高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教.doc

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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题教师用书理苏教中的圆锥曲线问题教师用书理苏教1(2015课标全国改编)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为_答案 2解析 如图，设双曲线 E 的方程为1(a0，b0)，则 AB2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过 M 作 MNx轴于点 N(x1,0)，ABM 为等腰三角形，且ABM120，BMAB2a，MBN60，y1MNBMsinMBN2asin

2、 60a，x1OBBNa2acos 602a.将点 M(x1，y1)的坐标代入1，可得 a2b2，e .2.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2，0)为 C 的左焦点，P为 C 上一点，满足 OPOF，且 PF4，则椭圆 C 的方程为_答案 1解析 设椭圆的标准方程为1(ab0)，焦距为 2c，右焦点为F，连结 PF，如图所示，因为 F(2，0)为 C 的左焦点，所以c2.由 OPOFOF知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，2 / 18得 PF8.由椭圆定义，得 PFPF2a4812，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2)216，所以椭圆的方程为1.

3、3(2017山西质量监测)已知 A，B 分别为椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点，直线 ykx(k0)与椭圆交于 C，D 两点，若四边形 ACBD的面积的最大值为 2c2，则椭圆的离心率为_答案 22解析 设 C(x1，y1)(x10)，D(x2，y2)，将 ykx 代入椭圆方程可解得x1，x2，则 CD|x1x2|.又点 A(a,0)到直线 ykx 的距离 d1，点 B(0，b)到直线 ykx 的距离 d2，所以 S 四边形 ACBDd1CDd2CD(d1d2)CD2ab 1k2b2a2k2ab.令 t，则 t212abk b2a2k212ab12ab2，当且仅当a2k，即 k时，tmax，所

4、以 S 四边形 ACBD 的最大值为 ab.由条件，得 ab2c2，即 2c4a2b2a2(a2c2)3 / 18a4a2c2,2c4a2c2a40,2e4e210，解得 e2或 e21(舍去)，所以 e.4(2016北京)双曲线1(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2，cOB2，又AOB，tan1，即 ab.又 a2b2c28，a2.5已知双曲线1(a0，b0)和椭圆1 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆

5、离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案 1解析 由题意得，双曲线1(a0，b0)的焦点坐标为(，0)，(，0)，c且双曲线的离心率为2a2，b2c2a23，所以双曲线的方程为1. 题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为和，过 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，则椭圆的方程为_答案 1 或1解析 设椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，PF1，PF2.4 / 18由椭圆的定义，知 2aPF1PF22，即 a.由 PF1PF2 知，PF2 垂直于长轴故在 RtPF2F1 中，4c2PFPF，c2，于是 b2a2c2.又所求的椭圆的焦点

6、可以在 x 轴上，也可以在 y 轴上，故所求的椭圆方程为1 或1.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津改编)已知双曲线1(a0，b0 )的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为_答案 x21解析 双曲线1 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 yx，由题意得，联立解得 b，a1，所求双曲线的方程为 x21.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2 (1)(2015湖南改编)若双曲线1 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为

7、_(2)(2016天津)设抛物线(t 为参数，p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C，AF 与 BC 相交于点 E.若 CF2AF，且ACE 的面积为 3，则 p 的值为_答案 (1) (2)65 / 18解析 (1)由条件知 yx 过点(3，4)，4，即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e.(2)由(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)，F，ABAFp，可得 A(p，p)易知AEBFEC，故 SACESACF3pp1 2p23，p26，p0，p.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心

8、率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力已知椭圆1(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆1(ab0)的离心率为_答案 1解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为，设椭圆另一焦点为 E.当 x时，代入抛物线方程得yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 P 且 PFOF.所以 PE p，6 / 18PFp，EFp.故 2a pp,2cp，e1.题型三 最值、范围问题例 3 设椭圆 M：1(ab0)的离心率与双

9、曲线 x2y21 的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为 4.(1)求椭圆 M 的方程；(2)若直线 yxm 交椭圆 M 于 A，B 两点，P(1，)为椭圆 M 上一点，求PAB 面积的最大值解 (1)双曲线的离心率为，则椭圆的离心率 e，由Error!故椭圆 M 的方程为1.(2)由得 4x22mxm240，由 (2m)216(m24)0，得2b0)和椭圆 T2：1(bc0)组成，当 a，b，c 成等比数列时，称曲线 为“猫眼” (1)若“猫眼曲线” 过点 M(0，)，且 a，b，c 的公比为，求“猫眼曲线” 的方程；(2)对于(1)中的“猫眼曲线”，任作斜率为 k(k0)且不过原点的直线与该曲

10、线相交，交椭圆 T1 所得弦的中点为 M，交椭圆 T2 所得弦的中点为 N，求证：为与 k 无关的定值；(3)若斜率为的直线 l 为椭圆 T2 的切线，且交椭圆 T1 于点 A，B，N为椭圆 T1 上的任意一点(点 N 与点 A，B 不重合)，求ABN 面积的最大值(1)解 由题意知，b，a2，c1，T1：1，T2：x21.(2)证明 设斜率为 k 的直线交椭圆 T1 于点 C(x1，y1)，D(x2，y2) ，线段 CD 的中点为 M(x0，y0)，x0，y0，由得0.x1x2x1x2 4k 存在且 k0，x1x2 且 x00，故上式整理得，即 kkOM.8 / 18同理，kkON2，.(3

11、)解 设直线 l 的方程为 yxm，联立方程得Error!整理得(b22c2)x22mc2xm2c2b2c20，由 0，化简得 m2b22c2，取 l1：yx.联立方程Error!化简得(b22a2)x22ma2xm2a2b2a20.由 0，得 m2b22a2，取 l2：yx，l1，l2 两平行线间距离d，又 AB，ABN 的面积最大值为 SABd.题型四 定值、定点问题例 4 (2016全国乙卷)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明 EAEB 为定值，并写

12、出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解 (1)因为 ADAC，EBAC，故EBDACDADC，所以EBED，故 EAEBEAEDAD.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而 AD4，所以 EAEB4.9 / 18由题设得 A(1,0)，B(1,0)，AB2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为1(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(4k23)x28k2x4k

13、2120，则 x1x2，x1x2，所以 MN|x1x2|.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y(x1)，点 A 到 m 的距离为，所以 PQ24.故四边形 MPNQ 的面积SMNPQ12.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，MN3，PQ8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8)思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆

14、C：1(ab0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：ANBM 为定值10 / 18(1)解 由已知，ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c.椭圆方程为y21.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点 P(x0，y0)，则y1.当 x00 时，直线 PA 方程为 y(x2)，令 x0，得 yM.从而 BM|1yM|.直线 PB 方程为 yx1.令 y0，得 xN.AN|2xN|.ANBM|12y

15、0 x02|x02y02 x02|x2 04y2 04x0y04x08y04 x0y0x02y02|4.当 x00 时，y01，BM2，AN2，ANBM4.故 ANBM 为定值题型五 探索性问题例 5 (2015广东)已知过原点的动直线 l 与圆C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？11 / 18若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由解 (1)圆 C1：x2y26x50 可化为(x3)2y24，圆 C1的圆心坐标为(

16、3,0)(2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点，由圆的性质知 MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得 x23xy20.易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ymx，当直线 l 与圆 C1 相切时，d2，解得 m.把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程，化简得 9x230x250，解得 x.当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)又直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，0 时，若 x3 是方程的解，则 f(3)0k0另一根为 x0b0)的离心率为，且过点

17、(1，)，过椭圆的左顶点 A 作直线 lx 轴，点 M 为直线l 上的动点(点 M 与点 A 不重合)，点 B 为椭圆的右顶点，直线 BM 交椭圆 C 于点 P.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求证：APOM；(3)试问：是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由13 / 18(1)解 因为椭圆 C：1(ab0)的离心率为，所以 a22c2，所以 a22b2.又因为椭圆 C 过点(1，)，所以1，所以 a24，b22，所以椭圆 C 的方程1.(2)证明 设直线 BM 的斜率为 k，则直线 BM 的方程为 yk(x2)，设 P(x1，y1)，将 yk(x2)代入椭圆 C 的方程1

18、 中，化简得(2k21)x28k2x8k240，解得 x1，x22，所以 y1k(x12)，从而 P(，)令 x2，得 y4k，所以 M(2，4k)，(2，4k)又因为(2，)(，)，所以0，所以 APOM.(3)解 因为(，)(2，4k)4，所以为定值 4.1(2015陕西)如图，椭圆 E：1(ab0)，经过点 A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解 由题设知，b1，结合 a2b2c2，解得 a，14 / 18所以椭圆的方程为y21

19、.(2)证明 由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则 x1x2，x1x2，从而直线 AP，AQ 的斜率之和 kAPkAQkx22k x22k(2k)2k(2k)x1x2 x1x22k(2k)2k2(k1)2.2已知双曲线 C：1(a0，b0)的焦距为 3，其中一条渐近线的方程为 xy0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B 两点(1)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，2

20、，求|2|2 的取值范围解 (1)由双曲线1 的焦距为 3，得 c，a2b2.由题意知，由解得 a23，b2，椭圆 E 的方程为y21.(2)由(1)知 P(，0)设 G(x0，y0)，由2，得(x0，y0)2(x0，y0)，即解得G(，0)设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，15 / 18|2|2(x1)2y(x1)2y2 12x2y2x3x2 3x.又x1，x0,3，x，|2|2 的取值范围是，3已知椭圆1 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x4 交于点 M，N，问：x 轴上是否存在

21、定点 P 使得 MPNP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解 (1)由椭圆方程可得 a2，b，从而椭圆的半焦距 c1.所以椭圆的离心率为 e.(2)依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 xty1，B(x1，y1)，C(x2，y2)，将其代入1，整理得(43t2)y26ty90.所以 y1y2，y1y2.易知直线 AB 的方程是 y(x2)，从而可得 M(4，)，同理可得 N(4，)假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MPNP，则有0.所以(p4)20.将 x1ty11，x2ty21 代入上式，整理得16 / 18(p4)20，所以(p4)20，即(p4)290，解

22、得 p1 或 p7.所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或 P(7,0)，使得 MPNP.4.已知椭圆1(ab0)的离心率为，且经过点 P(1，)，过它的左，右焦点 F1，F2 分别作直线 l1 与 l2，l1 交椭圆于 A，B 两点，l2 交椭圆于 C，D 两点，且 l1l2.(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形 ACBD 的面积 S 的取值范围解 (1)由a2c，a24c2，b23c2，将点 P 的坐标代入椭圆方程得 c21，故所求椭圆方程为1.(2)若 l1 与 l2 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积 S6.若 l1 与 l2 的斜率都存在，设 l1

23、 的斜率为 k，则 l2 的斜率为，则直线 l1 的方程为 yk(x1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组Error!消去 y 并整理得(4k23)x28k2x4k2120.x1x2，x1x2，|x1x2|，AB|x1x2|，注意到方程的结构特征和图形的对称性，17 / 18可以用代替中的 k，得 CD，SABCD，令 k2t(0，)，S612t225t126t 12t225t1266，当且仅当 t1 时等号成立，S，6)，综上可知，四边形 ABCD 的面积 S，6*5(2016盐城三模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，直线 l 与 x 轴交

24、于点 E，与椭圆 C 交于 A，B 两点当直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点时，弦AB 的长为.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若点 E 的坐标为(，0)，点 A 在第一象限且横坐标为，连结点 A 与原点 O 的直线交椭圆 C 于另一点 P，求PAB 的面积；(3)是否存在点 E，使得为定值？若存在，请指出点 E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解 (1)由 e，设 a3k(k0)，则 ck，b23k2，所以椭圆 C 的方程为1.因为直线 l 垂直于 x 轴且点 E 为椭圆 C 的右焦点，即 xAxBk，代入椭圆方程，解得 yk，于是 2k，即 k，所以椭圆 C

25、的方程为1.(2)将 x代入1，解得 y1.因为点 A 在第一象限，从而 A(，1)由点 E 的坐标为(，0)，所以 kAB，18 / 18所以直线 AB 的方程为 y(x)，联立直线 AB 与椭圆 C 的方程，解得 B(，)又 PA 过原点 O，于是 P(，1)，PA4，所以直线 PA 的方程为 xy0，所以点 B 到直线 PA 的距离 h，故 SPAB4.(3)假设存在点 E，使得为定值，设 E(x0,0)，当直线 AB 与 x 轴重合时，有；当直线 AB 与 x 轴垂直时，1 EA2 由，解得 x0，2，以若存在点 E，此时 E(，0)，为定值 2.根据对称性，只需考虑直线 AB 过点 E(，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，又设直线 AB 的方程为 xmy，与椭圆 C 联立方程组，化简得(m23)y22my30，所以 y1y2，y1y2.又，所以1 m21y2 2，将上述关系代入，化简可得2.综上所述，存在点 E(，0)，使得为定值 2.