高考数学一轮复习不等式选讲学案理选修4_5.doc

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1、- 1 - / 13【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习不等式选讲学案理选修精选高考数学一轮复习不等式选讲学案理选修4_54_5考纲展示 1.理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c 型不等式的解法3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能用它们证明一些简单不等式考点 1 含绝对值不等式的解法1.绝对值三角不等式(1)定理 1：如果 a，b 是实数，则|ab| _，当且仅当_时，等号成立；(2)性质：|a|b|ab|a|b|；(3)定理 2：如果 a

2、，b，c 是实数，则|ac|_，当且仅当_时，等号成立答案：(1)|a|b| ab0 (3)|ab|bc| (ab)(bc)02绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解法不等式a0a0aa_R R(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法- 2 - / 13|axb|c_；|axb|c_.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法解法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；解法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想答案：(1)x|aa，或

3、x2.考点 2 含参数的绝对值不等式问题典题 2 已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 x时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围解 (1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y 其图象如图所示，由图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.原不等式的解集是x|0x2(2)a1，则，f(x)|2x1|2xa|Error!当 x时，f(x)a1，即 a1x3 在 x上恒成立a13，即 a，a 的取值范围为.点石成金 不等式有解是不等式的存在性问题，只要求存在满足条件的

4、 x 即可；不等式的解集为 R 是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面(如 f(x)m 的解集是空集，则 f(x)m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即 f(x)a 恒成立af(x)max，f(x)a 恒成立af(x)min.已知不等式|x1|x3|a，分别求出下列情形中 a 的取值- 5 - / 13范围：(1)不等式有解；(2)不等式的解集为 R；(3)不等式的解集为.解：解法一：因为|x1|x3|表示数轴上的点 P(x)与两定点A(1)，B(3)距离的差，即|x1|x3|PA|PB|.由绝对值的几何意义知，|PA|PB|的最大值为|AB|4，最小值为|A

5、B|4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a 只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集为 R，即不等式恒成立，只要 a 比|x1|x3|的最小值还小，即 a4.(3)若不等式的解集为，a 只要不小于|x1|x3|的最大值即可，即 a4.解法二：由|x1|x3|x1(x3)|4，|x3|x1|(x3)(x1)|4，可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，则 a4.(2)若不等式的解集为 R，则 a4.(3)若不等式解集为，则 a4.考点 3 不等式的证明方法1.基本不等式定理 1：设 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时，等号- 6 - / 13成

6、立定理 2：如果 a，b 为正数，则，当且仅当 ab 时，等号成立定理 3：如果 a，b，c 为正数，则，当且仅当 abc 时，等号成立定理 4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an 为 n 个正数，则，当且仅当 a1a2an 时，等号成立2不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等(1)比较法求差比较法abab0，ab，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法ab01 且 a0，b0，因此当 a0，b0 时要证明 ab，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一

7、个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不- 7 - / 13等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立答案：(1)ab0 1 (2)充分条件(4)相反典题 3 设 a，b，c0，且 abbcca1.求证：(1)abc；(2) ()证明 (1)要证 abc ，由于 a，b，c0，因此只需证明(abc)23

8、.即证 a2b2c22(abbcca)3，而 abbcca1，故需证明 a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证 a2b2c2abbcca.而这可以由 abbccaa2b2c2(当且仅当 abc时等号成立)证得原不等式成立(2).由于(1)中已证 abc，因此要证原不等式成立，只需证明，即证 abc1，即证 abcabbcca.而 a，- 8 - / 13b，c，abcabbcca.(当且仅当abc33时等号成立)原不等式成立点石成金 1.分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找

9、证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆2利用综合法证明不等式，关键是利用好已知条件和已经证明过的重要不等式.2015新课标全国卷设 a，b，c，d 均为正数，且abcd，证明：(1)若 abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明：(1)因为()2ab2，()2cd2，由题设 abcd，abcd，得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24ab(cd)24cd.因为 abcd，所以 abcd.由(1)，得.若，则()2()2，即 ab2cd2.因为 abcd，所以 abcd，于是- 9 - / 13(ab)2(ab)24ab(cd)2

10、4cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件.方法技巧 1.解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|xa|xb|m 或|xa|xb|m(m 为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便2不等式的证明方法灵活，要注意体会，要根据具体情况选择证明方法易错防范 1.理解绝对值不等式的几何意义2掌握分类讨论的标准，做到不重不漏3利用基本不等式必须要找准“对应点” ，明确“类比对象” ，使其符合几个著名不等式的特征4注意检验等号成立的条件，特别是多次使用不等式时，必

11、须使等号同时成立真题演练集训 12016新课标全国卷已知函数 f(x)|x1|2x3|.(1)画出 yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1 的解集解：(1)f(x)Error!yf(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的表达式及图象知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x或 x5.故 f(x)1 的解集为x|11 的解集为22016新课标全国卷已知函数 f(x)|2xa|a.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求 a 的取值范围解：(1)当 a2 时 f(x)|2x2|2

12、.解不等式|2x2|26 得1x3.因此 f(x)6 的解集为x|1x3(2)当 xR 时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|2xa12x|a|1a|a.所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于|1a|a3.当 a1 时，等价于 1aa3，无解当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2.所以 a 的取值范围是2，)32016江苏卷设 a0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明：因为|x1|1；当a 恒成立，求 a 的取值范围思路分析 解析 因为 a|x1|x2|对任意实数 x 恒成立，所以 a(|x1|x2|)min.因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以3|x1|x2|3.所以(|x1|x2|)min3.所以 a3，即 a 的取值范围为(，3)