概率统计1[1]4.ppt

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1、1.4 概率的公理化定义一、定定义义 设为试验E 的样本空间，对E 的每一个事件A都给一个实数P(A)与之对应，使之满足：1o 非负性：P(A)0；2o 规范性：P()=1；3o 可列可加性：若 ，则 则称P(A)为A的概率。1o 非负性：P(A)0；2o 规范性：P()=1；3o 可列可加性：若 ，则 1o 非负性：P(A)0；2o 规范性：P()=1；3o 可列可加性：若 ，则（1）P()=0证证：取 ，i=1,2,，则二、性质二、性质1oP(A)0；2oP()=1；3o1o 非负性：P(A)0；2o 规范性：P()=1；3o 可列可加性：若 ，则（1）P()=0二、性质二、性质1oP(A

2、)0；2oP()=1；3o（2）有限可加性：，则证：证：取 ，i=1,2,，则1o 非负性：P(A)0；2o 规范性：P()=1；3o 可列可加性：若 ，则（1）P()=0二、性质二、性质1oP(A)0；2oP()=1；3o（2）有限可加性：（3）逆事件概率：=1-P(A)证：证：例例1 求n个人中至少两人在同一天过生日的概率。解解 P(A)=1-13*10950.990.970.890.710.410.12 P 90555040302010人数（4）差公式证证 P(B)=P(BAA)推论推论 P(A)P(B)BBAAABABABABCBCCBAAC（5）加法公式 P(AB)=P(A)+P(B

3、)P(AB)证证P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)推广：一般：=P(BA)P(A)（2）例例2（P18例1.12）已知AB=，P(A)=p，P(B)=q，求下列概率：解解 (1)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=p+q 例例3 从5双不同的鞋子中任意取4只，求这4只鞋子中至少有2只配成一双的概率。解解 记A为所求事件法法法法记A1=只有2只配成一双 A2=4只恰好配成两双法 记Bi=取到第 i 双鞋 i=1,2,3,4,5则10至少法法法法法1.5 条件概率与事件的独立性一、条件概率条件概率1问题问题 E随机点名。A=点到女生B=该生

4、名中含有“芳”字C=该生是球迷P(A)P(A)2定义定义为在B发生的条件下，A发生的条件概率。注注3条件概率确实是概率，注注1P(A/B)是将样本空间 压缩成B后计算概率；注注2当B取成样本空间 时，P(A/B)就是无条件概率P(A)；既实数P(A/B)满足三条公理。ABAB设A、B为两随机事件，且P(B)0，则称 B=B=A ABAB 例例1(P22例1.17）设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解解 记A=30年内无特大洪水，B=40年

5、内无特大洪水，则故所求概率为习题选讲 习习题题1.16 袋中有a只黑球和b只白球，把球随机地一只只摸出来（不放回），直至袋中剩下的球的颜色都相同为止。求最后剩下的全是黑球的概率。解解 记A=最后剩下的全是黑球，考虑将a+b只球任意排列并记B=最后排的是黑球，则即A=B故习题选讲 习习题题1.17 n个座位依次从1号编到n号，把1号至n号的n个号码分给n个人，每个人一个号码，这n个人随意地坐到座位上，求至少有一个人手里的号码恰好与座位的号码相同的概率，且当n很大时，给出这个概率的近似值。解解 记A=至少有一个人的号码恰好与座位的号码相同，Bi=第i个人的号码恰好与座位的号码相同，i=1,2,n，则习题选讲 习习题题1.7 利用互不相容事件的概念及加法原理、乘法原理证明恒等式：解解 (1)考虑E：从含有n1个黑球和1个白球的袋中任取k个球，记A=没有取到白球，则由即得(1)式。解解 (2)考虑E：从含有n个黑球和n个白球的袋中任取n个球，记Ak=取到k个白球，k=1,2,n,则 即得(2)式。