高考数学一轮复习第九单元不等式学案文.doc

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1、1 / 25【2019【2019最新最新】精选高考数学一轮复习第九单元不等式学案文精选高考数学一轮复习第九单元不等式学案文 教材复习课“不等式”相关基础知识一课过不等式、一元二次不等式过双基1两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2不等式的性质(1)对称性：abbb，bcac；(3)可加性：abacbc；ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方性：ab0anbn(nN，n1)；(6)可开方性：ab0(nN，n2)3三个“二次”间的关系判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2b

2、xc0 (a0)的根有两相异实根x1，x2 (x1x2)有两相等实根x1x2b 2a没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xb0，则下列不等式中恒成立的是( )2 / 25BabA. 1 bD.Cab a b解析：选C 由ab00b，故选C.2设M2a(a2)，N(a1)(a3)，则( )BM NAM N DMNCMN 解析：选A 由题意知，MN2a(a2)(a1)(a3)2a24a(a22a3)(a1)220恒成立，所以MN.3已知一元二次不等式f(x)0的解集为xx1或x，则f(10x)0的解集为( )Bx|1xlg 2 Ax|x1或xlg 2 Dx|xlg 2Cx|xlg

3、2 解析：选C 一元二次不等式f(x)0的解集为xx1或x，则不等式f(10x)0可化为10x1或10x，解得xlg ，即xlg 2，所以所求不等式的解集为x|xlg 24不等式6x22x的解集是_解析：不等式6x22x可化为6x2x20，即(3x2)(2x1)0，解不等式得x，所以该不等式的解集是.答案：(1 2，)清易错1在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c0时，有abac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)3 / 252对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形3当0(a0)的解集为R还是，要注意区别a的符号1若(m1)

4、x2(m1)x3(m1)0，故ab0，则a0，b0，故为真命题故为真命题答案：3若不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，则不等式bx2axc0的解集是_解析：不等式ax2bxc0的解集是(2,3)，a0，且对应方程ax2bxc0的实数根是2和3，4 / 25由根与系数的关系，得Error!即6，1，b0，且1，6，不等式bx2axc0可化为x2x60，解得3x2，该不等式的解集为(3,2)答案：(3,2)简单的线性规划问题过双基1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0不包括边界直线AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表

5、示平面区域的公共部分2线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )解析：选C 由(x2y1)(xy3)0或结合图形可知选C.2(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的最大值为( )A

6、0 B15 / 25C2 D3解析：选D 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，平移直线yx，当直线经过点A(3,0)时，zxy取得最大值，此时zmax303.3在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域上一动点，则直线OP斜率的最大值为( )A2 B.1 3C. D1解析：选D 作出可行域如图中阴影部分所示，当点P位于的交点(1,1)时，(kOP)max1.4已知z2xy，实数x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )A. B.1 5C. D.1 7解析：选A 根据题意画出如图所示的可行域如图中阴影部分所示平移直线l：2xy0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(

7、1,1)时z最大，由题意知，zmax4zmin，即343m，解得m.清易错1画出平面区域避免失误的重要方法就是首先把二元一次不等式化为axbyc0(a0)2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得6 / 25最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有实数x，y满足使zaxy取得最大值的最优解有2个，则z1axy1的最小值为( )A0 B2C1 D1解析：选A 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，zaxy取得最大值的最优解有2个，a1，a1，当x1，y0或x0，y1时，zaxyxy有最小值1，axy1的最小值是0.基本不等式过双基1基本不等式ab 2(1

8、)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab.2几个重要的不等式(1)a2b2 2ab(a，bR)；(2)(a，b同号)；(3)ab2(a，bR)；(4)2(a，bR)3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则7 / 25(1)如果xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2(简记：积定和最小)(2)如果xy是定值q，那么当且仅当xy时，xy有最大值是(简记：和定积最大)1若实数a，b满足，则ab的最小值为( )B2A. D

9、4C2 解析：选C 由，知a0，b0，所以2 ，即ab2，当且仅当即a，b2时取“”，所以ab的最小值为2.2已知直线2axby20(a0，b0)过点(1,2)，则的最小值是( )B3A2 D1C4 解析：选C 由直线2axby20(a0，b0)过点(1,2)，可得2a2b2，即ab1.则(ab)222 4，当且仅当ab时取等号的最小值为4.3已知x，yR且2x2y1，则xy的取值范围为_解析：根据题意知，2x0,2y0，所以12x2y22，即2xy22，xy2，所以xy的取值范围为(，2答案：(，2清易错1求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成8 / 25立的条件2多

10、次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性1在下列函数中，最小值等于2的函数是( )Ayx1 xBycos x1 cos x(0 2，故B错误；因为，所以y2，故C错误；因为ex0，所以yex2222，当且仅当ex，即ex2时等号成立，故选D.2(2017天津高考)若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：因为ab0，所以4ab24，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：4一、选择题1(2018洛阳统考)已知aabab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：选D 1ab2a.2下列不等式中正确的是( )A若aR，则a296aB若a，bR，则2C若a0，b0，则2lglg al

11、g bD若xR，则x219 / 25解析：选C a26a9(a3)20，A错误；显然B不正确；a0，b0，.2lg2lglg(ab)lg alg b，C正确；当x0时，x21，D错误，故选C.3若角，满足0)的解集为(x1，x2)，且x2x115，则a( )A. B.7 2C. D.15 2解析：选A 由条件知x1，x2为方程x22ax8a20，(a0)的两根，则x1x22a，x1x28a2，故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152，解得a.5不等式组所表示的平面区域的面积为( )A1 B.1 2C. D.1 4解析：选D 作出不等式组对应的区域为BCD，由

12、题意知xB1，xC2.由得yD，所以SB10 / 25CD(21).6(2018成都一诊)已知x，y(0，)，且log2xlog2y2，则的最小值是( )A4 B3C2 D1解析：选D ，当且仅当xy时取等号log2xlog2ylog2(xy)2，xy4.1.故的最小值为1.7设变量x，y满足约束条件则目标函数zy2x的最小值为( )A7 B4C1 D2解析：选A 法一：将zy2x化为y2xz，作出可行域和直线y2x(如图所示)，当直线y2xz向右下方平移时，直线y2xz在y轴上的截距z减小，数形结合知当直线y2xz经过点A(5，3)时，z取得最小值3107.法二：易知平面区域的三个顶点坐标分

13、别为B(1,3)，C(2,0)，A(5,3)，分别代入zy2x，得z的值为1，4，7，故z的最小值为7.8(2017山东高考改编)若直线1(a0，b0)过点(1,2)，则2ab的最小值为( )A4 B322C8 D42解析：选C 直线1(a0，b0)过点(1,2)，1，a0，b0，11 / 252ab(2ab)(1 a2 b)4428，当且仅当，即a2，b4时等号成立，2ab的最小值为8.二、填空题9(2018沈阳模拟)已知实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值为_解析：因为x2y2xy1，所以x2y21xy.所以(xy)213xy132，当且仅当xy时等号成立，即(xy)24，解得2x

14、y2.所以xy的最大值为2.答案：210(2017郑州二模)某校今年计划招聘女教师a名，男教师b名，若a，b满足不等式组设这所学校今年计划招聘教师最多x名，则x_.解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ba0，平移直线l，再由a，bN，可知当a6，b7时，招聘的教师最多，此时xab13.答案：1311一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为_ m，宽为_ m时菜园面积最大解析：设矩形的长为x m，宽为y m则x2y30，所以Sxyx(2y)2，当且仅当x2y，即x15，y时取等号答案：15 15 212 / 2512(2018邯郸

15、质检)若不等式组表示的平面区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的取值范围是_解析：直线ykx3恒过定点(0,3)，作出不等式组表示的可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其内部，需要直线ykx3的斜率在0与1之间，即k(0,1)答案：(0,1)三、解答题13已知f(x)3x2a(6a)x6.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)若不等式f(x)b的解集为(1,3)，求实数a，b的值解：(1)f(x)3x2a(6a)x6，f(1)3a(6a)6a26a3，原不等式可化为a26a3b的解集为(1,3)等价于方程3x2a(6a)x6b0的两根为1,3，故解得Error!14(2018济南一模)已

16、知x0，y0，且2x5y20.(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求的最小值解：(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2.2x5y20，220，即xy10，当且仅当2x5y时等号成立因此有解得Error!此时xy有最大值10.13 / 25ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2时，ulg xlg y有最大值1.(2)x0，y0，当且仅当时等号成立的最小值为.高考研究课 一 不等式性质、一元二次不等式全国卷5年命题分析考点考查频度考查角度不等式性质5年2考比较大小一元二次不等式解法5年8考与集合交汇命题考查解法不等式恒成立问题5年1考利用不等式恒成立求参数不等式的性质

17、及应用典例 若0；ab；ln a2ln b2.其中正确的不等式是( )A BC D解析 法一：用“特值法”解题因为0，所以错误，综上所述，可排除A、B、D，选C.法二：用“直接法”解题由0，所以a0.故b|a|，即|a|b0，所以ab，故正确；中，因为ba20，而yln x在定义域(0，)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误由以上分析，知正确14 / 25答案 C方法技巧不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略(1)利用不等式性质比较大小熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件(2)与充要条件相结合问题用不等式的性质分别判断pq和qp是否正确，

18、要注意特殊值法的应用(3)与命题真假判断相结合问题解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法 即时演练1(2018泰安调研)设a，bR，若p：a0，则与的大小关系是_解析：(ab).15 / 25ab0，(ab)20，0.答案：1 b一元二次不等式的解法典例 解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0x2x24；(3)ax2(a1)x10(a0)解 (1)原不等式可化为3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x，所以原不等式的解集为.(2)原不等式等价于Error!Error!Error!借助于数轴，如图所示，故原不等式的解集为.(3)原不等式变为(ax1)(x1

19、)0，因为a0，所以a(x1)0.所以当a1时，解为x1；当a1时，解集为；当0a1时，解为1x.综上，当0a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为；当a1时，不等式的解集为.方法技巧16 / 25解一元二次不等式的4个步骤即时演练1若(x1)(x2)2，则(x1)(x3)的取值范围是( )B4，3)A(0,3) D(3,4C4,0) 解析：选C 解不等式(x1)(x2)2，可得0x3，(x1)(x3)x22x3，由二次函数的性质可得(x1)(x3)的取值范围是4,0)2(2018昆明、玉溪统考)若不等式ax2bxc0的解集为x|12ax的解集为( )Bx|x1Ax|23Cx|02ax

20、，整理得ax2(b2a)x(acb)0 ，又不等式ax2bxc0的解集为x|13.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零方法技巧解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解 19 / 251(2014全国卷)已知集合Ax|x22x30，Bx|2x2，则AB( )A2，1 B1,2)C1,1 D1,2)解析：选A Ax|x1或x3，故AB2，12(2014全国卷)设集合M0,1,2，Nx|x23x20，则MN( )A1 B2C0,1

21、D1,2解析：选D Nx|x23x20x|1x2，又M0,1,2，所以MN1,23(2012全国卷)已知集合Ax|x2x2b，cd，则acbdB若acbc，则abC若b，cd，则acbd解析：选C 取a2，b1，c1，d2，可知A错误；当cbcaa0，故b|a|，即|a|bb0，且ab1，则下列不等式成立的是( )Aa1，因此alog2(ab).3已知集合Mx|x24x0，Nx|m0x|x4或x0，x1.5不等式f(x)ax2xc0的解集为x|21时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1aab，则实数b的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当a0时，b21b，即解得b0，即a216.

22、a4或a0时，x0，即f(x)bx23x，因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即bx23xx2ax，可得a3，b1，所以f(x)当x0时，由x23x4，解得0x4；当x0时，由x23x4，解得x0，所以不等式f(x)4的解集为(，4)答案：(，4)12对一切实数x，不等式x2a|x|10恒成立，则实数a的取值范围是_23 / 25解析：当x0时，不等式恒成立，当x0时，将问题转化为a|x|，由|x|2，故a2，即a2.所以实数a的取值范围为2，)答案：2，)三、解答题13已知aR，解关于x的方程ax2(a2)x20.解：原不等式等价于(ax2)(x1)0.(1)当a0时，原不等式为(x

23、1)0，解得x1.即原不等式的解集为(1，)(2)若a0，则原不等式可化为(x1)0，对应方程的根为x1或x.当1，即0a2时，不等式的解为1x；当a2时，不等式的解集为；当1，即a2时，不等式的解为x1.(3)若a0，则原不等式可化为(x1)0，所以1，所以不等式的解为x1或x.综上，当a0时，不等式的解集为(1，)当0a2时，不等式的解集为.当a2时，不等式的解集为.当a2时，不等式的解集为.当a0时，不等式的解集为(1，)14某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本若每辆车投入成

24、本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；24 / 25(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得，y12(10.75x)10(1x)10 000(10.6x)(0x1)，整理得y6 000x22 000x20 000(0x1)(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有Error!即解得0x，所以投入成本增加的比例应在范围内15已知函数f(x)(k0)(1)若f(x)m的解集

25、为x|x3或x2，求不等式5mx2kx30的解集；(2)若存在x3，使得f(x)1成立，求k的取值范围解：(1)由不等式f(x)mmmx22kx6km0，不等式mx22kx6km0的解集为x|x3或x2，3，2是方程mx22kx6km0的根，解得，故有5mx2kx302x2x301x，不等式5mx2kx30的解集为.(2)f(x)11x22kx6k0(2x6)kx2.存在x3，使得f(x)1成立，即存在x3，使得k成立令g(x)，x(3，)，则kg(x)min.令2x6t，则x，则t(0，)，y32 36，当且仅当，即t6时等号成立当t6时，x6，g(x)ming(6)6，故k的取值范围为(6

26、，)1已知函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，若关于x的不等式f(x)c1的解集为(m4，m1)，则实数c的值为_25 / 25解析：函数f(x)x2axb(a，bR)的值域为(，0，a24b0，b.关于x的不等式f(x)c1的解集为(m4，m1)，方程f(x)c1的两根分别为m4，m1，即x2axc1的两根分别为m4，m1，x2axc1的根为x，两根之差为：2(m1)(m4)，解得c.答案：21 42已知实数x，y，z满足则xyz的最小值为_解析：由xy2z1，可得z，则5x2y222|xy|.当xy0时，不等式可化为x2y26xy190；当xy0时，不等式可化为x2y210xy190.由x2y26xy190，解得0xy32.由x2y210xy190，解得52xy0，