，无解.22 0022 001143xyxy004 73 7,77xy22 0022 001143xyxy因此点 P 的坐标为.4 7 3 7(,)77【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.15.【2015 高考北京，文 20】（本小题满分

25、14 分）已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，C:2233xyD 1,02,1CA两点，直线与直线交于点A3x （I）求椭圆的离心率；C（II）若垂直于轴，求直线的斜率；A15 / 34（III）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由D【答案】（I）；（II）1；（III）直线与直线平行.6 3D程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率；（III）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明，即两直线平行.A3x A

26、 AA A12xx12x x1BMkBMDEkk试题解析：（）椭圆的标准方程为.C2 213xy所以，，.3a 1b 2c 所以椭圆的离心率.C6 3cea（）因为过点且垂直于轴，所以可设，.A(1,0)D1(1,)Ay1(1,)By直线的方程为.A11(1)(2)yyx 令，得.3x 1(3,2)My所以直线的斜率.11213 1BMyyk（）直线与直线平行.证明如下：D当直线的斜率不存在时，由（）可知.A1BMk又因为直线的斜率，所以.D1 012 1DEk/ /BMDE当直线的斜率存在时，设其方程为.A(1)(1)yk xk16 / 34设，，则直线的方程为.11( ,)A x y2

27、2(,)B xyA1111(2)2yyxx 令，得点.3x 1113(3,)2yxMx 由，得.2233(1)xyyk x2222(1 3)6330kxk xk所以，.21226 1 3kxxk212233 1 3kx xk直线的斜率.11 2 123 2 3BMyxyxkx因为11112121(1)3(1)(2)(3)(2)1(3)(2)BMk xxk xxxxkxx 0，所以.1BMDEkk 所以./ /BMDE综上可知，直线与直线平行.D考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质、直线的斜率和两条直线的位

28、置关系，属于中档题解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆（）的离心率，过，的直线斜率（），若两条直线，斜率都存在，则且.22221xy ab0abcea111,x y222,xy2121yykxx12xx111:lyk xb222:lyk xb12/ll12kk12bb16.【2016 高考新课标 2 文数】已知是椭圆：的左顶点，斜率为的直线17 / 34交与，两点，点在上，A E22 143xy0k kE AMNEMANA.（）当时，求的面积；AMANAMN（）当时，证明：.AMAN32k【

29、答案】（）；（）.144 4932,2【解析】试题解析：（）设，则由题意知.11( ,)M x y10y 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，AM4又，因此直线的方程为.( 2,0)A AM2yx将代入得，2xy22 143xy27120yy解得或，所以.0y 12 7y 112 7y 因此的面积.AMN11212144227749AMNS（2）将直线的方程代入得AM(2)(0)yk xk22 143xy2222(34)1616120kxk xk.由得，故.2121612( 2)34kxk 2122(34) 34kxk2 2 1212 1|1|2|34kAMkxk由题设，直线的方程为，

30、故同理可得.AN1(2)yxk 22121|43kkANk由得，即.2| |AMAN222 3443k kk3246380kkk设，则是的零点，，32( )4638f tttt( )f t22( )121233(21)0ftttt所以在单调递增，又，( )f t(0,)( 3)15 3260,(2)60ff因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.( )f t(0,)( 3,2)32k考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 18 / 34【名师点睛】本题中，分离变量，得，解不等式，即求得实数的取值范围.222 33k tkkt332132kktkk17.【2016 高考北京文数】（本小题 1

31、4 分）已知椭圆 C：过点 A（2,0），B（0,1）两点.22221xy ab（I）求椭圆 C 的方程及离心率；（）设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值.【答案】（）；（）见解析.2 214xy3 2e所以椭圆的方程为C2 214xy又，223cab所以离心率3 2cea（II）设（，），则00,xy00x 00y 22 0044xy又，，所以，2,0A0,1直线的方程为A0022yyxx令，得，从而0x 002 2yyx 002112yyx 直线的方程为0011yyxx令

32、，得，从而0y 001xxy 00221xxyA 所以四边形的面积A219 / 34从而四边形的面积为定值A考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.18. 【2015 高考山东，文 21】平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且点（，）在椭圆上.xOyC2222+=1(0)xybb3 231 2

34、122( ,), (,),A x yB xyykxmE222(14)84160kxkmxm0, 224 16mk则有所以因为直线与轴交点的坐标为，所以的面积21212228416,.1414kmmxxx xkk 221224 164|.14kmxxkykxmy(0,)mOAB2222212222 (164)12| 164|21414km mmkmSmxxkk22222 (4).1414mm kk设将直线代入椭圆的方程，可得，由可得22.14mtkykxmC222(14)8440kxkmxm0, 2214mk 由可知故.201,2 (4)24 .tSt ttt 2 3S 当且仅当，即时取得最大值

35、1t 2214mk 2 3.由（i）知，的面积为，所以面积的最大值为ABQ3SABQ6 3.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.【名师点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等，解答本题的主要困难是（II）中两小题，首先是通过研究的坐标关系，使（i）得解，同时为解答（ii）提供简化基础，即认识到与的面积关系，从而将问题转化成研究面积的最大值.通过联立直线方程、椭圆方程，并应用韦达定理确定“弦长” ，进一步确定三角形面积表达式，对考生复杂式子的变形能力及逻辑思维能

36、力要求较高.,P QABQOABOAB本题是一道能力题，属于难题.在考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系、距离与三角形面积、二次函数的性质等基础21 / 34知识的同时，考查考生的计算能力及转化与化归思想.本题梯度设计较好，层层把关，有较强的区分度，有利于优生的选拔.19. 【2016 高考山东文数】(本小题满分 14 分)已知椭圆 C:（ab0）的长轴长为 4，焦距为 2.（I）求椭圆 C 的方程；()过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点Q，延长线

37、 QM 交 C 于点 B.(i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k，证明为定值.(ii)求直线 AB 的斜率的最小值.【答案】() .()(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 .22 142xy6 2(ii)设，分别将直线 PA 的方程，直线 QB 的方程与椭圆方程1122,A x yB xyykxm3ykxm 22 142xy联立，应用一元二次方程根与系数的关系得到、及用表示的式子，进一步应用基本不等式即得.21xx21yyABk试题解析：()设椭圆的半焦距为 c，由题意知，24,22 2ac所以，222,2abac所以椭圆 C 的方程为.22 142xy()(i)设，0

38、000,0,0P xyxy22 / 34由，可得 0,Mm00,2, 2.P xmQ xm所以直线 PM 的斜率，002mmmkxx直线 QM 的斜率.0023mmmkxx 此时，所以为定值.3k k k k3(ii)设，1122,A x yB xy直线 PA 的方程为，ykxm直线 QB 的方程为.3ykxm 联立，22 142ykxmxy整理得.222214240kxmkxm由可得，201224 21mx xk 212 02221mxkx所以， 2112 02221k mykxmmkx同理. 222222 002262,181181mk mxymkxkx所以， 2222212222

39、 00022223221812118121mmkmxxkxkxkkx 2222212222 000622286121812118121k mmkkmyymmkxkxkkx，所以 2 212161116.44AByykkkxxkk由，可知，00,0mx0k 所以，等号当且仅当时取得.162 6kk6 6k 此时，即，符号题意. 26 648mm 14 7m 23 / 34所以直线 AB 的斜率的最小值为 .6 2考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是

40、基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等., , ,a b c e20.【2015 高考陕西，文 20】如图，椭圆经过点，且离心率为.2222:1(0)xyEabab(0, 1)A2 2(I)求椭圆的方程；E(II)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点（均异于点），证明：直线与的斜率之和为 2.(1,1)E,P QAAPAQ【答案】(I) ； (II)证明略，详见解析.2 212xy入，化简得，

41、则，，由已知，从而直线与的斜率之和2 212xy22(12)4 (1)2 (2)0kxk kxk k1224 (1) 12k kxxk1222 (2) 12k kx xk0 APAQ121211APAQyykkxx24 / 34化简得，把式代入方程得.12122(2)APAQxxkkkkx x2APAQkk试题解析：(I)由题意知，综合，解得，所以，椭圆的方程为.2,12cba222abc2a 2 212xy(II)由题设知，直线的方程为，代入，得PQ(1)1(2)yk xk2 212xy，22(12)4 (1)2 (2)0kxk kxk k由已知，设，0 1122,P x yQ x y1

42、20x x 则，1212224 (1)2 (2),1212k kk kxxx xkk从而直线与的斜率之和APAQ.4 (1)222(21)22 (2)k kkkkkk k【考点定位】1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题.【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果.21.【2016 高考天津文数】（设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.1322

43、2 y ax3aFA|3 |1 |1 FAe OAOFO（）求椭圆的方程；（）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于25 / 34点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.A B BMyHHFBF MAOMOA【答案】（）（）22 143xy6 4【解析】试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.( ,0)F c113 |c OFOAFA113 ()c caa ac2223acc2223acb21c 24a 22 143xy（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，(0)k k (2)yk x设，由方程组消去，(,)BBB xy22 1,43 (

44、2),xyyk x y整理得，解得或，2222(43)1616120kxk xk2x 2286 43kxk由题意得，从而，2286 43Bkxk212 43Bkyk由（1）知，设，有，，(1,0)F(0,)HHy( 1,)HFHy 2229412(,)43 43kkBFkk 由，得，所以，BFHF0BF HF 222124904343Hkyk kk解得，因此直线的方程为，294 12HkykMH2194 12kyxkk 设，由方程组消去，得，(,)MMM xy2194,12 (2),kyxkk yk x y22209 12(1)Mkxk在中，，MAOMOAMAO | |MAMO即，化简得，即，2222(2)MMMMxyxy1Mx22209112(1)k k26 / 34解得或，6 4k 6 4k

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