高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题8概率与统计第34练概率的两类模型文.doc

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1、1 / 12【2019【2019 最新最新】精选高考数学考前精选高考数学考前 3 3 个月知识方法专题训练个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题第一部分知识方法篇专题 8 8 概率与统计第概率与统计第 3434 练概率的两类练概率的两类模型文模型文题型分析高考展望 概率是高中数学的重要内容，也是高考的必考知识点在高考中，概率部分的命题主要有三个方面的特点：一是以古典概型的概率公式为考查对象，二是以几何概型的概率公式为考查对象，三是古典概型与其他知识相交汇，题目多以选择题或填空题的形式出现体验高考体验高考1(2015课标全国)如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个

2、数为一组勾股数，从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( )A. B.1 5C. D.1 20答案 C解析 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下 10 个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选 C.2(2015山东)在区间0,2上随机地取一个数 x，则事件“1log1”发生的概率为( )2 / 12A. B.2 3C. D.1 4答案 A解析 由1log

3、1，得x2，0x.由几何概型的概率计算公式得所求概率P.3(2015福建)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)的图象上若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A. B. C. D.1 2答案 B解析 由图形知 C(1,2)，D(2,2)，S 四边形 ABCD6，S 阴31.P.4(2016课标全国乙)某公司的班车在 7：00,8：00,8：30 发车，小明在 7：50 至 8：30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( )A. B. C

4、. D.3 4答案 B解析 如图所示，画出时间轴：小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟，根据几何概型得所求概率 P，故选 B.5(2016天津)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜3 / 12的概率是，则甲不输的概率为( )A. B.2 5C. D.1 3答案 A解析 事件“甲不输”包含“和棋”和“甲获胜”这两个互斥事件，所以甲不输的概率为.高考必会题型高考必会题型题型一 古典概型问题例 1 (1)(2016课标全国丙)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I，N 中的

5、一个字母，第二位是1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A. B.1 8C. D.1 30答案 C解析 第一位是 M，I，N 中的一个字母，第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字，所以总的基本事件的个数为 15，密码正确只有一种，概率为，故选 C.(2)某班级的某一小组有 6 位学生，其中 4 位男生，2 位女生，现从中选取 2 位学生参加班级志愿者小组，求下列事件的概率：选取的 2 位学生都是男生；选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生解 设 4 位男生的编号分别为 1,2,3,4,2 位女生的编号分别为4 / 125,6.从 6 位学生中任取

6、 2 位学生的所有可能结果为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 种从 6 位学生中任取 2 位学生，所取的 2 位全是男生的方法数，即从4 位男生中任取 2 个的方法数，共有 6 种，即(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)所以选取的 2 位学生全是男生的概率为 P1.从 6 位学生中任取 2 位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，

7、(4,5)，(4,6)，共 8 种所以选取的 2 位学生一位是男生，另一位是女生的概率为 P2.点评 求解古典概型问题的三个步骤(1)判断本次试验的结果是不是等可能的，设出所求事件 A.(2)分别计算基本事件的总数 n 和所求事件 A 所包含的基本事件的个数 m.(3)利用古典概型的概率公式 P(A)求出事件 A 的概率若直接求解比较困难，则可以利用间接的方法，如逆向思维，先求其对立事件的概率，进而再求所求事件的概率变式训练 1 (2016北京)从甲，乙等 5 名学生中随机选出 2 人，则甲被选中的概率为( )A. B.2 5C. D.9 25答案 B解析 从甲，乙等 5 名学生中随机选 2

8、人共有 10 种情况，甲被选中有 4 种情况，则甲被选中的概率为.5 / 12题型二 几何概型问题例 2 (1)设不等式组表示的平面区域为 D，在区域 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是( )A. B.2 2C. D.4 4(2)在区间0，内随机取两个数分别记为 a，b，则使得函数 f(x)x22axb2 有零点的概率为( )A. B.3 4C. D.1 4答案 (1)D (2)B解析 (1)如图所示，正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D，且区域 D 的面积为 4，而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离大于 2 的区域易知该阴影部分的面积为 4.

9、因此满足条件的概率是，所以选 D.(2)所求概率为几何概型，测度为面积，则 4a24b240a2b2 得所求概率为1.点评 (1)几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域 ，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决(2)几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也6 / 12就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域几何概型的试验中事件 A 的概率 P(A)只与其所表示的区域的几何

10、度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关变式训练 2 (1)已知 P 是ABC 所在平面内一点，20，现将一粒黄豆随机撒在ABC 内，则黄豆落在PBC 内的概率是( )A. B. C. D.1 2(2)在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_答案 (1)D (2)1 12解析 (1)由20，可得2，由向量加法的几何意义可知点 P 在ABC 的中线 AD 上，且，如图所示，由共线向量定理知22，所以，所以 P 为 AD 的中点，所以PB

11、C 的面积是ABC 面积的，根据几何概型可知黄豆落在PBC 内的概率是 P，故选 D.(2)V 正238，V 半球13，V半球 V正 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 1.高考题型精练高考题型精练1从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数，则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( )7 / 12A. B.1 3C. D.1 6答案 B解析 从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数共有 6(种)不同取法，其中取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的有 2 种不同取法，故所求概率为，选 B.2掷两颗均匀的骰子，则点数之和为 5 的概率等于( )A. B.1 9C. D.1 12

12、答案 B解析 掷两颗骰子，点数有以下情况：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 36 种，其中点数之和为 5 的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共 4 种，故所求概率为.3(2016课

13、标全国甲)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为( )A. B.5 8C. D.3 10答案 B8 / 12解析 至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为，故选 B.4在区间0,10内随机取出两个数，则这两个数的平方和在区间0,10内的概率为( )A. B.1010C. D. 4答案 A解析 设这两个数为 x，y，则 0x10,0y10，构成一个正方形，面积为 102，这两个数的平方和 x2y20,10，在正方形中形成的阴影面积为，因此所求概率为，选 A.5如图，已知点 A 在坐标原点，点 B

14、 在直线 y1 上，点 C(3,4)，若 AB，则ABC 的面积大于 5 的概率是( )A. B.1 3C. D.5 27答案 C解析 设 B(x,1)，由 AB，知，解得 x3,3根据题意知点 D(，1)，若ABC 的面积小于或等于 5，则DB45，即 DB，此时点 B 的横坐标 x，又x3,3，所以点 B 的横坐标 x，3，所以ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 P，所以ABC 的面积大于 5 的概率是 1P.6一只蚂蚁在三边长分别为 3,4,5 的三角形的内部爬行，某时间该9 / 12蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率为( )A6B6 12C1D2 12答案 C解析 因

15、为三角形的面积为346，离三角形的三个顶点的距离不超过 1 的面积为12，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率P1，故选 C.7(2016四川)从 2、3、8、9 任取两个不同的数字，分别记为a，b，则 logab 为整数的概率是_答案 1 6解析 从 2、3、8、9 任取两个数分别为记为(a，b)，则有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有 12 种情况，其中符合 logab 为整数的有 log3 9 和 log2 8 两种情况，所以 P.8若袋中 5 个外形

16、相同的小球，其中红球 2 个，白球 3 个，现从中任取 2 个球，则取出的球中有红球的概率为_答案 7 10解析 5 个外形相同的小球，记其中的 2 个红球为 1,2,3 个白球为a，b，c.从中任取 2 个球，共有 10 种可能的结果，其中没有红球有3 种可能的结果所以有红球的概率为 1.9在区间1,5和2,4上分别各取一个数，记为 m 和 n，则方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆的概率是_10 / 12答案 1 2解析 方程1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，mn.如图，由题意知，在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m，n)，点 Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线 mn 恰好将矩形平

17、分，所求的概率为 P.10连续 2 次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于 m”为事件 A，则 P(A)最大时，m_.答案 7解析 112,123,134,145,156，167，213,224,235,246,257,268依次列出 m 的可能的值，知 7 出现次数最多11甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛，三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为，甲、乙都闯关成功的概率为，乙、丙闯关成功的概率为，每人闯关成功得 2 分，三人得分之和记为小组团体总分(1)求乙、丙各自闯关成功的概率；(2)求团体总分为 4 分的概率；(3)若团体

18、总分不小于 4 分，则小组可参加复赛，求该小组可参加复赛的概率解 记甲、乙、丙三人各自独立闯关成功的事件依次为 A、B、C，则由已知条件得 P(A)，P(AB)，P(BC).11 / 12(1)P(AB)P(A)P(B)，P(B).同理，P(C).(2)每人闯关成功记 2 分，要使团体总分为 4 分，则需要两人闯关成功，两人都闯关成功的概率P1，即团体总分为 4 分的概率 P1.(3)团体总分不小于 4 分，则团体总分可能为 4 分，可能为 6 分，团体总分为 6 分，需要三人都闯关成功，三人闯关都成功的概率 P2.由(2)知团体总分为 4 分的概率 P1，团体总分不小于 4 分的概率PP1P2.12如图是一个方形迷宫，甲、乙两人分别位于迷宫的 A、B 两处，两人同时以每一分钟一格的速度向东、西、南、北四个方向行走，已知甲向东、西行走的概率都为，向南、北行走的概率为和 p，乙向东、西、南、北四个方向行走的概率均为 q.(1)求 p 和 q 的值；(2)问最少几分钟，甲乙二人相遇？并求出最短时间内可以相遇的概率解 (1)p1，p，又4q1，q.(2)最少需要 2 分钟，甲乙二人可以相遇(如图，在 C、D、E 三处相遇)12 / 12设在 C、D、E 三处相遇的概率分别为 pC、pD、pE，则 pC()()，pD2()2()，pE()()，pCpDpE()，即所求的概率为.