高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和学案理.doc

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1、- 1 - / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第六章数列精选高考数学一轮复习第六章数列 6-36-3 等比数等比数列及其前列及其前 n n 项和学案理项和学案理考纲展示 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.考点 1 等比数列的判定与证明1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比等于_(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的_，通常用字母 q 表示，定义的表达式为q.(2)

2、等比中项：如果 a，G，b 成等比数列，那么_叫做 a 与 b 的等比中项即 G 是 a 与 b 的等比中项a，G，b 成等比数列_.答案：(1)2 同一个常数 公比 (2)G G2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：an_.(2)前 n 项和公式：SnError!答案：(1)a1qn1 (2)na1典题 1 已知数列an的前 n 项和为 Sn，在数列bn中，- 2 - / 14b1a1，bnanan1(n2)，且 anSnn.(1)设 cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明 anSnn，an1Sn1n1.，得 an1anan11，2an1an1，2(an1

3、1)an1，an1是等比数列又 a1a11，a1，又 cnan1，是以为首项，以为公比的等比数列(2)解 由(1)可知，cnn1n，ancn11n.当 n2 时，bnanan11n1(1 2)n1n1nn.又 b1a1，代入上式也符合，bnn.点石成金 等比数列的四种常用判定方法(1)定义法：若q(q 为非零常数，nN*)或q(q 为非零常数且n2，nN*)，则数列an是等比数列(2)中项公式法：若数列an中，an0 且 aanan2(nN*)，则数列an是等比数列- 3 - / 14(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 ancqn1(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)，则数列an是等比

4、数列(4)前 n 项和公式法：若数列an的前 n 项和 Snkqnk(k 为常数且 k0，q0,1)，则数列an是等比数列提醒 (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a11，Sn14an2.(1)设 bnan12an，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明：由 a11 及 Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又 ，得 an14an4an1(n2)，an12an2(an2an

5、1)bnan12an，bn2bn1，故bn是首项 b13，公比为 2 的等比数列(2)解：由(1)知，bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，化简，得 an(3n1)2n2.考点 2 等比数列的基本运算- 4 - / 14(1)教材习题改编已知等比数列an中，a33，a10384，则该数列的通项公式 an_.答案：32n3解析：设等比数列an的公比为 q，则，得 q7128，即 q2，把 q2 代入，得 a1，数列an的通项公式为ana1qn12n132n3.(2)教材习题改编设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若，则_.答案：3 4等比数列的两个非零量：项；公比(1

6、)等比数列 x,3x3,6x6，的第 4 项等于_答案：24解析：由等比数列的前三项为 x,3x3,6x6，可得(3x3)2x(6x6)，解得 x3 或 x1(此时 3x30，不合题意，舍去)，则该等比数列的首项为 x3，公比 q2，所以第 4 项为(6x6)q24.(2)等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S33S20，则公比q_.答案：2解析：S33S20，a1a2a33(a1a2)0，a1(44qq2)0.- 5 - / 14a10，q2.考情聚焦 等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题主要有以下几个命题角度：角度一求首项 a1，公

7、比 q 或项数 n典题 2 2017浙江绍兴柯桥区高三二模已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，满足 a52S43，a62S53，则此数列的公比为( )B3 A2 D5C4 答案 B解析 由 a52S43，a62S53 可得 a6a52a5，即3，故选 B.角度二求通项或特定项典题 3 2017广西南宁测试在各项均为正数的等比数列an中，a12，且 2a1，a3,3a2 成等差数列，则 an_.答案 2n解析 设数列an的公比为 q，2a1，a3,3a2 成等差数列，2a13a22a3，即 2a13a1q2a1q2，即 2q23q20，解得 q2 或 q.q0，q2.- 6 - / 14a1

8、2，数列an的通项公式为 ana1qn12n.角度三求前 n 项和典题 4 (1)已知正项数列an为等比数列，且 5a2 是 a4 与3a3 的等差中项，若 a22，则该数列的前 5 项的和为( )B31 A. D以上都不正确C. 答案 B解析 设an的公比为 q，q0.由已知，得 a43a325a2，即 a2q23a2q10a2，即 q23q100，解得 q2 或 q5(舍去)，又 a22，则 a11，所以 S531.(2)设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 27a3a60，则_.答案 28解析 由题可知an为等比数列，设首项为 a1，公比为 q，所以 a3a1q2，a6a1q5，所以

9、 27a1q2a1q5，所以 q3，由 Sn，得 S6，S3，所以28.点石成金 解决与等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想：等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解- 7 - / 14(2)分类讨论的思想：等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论当 q1 时，an的前 n 项和 Snna1；当 q1 时，an的前 n 项和 Sn.考点 3 等比数列的性质等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam_(n，mN*)(2)若 mnpq2k(m，n，p，q，kN*)，则aman_.(3)若

10、数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an， ，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为 qk. 答案：(1)qnm (2)apaq a2 k等比数列的基本公式：通项公式；前 n 项和公式(1)在等比数列an中，若 a1，a44，则公比 q_.答案：2解析：由 a4a1q3，得 4q3，解得 q2.(2)各项均为正数的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若，则公比 q_.答案：1 2解析：易知公比 q 不为 1，由等比数列求和公式得，即1q4，所以 q4，得 q或 q(舍去).应用等

11、比数列的前 n 项和公式的两个注意点：公比应分 q1 与q1 讨论；注意利用性质(1)设数列an是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S33a3，则- 8 - / 14此数列的公比 q_.答案：1 或1 2解析： 当 q1 时，S33a13a3，符合题意；当 q1 时，3a1q2，a10，所以 1q33q2(1q)，2q33q210，即(q1)2(2q1)0，解得 q.综上所述，q1 或 q.(2)在等比数列an中，已知a1a2a31，a4a5a62，则该数列的前 15 项的和S15_.答案：11解析：由题意知 a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，成等比数列，其公比 q2，首项为 a1

12、a2a31，因此该数列的前5 项和就是数列an的前 15 项的和，故 S1511.典题 5 (1)2017广东广州综合测试已知数列an为等比数列，若 a4a610，则 a7(a12a3)a3a9( )B20 A10 D200C100 答案 C解析 a7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2102100.(2)2017吉林长春调研在正项等比数列an中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则 n_.- 9 - / 14答案 14解析 设数列an的公比为 q，由 a1a2a34aq3 与 a4a5a612aq12，可得q93，又 an1

13、anan1aq3n3324，因此 q3n68134q36，所以 3n636，即 n14.点石成金 等比数列常见性质的应用等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前 n 项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.1.设 Sn 是等比数列an的前 n 项和，若3，则( )B. A2 D1 或 2C. 答案：B解析：设 S2k，S43k，由数列an为等比数列，得S2，S4S2，S6S4 为等比数列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，.22017甘肃兰州诊断数列an的首项为 a11，数列bn为等比数列且

14、 bn，若 b10b112 015) ，则 a21_.答案：2 015解析：由 bn，且 a11，得b1a2，b2，a3a2b2b1b2，b3，a4a3b3b1b2b3，anb1b2bn1，- 10 - / 14a21b1b2b20.数列bn为等比数列，a21(b1b20)(b2b19)(b10b11)(b10b11)10(2 015) )102 015.方法技巧 1.判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q 是不等于 0 的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同(2)等比中项法

15、：aanan2(anan1an20，nN*)数列an是等比数列2常用结论(1)若 a1a2anTn，则 Tn， ， ，成等比数列(2)若数列an的项数为 2n，则q；若项数为 2n1，则q.易错防范 1.特别注意当 q1 时，Snna1 这一特殊情况2由 an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证 a10.3在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q1 与 q1分类讨论，防止因忽略 q1 这一特殊情形而导致解题失误4Sn，S2nSn，S3nS2n 未必成等比数列(例如：当公比q1 且 n 为偶数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 不成等比数列；当q1 或 q1 且 n

16、为奇数时，Sn，S2nSn，S3nS2n 成等比数列)，但等式(S2nSn)2Sn(S3nS2n)总成立真题演练集训 12015新课标全国卷已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则 a3a5a7( )B42 A21 - 11 - / 14D84C63 答案：B解析：设等比数列an的公比为 q，则由a13，a1a3a521，得 3(1q2q4)21，解得 q23(舍去)或q22，于是 a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选 B.22016新课标全国卷设等比数列满足a1a310，a2a45，则 a1a2an 的最大值为_答案：64解析：设等比数列an的公比为 q， 解得 a1a2

17、an(3)(2)(n4) n(n7) ) ，当 n3 或 4 时，取到最小值6，此时) 取到最大值 26，所以 a1a2an 的最大值为 64.32015新课标全国卷在数列an中，a12，an12an，Sn 为an的前 n 项和若 Sn126，则n_.答案：6解析：a12，an12an，数列an是首项为 2，公比为 2 的等比数列又Sn126，126，n6.42015安徽卷已知数列是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列的前 n 项和等于_答案：2n1- 12 - / 14解析：设等比数列的公比为 q，则有解得或Error!又an为递增数列，Sn2n1.52016新课标全国卷已知数列a

18、n的前 n 项和Sn1an，其中 0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若 S5，求 .解：(1)由题意，得 a1S11a1，故 1，a1，a10.由 Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即 an1(1)an，由 a10，0，得 an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，从而得通项公式 ann1.(2)由(1)，得 Sn1n.由 S5，得 15，即 5，解得 1.课外拓展阅读 分类讨论思想在等比数列中的应用典例 已知首项为的等比数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4 成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)求证：Sn(nN*)审题

19、视角(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；- 13 - / 14(2)求出前 n 项和，根据函数的单调性证明(1)解析 设等比数列an的公比为 q，因为2S2，S3,4S4 成等差数列，所以 S32S24S4S3，即 S4S3S2S4，可得 2a4a3，于是 q.又 a1，所以等比数列an的通项公式为ann1(1)n1.(2)证明 由(1)知，Sn1n，Sn1n11(12)nError!当 n 为奇数时，Sn随 n 的增大而减小，所以 SnS1；当 n 为偶数时，Sn随 n 的增大而减小，所以 SnS2.故对于 nN*，有 Sn.方法点睛1分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：(1)已知 Sn 与 an 的关系，要分 n1，n2 两种情况讨论(2)等比数列中遇到求和问题要分公比 q1，q1 讨论(3)项数的奇、偶数讨论(4)等比数列的单调性的判断注意与 a1，q 的取值的讨论2数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别- 14 - / 14