高考数学一轮复习第八章平面解析几何8-7双曲线课时提升作业理.doc

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1、- 1 - / 9【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何精选高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8-78-7 双曲双曲线课时提升作业理线课时提升作业理(25(25 分钟分钟 5050 分分) )一、选择题一、选择题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 3535 分分) )1.(2016铜仁模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为 ( )A.y=2x B.y=xC.y=xD.y=x【解析】选 C.因为 e=,故可设 a=2k,c=k,则得 b=k,所以渐近线方程为 y=x=x.2.已知 00,n0)的渐近线方程为 y=x,则双曲

2、线的离心率为 ( )A.B.C.D.【解析】选 D.因为双曲线方程为-=1(m0,n0),所以 a2=m,b2=n,得 a=,b=,- 2 - / 9因此双曲线的渐近线方程 y=x,即 y=x,所以=,得 m=4n,所以 c=.故双曲线的离心率 e=.【加固训练】(2016忻州模拟)已知双曲线 C:-=1 的离心率为,则 C 的渐近线方程为 ( )A.y=2x B.y=xC.y=xD.y=x【解析】选 B.由双曲线的方程-=1 知,双曲线的焦点在 x 轴上,所以=()2=3,所以 n=,所以 a2=,b2=4-=,从而双曲线的渐近线方程是 y=x.4.(2014全国卷)已知 F 为双曲线 C:

3、x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点 F 到C 的一条渐近线的距离为 ( )A. B.3 C.m D.3m【解析】选 A.双曲线 C:-=1,则 c2=3m+3,c=,设焦点 F(,0),一条渐近线方程为 y=x,即 x-y=0,所以点 F 到渐近线的距离为 d=.5.(2016开封模拟)设 F1,F2 分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为 ( )- 3 - / 9A.B.C.D.【解析】选 B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义

4、知|PF1|=2a+2c,因为F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即 3c2-2ac-5a2=0,两边同除以 a2,得 3e2-2e-5=0,解得 e=或 e=-1(舍去).【加固训练】(2016唐山模拟)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的焦点为 F1,F2,且 C 上点 P 满足=0,|=3,|=4,则双曲线 C 的离心率为( )A. B. C. D.5【解析】选 D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|=5,因此该双曲线的离心率e=5.6.过双曲线 C:-=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交于

5、点 A.若以C 的右焦点为圆心、4 为半径的圆经过 A,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线 C 的方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 A.由得所以 A(a,-b).由题意知右焦点与原点的距离为 c=4,所以=4,即(a-4)2+b2=16.而 a2+b2=16,所以 a=2,b=2.所以双曲线 C 的方程为-=1.7.直线 y=x 与双曲线 C:-=1(a0,b0)左右两支分别交于 M,N 两点,F 是双曲线C 的右焦点,O 是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的离心率等于 ( )- 4 - / 9A.+B.+1C.+1D.2【解析】选 B.由题意知|MO

6、|=|NO|=|FO|,所以MFN 为直角三角形,且MFN=90,取左焦点为 F0,连接 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0 为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形 NFMF0 为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线 MN 的倾斜角为 60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以 e=+1.二、填空题二、填空题( (每小题每小题 5 5 分分, ,共共 1515 分分) )8.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线-=1 的离心率为,则 m 的值为 .【解析】由-

7、=1,得 a=,b=,c=,所以 e=,即 m2-4m+4=0,解得 m=2.答案:29.已知 F 为双曲线 C:-=1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚轴长的 2倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则PQF 的周长为 .【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.【解析】由-=1,得 a=3,b=4,c=5,- 5 - / 9所以|PQ|=4b=162a,又因为 A(5,0)在线段 PQ 上,所以 P,Q 在双曲线的一支上,且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:所以|PF|+|QF|=28.即PQF 的周长是|PF|+|QF|+|

8、PQ|=28+16=44.答案:4410.设直线 x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .【解析】联立双曲线-=1 渐近线与直线方程 x-3y+m=0 可解得:A,B,则 kAB=,设 AB 的中点为 E,由|PA|=|PB|,可得 AB 的中点 E 与点 P 两点连线的斜率为-3,化简得 4b2=a2,所以 e=.答案:(15(15 分钟分钟 3030 分分) )1.(5 分)(2016新乡模拟)若双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2相切,则此双曲线的离心率等于

9、 ( )A.B.C.D.2【解析】选 B.由题意可知双曲线的渐近线方程之一为:bx+ay=0,圆(x-2)2+y2=2 的圆心为(2,0),半径为,双曲线-=1(a0,b0)的渐近线与圆(x-2)2+y2=2 相切,可得:=,可得 a2=b2,c=a,e=.2.(5 分)设 a,b 是关于 t 的方程 t2cos+tsin=0 的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1 的公共点的个数为 ( )- 6 - / 9A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 A.关于 t 的方程 t2cos+tsin=0 的两个不等实根为 0,-tan(tan0),所以 A(0,0)

10、,B(-tan,tan2),则过 A,B 两点的直线方程为 y=-xtan,双曲线-=1 的渐近线方程为 y=xtan,所以直线y=-xtan 与双曲线没有公共点.【加固训练】P 为双曲线 x2-=1 右支上一点,M,N 分别是圆(x+4)2+y2=4 和(x-4)2+y2=1 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为 .【解析】已知两圆圆心坐标分别为(-4,0)和(4,0)(记为 F1 和 F2)恰为双曲线x2-=1 的两焦点.当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为 P 到圆心 F1 的距离|PF1|与圆 F1 半径之和,同样|PN|min=|PF2|-1,从

11、而|PM|max-|PN|min=|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.答案:53.(5 分)(2016吕梁模拟)设 F1 和 F2 是双曲线-y2=1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足F1PF2=90,则F1PF2 的面积是 .【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n,(mn),根据双曲线性质可知 m-n=4,因为F1PF2=90,所以 m2+n2=20,所以 2mn=m2+n2-(m-n)2=4,所以 mn=2,所以F1PF2 的面积为 mn=1.答案:14.(15 分)(2016哈尔滨模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴

12、上截得线段长为 2,在 y 轴上截得线段长为 2.(1)求圆心 P 的轨迹方程.(2)若 P 点到直线 y=x 的距离为,求圆 P 的方程.- 7 - / 9【解析】(1)设圆心 P(x,y),由题意得 x2+3=y2+2,整理得 y2-x2=1,即为圆心 P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线.(2)由 P 点到直线 y=x 的距离为,得=,即|x-y|=1,即 x=y+1 或 y=x+1,分别代入 y2-x2=1,解得 P(0,-1)或 P(0,1).若 P(0,-1),此时点 P 在 y 轴上,故半径为,所以圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3;若 P(0,1),此时点 P 在 y 轴上,故

13、半径为,所以圆 P 的方程为(y-1)2+x2=3.综上,圆 P 的方程为(y+1)2+x2=3 或(y-1)2+x2=3.【加固训练】1.(2016长沙模拟)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为.(1)求 a,b.(2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别相交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【解析】(1)由题设知=3,即=9,故 b2=8a2.所以 C 的方程为 8x2-y2=8a2.将 y=2 代入上式,求得 x=.由题设知,2=

14、,解得,a2=1.所以 a=1,b=2.(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x2-y2=8. 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|2,代入并化简得,(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.- 8 - / 9设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1-1,x21,x1+x2=,x1x2=.于是|AF1|=-(3x1+1),|BF1|=3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即 x1+x2=-.故=-,解得 k2=,从而 x1x2=-.由于|AF2|=1-3x1,|BF2|=3x2-1,故|AB|=|AF2|-|B

15、F2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.2.直线 l:y=kx+1 与双曲线 C:2x2-y2=1 的右支交于不同的两点 A,B.(1)求实数 k 的取值范围.(2)是否存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线 l 的方程 y=kx+1 代入双曲线 C 的方程 2x2-y2=1 后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0. - 9 - / 9依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故解得 k 的取值范围是-2k-.(2)设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得 假设存在实数 k,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0).则由 FAFB 得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0. 把式及 c=代入式化简得 5k2+2k-6=0.解得 k=-或 k=(-2,-)(舍去),可知存在 k=-使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点.