分布参数系统的建模与仿真.ppt

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1、LOGO第第5章章 分布参数系统的建模与仿真分布参数系统的建模与仿真陈无畏陈无畏合肥工业大学机械与汽车工程学院合肥工业大学机械与汽车工程学院系系统统建建模模与与仿仿真真5.1 分布参数系统的数学描述分布参数系统的数学描述 定义：系统的状态变量、控制变量和被控定义：系统的状态变量、控制变量和被控变量不仅仅是时间的函数，而且是空间坐标的函变量不仅仅是时间的函数，而且是空间坐标的函数。数。表示及描述方法：系统的模型表示为偏微分表示及描述方法：系统的模型表示为偏微分方程、积分方程或是偏微分方程、积分方程或是偏微分积分方程，通常使积分方程，通常使用偏微分方程来描述系统。用偏微分方程来描述系统。5.1 分

2、布参数系统的数学描述分布参数系统的数学描述(续）续）对于确定型的偏微分方程，采用一阶描述对于确定型的偏微分方程，采用一阶描述形式，可以用以下表达式形式，可以用以下表达式(5.1)(5.2)(5.3)(5.4)(5.5)现对上述表达式中的有关符号说明如下现对上述表达式中的有关符号说明如下5.1 分布参数系统的数学描述（续）分布参数系统的数学描述（续）(1)(1)自变量：常微分方程中自变量只有时间变量自变量：常微分方程中自变量只有时间变量t，而，而在偏微分方程中，其自变量除了时间在偏微分方程中，其自变量除了时间 外，还有外，还有空间自变量空间自变量 ；(2)(2)输入变量输入变量 及输入段集合：映

3、射及输入段集合：映射 ；(3)(3)因变量：因变量：，且是，且是z与与t t的函数；的函数；5.1 分布参数系统的数学描述（续）分布参数系统的数学描述（续）(4)(4)式式(5.2)(5.2)确定边界条件，确定边界条件，表示表示Z Z的边的边界，在界，在 上随时间变化满足该等式上随时间变化满足该等式 ；(5)(5)式式(5.3)(5.3)表示初始条件，即规定初始时刻表示初始条件，即规定初始时刻 在域内的值；在域内的值；(6)(6)输出变量输出变量 是空间和时间的函数；是空间和时间的函数；(7)(7)式式(5.5)(5.5)规定了约束条件。规定了约束条件。5.1 分布参数系统的数学描述（续）分布

4、参数系统的数学描述（续）当然，在某些情况下，系统是以高当然，在某些情况下，系统是以高阶偏微分方程的形式给出。一般说来，阶偏微分方程的形式给出。一般说来，经过适当变换，高阶偏微分方程可以转经过适当变换，高阶偏微分方程可以转换成一阶偏微分方程组。换成一阶偏微分方程组。5.1 分布参数系统的数学描述（续）分布参数系统的数学描述（续）偏微分方程的典型形式偏微分方程的典型形式椭圆方程椭圆方程抛物方程抛物方程 双曲方程双曲方程 5.1 分布参数系统的数学描述（续）分布参数系统的数学描述（续）(1)(1)双曲方程双曲方程 典型的有典型的有 对流方程对流方程 (5.6)(5.6)波动方程波动方程 (5.7)(

5、5.7)(2)(2)抛物方程抛物方程 典型的有典型的有扩散方程扩散方程 (5.8)(5.8)对流对流-扩散方程扩散方程 (5.9)(5.9)(3)(3)椭圆方程椭圆方程 典型的有典型的有泊松方程泊松方程 (5.10)(5.10)5.1.2 分布参数系统模型的数学特征分布参数系统模型的数学特征 分布特性：从动力学特性看，集中参数系分布特性：从动力学特性看，集中参数系统的解算子形成一个群，而分布参数系统的解统的解算子形成一个群，而分布参数系统的解算子一般只有半群的性质；从系统结构看，集算子一般只有半群的性质；从系统结构看，集中参数系统只有集中控制和集中测量，而分布中参数系统只有集中控制和集中测量，

6、而分布参数系统有分布控制和分布测量、点控制和点参数系统有分布控制和分布测量、点控制和点测量、边界控制和边界测量。测量、边界控制和边界测量。5.1.3 分布参数模型的有限差分法分布参数模型的有限差分法 有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近有限差分是对偏微分方程进行数值分析的近似方法。似方法。常用方法之一就是中心差分法。常用方法之一就是中心差分法。假假设设 ，当，当t=t=常值时，如图常值时，如图5-15-1所示为一所示为一连续曲线连续曲线 按照中心差分法，按照中心差分法，点的斜率可用下式点的斜率可用下式表示表示 5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）分布参数模型的有限差分法（续）(5.11

7、)图图5-1 5-1 有限差分定义有限差分定义5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）分布参数模型的有限差分法（续）对于二阶导数也可采用同样的方法得到对于二阶导数也可采用同样的方法得到 ，于是可得以下偏导数表示式于是可得以下偏导数表示式5.1.3 分布参数模型的有限差分法（续）分布参数模型的有限差分法（续）为了计算方便，可以用一张二维网格图为了计算方便，可以用一张二维网格图来表示，如图来表示，如图5-25-2所示。所示。图图5-2 5-2 二维网格图二维网格图5.1.4 有限元法有限元法 基本思想：把边界问题化为变分问题，对基本思想：把边界问题化为变分问题，对求解区域求解区域 做剖分，使做剖

8、分，使 成为有限个成为有限个“单元单元”的和，在每一个单元上作未知函数的某种多项的和，在每一个单元上作未知函数的某种多项式插值，使它们在相邻单元的公共边界上满足式插值，使它们在相邻单元的公共边界上满足某种连续性条件，以保证用这种分片插值函数某种连续性条件，以保证用这种分片插值函数组成的有限维数空间组成的有限维数空间S SN N 是未知函数解空间是未知函数解空间V V的的子空间。子空间。5.1.4 有限元法（续）有限元法（续）一种常采用的三角形单元如图一种常采用的三角形单元如图5-35-3所示。所示。显见，有限元法不用网点阵列，而用许多相显见，有限元法不用网点阵列，而用许多相互连接的小子区域或单

9、元来表示所研究的介互连接的小子区域或单元来表示所研究的介质。质。5.1.4 有限元法（续）有限元法（续）图图5-3 5-3 有限元离散化有限元离散化5.1.5 区域分解算法区域分解算法u基本思想：把计算区域分解为若干子域，基本思想：把计算区域分解为若干子域，子域的形状尽可能规则，于是原问题的求解子域的形状尽可能规则，于是原问题的求解转化为在子域上的求解。转化为在子域上的求解。5.1 分布参数系统的数学描述分布参数系统的数学描述 u优点：优点：(1)(1)它把大问题化为若干个小问它把大问题化为若干个小问 题，缩小了计算规模；题，缩小了计算规模；(2)(2)子区域形状规则（如长方形子区域形状规则（

10、如长方形 等），其上或者允许使用熟知的快速算等），其上或者允许使用熟知的快速算法，或者已经有解这类规则问题的高效法，或者已经有解这类规则问题的高效软件；软件；5.1.5 区域分解算法（续）区域分解算法（续）(3)(3)允许使用局部拟一致网格，无需使用整体允许使用局部拟一致网格，无需使用整体拟一致网格，甚至各子域可以用不同的离散方拟一致网格，甚至各子域可以用不同的离散方法进行计算；法进行计算；(4)(4)允许在不同子域选用不同的数学模型，以允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物理实际情况；便整体模型更适合于工程物理实际情况；5.1.5 区域分解算法（续）区域分解算法（续）(

11、5)(5)算法是高度并行的，即计算的主要步骤是算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行；在各子域内独立进行；(6)(6)对于对称区域问题有更简单的区域分解算对于对称区域问题有更简单的区域分解算法。法。5.2 典型的分布参数系统实例典型的分布参数系统实例例例 扭振杆系统扭振杆系统如图如图5-45-4所示的扭振杆系统所示的扭振杆系统图图5-4 5-4 扭振杆系统扭振杆系统5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）对于厚度为对于厚度为 的一段扭杆，可用牛顿定的一段扭杆，可用牛顿定律得到把律得到把 和和 联系起来的微分方程。由材联系起来的微分方程。由材料力学得知，杆

12、的上半段在任意时刻料力学得知，杆的上半段在任意时刻t t作用在上作用在上面的弹性力矩为面的弹性力矩为 (5.14)(5.14)5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）式中，式中，是圆截面的极惯性矩，是圆截面的极惯性矩，G G是是材料的剪切弹性模量。在同一时间，因为材料的剪切弹性模量。在同一时间，因为T T是位是位置置y y的函数，故杆的下半段作用在单元下平面的的函数，故杆的下半段作用在单元下平面的力矩是力矩是5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）(5.15)(5.15)(5.16)(5.16)由牛顿定律得由牛顿定律得这个偏微分方程就是：一维波动

13、方程。这个偏微分方程就是：一维波动方程。5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）解析法解析法 1有限差分法有限差分法 25.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）用解析法求解方程用解析法求解方程(5.16)(5.16)。取所有的初始条取所有的初始条件为零，于是得到件为零，于是得到为求出为求出 处角运动的频率响应，令处角运动的频率响应，令 1.1.解析法解析法(5.25)(5.25)5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）如图如图5-55-5所示，其频率响应存在无限多个固所示，其频率响应存在无限多个固有频率，其数值可由下式算出

14、有频率，其数值可由下式算出图图5-5 5-5 扭振模型的频率响应扭振模型的频率响应5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）(5.26)(5.26)若结构以其中某一固有频率振动，则此时的若结构以其中某一固有频率振动，则此时的动态扭转曲线称为其振型。动态扭转曲线称为其振型。5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）根据式根据式(5.25)(5.25)列出以下比值很容易得到其振列出以下比值很容易得到其振型。图型。图5-65-6示出了前三阶振型。示出了前三阶振型。图图5-6 5-6 扭振的各阶模态扭振的各阶模态5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布

15、参数系统实例（续）2.2.有限差分法有限差分法 图图5-75-7所示的是最简单的模型，在模型中取所示的是最简单的模型，在模型中取 以研究自由振动。用纯数学方法直接从偏以研究自由振动。用纯数学方法直接从偏微分方程转换成近似的常微分方程。微分方程转换成近似的常微分方程。对于图对于图5-75-7的模型来说，在的模型来说，在 点处可点处可写出写出(5.27)(5.27)5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）图图5-7 5-7 扭杆的最简单的有限差分模型扭杆的最简单的有限差分模型5.2 典型的分布参数系统实例（续）典型的分布参数系统实例（续）由于扭矩与扭转应变由于扭矩与扭转应变 成比例，故可写出成比例，故可写出（后向差分）（后向差分）(5.28)(5.28)，式，式(5.27)(5.27)简化为简化为 (5.29(5.29)(5.30(5.30）所以所以上式给出单一固有频率上式给出单一固有频率LOGO