高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教师用书文新人教A版.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量数系章平面向量数系的扩充与复数的引入第的扩充与复数的引入第 3 3 节平面向量的数量积与平面向量节平面向量的数量积与平面向量应用举例教师用书文新人教应用举例教师用书文新人教 A A 版版考纲传真 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其

2、他一些实际问题1平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 ，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)规定：零向量与任一向量的数量积为 0.(2)几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积2平面向量数量积的运算律(1)交换律：abba；(2)数乘结合律：(a)b(ab)a(b)；(3)分配律：a(bc)abac.3平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b.2 / 14结论几何表示坐标表示模|a|aa|a|x2 1y2 1数量积ab|a|b|cos

3、abx1x2y1y2夹角cos ab |a|b|cos x1x2y1y2x2 1y2 1 x2 2y2 2abab0x1x2y1y20|ab|与|a|b|的关系|ab|a|b|x1x2y1y2|x2 1y2 1x2 2y2 21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量( )(2)由 ab0，可得 a0 或 b0.( )(3)由 abac 及 a0 不能推出 bc.( )(4)在四边形 ABCD 中，且0，则四边形 ABCD 为矩形. ( )答案 (1) (2) (3) (4)2(2016全国卷)已知向量，则A

4、BC( )A30 B45 C60 D120A 因为，所以.又因为|cosABC11cosABC，所以 cosABC.又 0ABC180，所以ABC30.故选 A.3(2015全国卷)向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab)a( )A1B0 C1D2C 法一：a(1，1)，b(1,2)，3 / 14a22，ab3，从而(2ab)a2a2ab431.法二：a(1，1)，b(1,2)，2ab(2，2)(1,2)(1,0)，从而(2ab)a(1,0)(1，1)1，故选 C.4(教材改编)已知|a|5，|b|4，a 与 b 的夹角 120，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_2 由数量积的定义

5、知，b 在 a 方向上的投影为|b|cos 4cos 1202.5(2016全国卷)设向量 a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则 x_. ab，ab0，即 x2(x1)0，x.平面向量数量积的运算(1)(2016天津高考)已知ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D，E 分别是边 AB，BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得DE2EF，则的值为( )A B. C. D.11 8(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为_；的最大值为_(1)B (2)1 1 (1)如图所示，.又 D，E 分别为 AB，BC 的中点，且 DE2EF，所以，所以.

6、又，则()4 / 1422AB22.又|1，BAC60，故11.故选 B.(2)法一：以射线 AB，AD 为 x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设 E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为 1.法二：由图知，无论 E 点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，所以|11，当 E 运动到 B 点时，在方向上的投影最大，即为 DC1，所以()max|11.规律方法 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积

7、的几何意义2(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量(2)注意向量夹角的大小，以及夹角 0，90，180三种特殊情形变式训练 1 (1)已知(2,1)，点 C(1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 ( )AB35C.D35(2)(2017南宁二次适应性测试)线段 AD，BE 分别是边长为 2的等边三角形 ABC 在边 BC，AC 边上的高，则( )5 / 14A B. C D.3 32(1)C (2)A (1)因为点 C(1,0)，D(4,5)，所以 CD(5,5)，又(2,1)，所以向量在方向上的投影为|cos， .(2)由等边三角形的性质得|， ， 120，所以

8、|cos， ，故选 A.平面向量数量积的性质角度 1 平面向量的模(1)(2017合肥二次质检)已知不共线的两个向量 a，b满足|ab|2 且 a(a2b)，则|b|( )A.B2 C2D4(2)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.(1)B (2) (1)由 a(a2b)得 a(a2b)|a|22ab0.又|ab|2，|ab|2|a|22ab|b|24，则|b|24，|b|2，故选 B.(2)|a|1，可令 a(cos ，sin )，ab0.即Error!由 sin2cos21 得 25，得|.角度 2 平面向量的夹角(1)若|ab|ab|2|a|，则向量 a

9、b 与 a 的夹角6 / 14为( )A.B. C.D.5 6(2)已知平面向量 a，b 的夹角为 120，且 ab1，则|ab|的最小值为 ( )A.B. C.D1(1)B (2)A (1)由|ab|ab|两边平方得，ab0，由|ab|2|a|两边平方得，3a22abb20，故 b23a2，则(ab)aa2aba2，设向量 ab 与 a 的夹角为 ，则有cos ，故 .(2)由题意可知：1ab|a|b|cos 120，所以2|a|b|.即|a|2|b|24，|ab|2a22abb2a2b22426，所以|ab|.角度 3 平面向量的垂直(2016山东高考)已知向量 a(1，1)，b(6，4)

10、若 a(tab)，则实数 t 的值为_5 a(1，1)，b(6，4)，tab(t6，t4)又 a(tab)，则 a(tab)0，即 t6t40，解得t5.规律方法 1.求两向量的夹角：cos ，要注意0，7 / 142两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2aa|a|2 或|a|.(2)|ab|.(3)若 a(x，y)，则|a|.平面向量在平面几何中的应用已知ABC 中，C 是直角，CACB，D 是 CB 的中点，E是 AB 上一点，且 AE2EB，求证：ADCE.证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设

11、 A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y).2 分D 是 BC 的中点，D.4 分又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得 x，ya.8 分(a,0)，OEaaa2a20.10 分，即 ADCE.12 分规律方法 平面几何问题中的向量方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(如本例)(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解8 / 14变式训练 2 在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若1，则 AB 的长为_

12、. 【导学号：31222151】设 AB 的长为 a(a0)，1 2因为，于是()22a2a1，故a2a11，解得 a，所以 AB.思想与方法1计算数量积的三种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义，解题要灵活选用恰当的方法，与图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧4两个非零向量垂直的充要条件：abab0.易错与防范1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出 bc，两边不能约去一个向量2两个向量的夹角为锐角，则有 ab0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 ab0，所以 cos B，又 B(0，)，所以 B.5 分(2)因为|，所以|，7 分即 b，根据余弦定理及基本不等式得6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2)，9 分14 / 14故ABC 的面积 Sacsin B，即ABC 的面积的最大值为.12 分