时 圆的有关性质.pptx

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1、12016黄石黄石如图如图291，O的半径为的半径为13，弦，弦AB的长度的长度是是24，ONAB，垂足为，垂足为N，则，则ON ()A5 B7C9 D11小题热身图291A第1页/共48页【解析解析】由题意，可得由题意，可得OA13，ONA90，AB24，AN12，第2页/共48页2如图如图292，A，B，C是是 O上的三点，上的三点，B75，则，则AOC的度数是的度数是 ()A150 B140C130 D120图292A第3页/共48页32015杭州杭州在圆内接四边形在圆内接四边形ABCD中，已知中，已知A70，则，则C ()A20 B30C70 D110DA60 B45C35 D30D图

2、293第4页/共48页一、必知一、必知8 知识点知识点1圆的有关概念圆的有关概念定义：在同一平面内，线段定义：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转旋转一周，另一个端点一周，另一个端点P所经过的封闭曲线叫做圆，定点所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫叫做做_ _，线段，线段OP叫做叫做_圆的集合定义：圆是到定点的距离等于圆的集合定义：圆是到定点的距离等于_的点的集的点的集合合.圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做圆的有关概念：连结圆上任意两点的线段叫做_；经；经过圆心的弦叫做过圆心的弦叫做_；圆上任意两点间的部分叫做；圆上任意两点间的部分叫做_；大于半圆的弧叫做；大于

3、半圆的弧叫做_；小于半圆的弧叫做；小于半圆的弧叫做_；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，；圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做_考点管理圆圆心心圆的半径圆的半径定长定长弦弦直径直径弧弧优弧优弧劣弧劣弧半圆半圆第5页/共48页2点和圆的位置关系点和圆的位置关系如果圆的半径是如果圆的半径是r，点到圆心的距离为，点到圆心的距离为d，那么：，那么：(1)点在圆外点在圆外_；(2)点在圆上点在圆上_；(3)点在圆内点在圆内_.3确定圆的条件确定圆的条件确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定_个圆个圆.三角形的外接圆：经过

4、三角形各个顶点的圆；三角形的外接圆：经过三角形各个顶点的圆；三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形的内接三角形drdrdr一第6页/共48页【智慧锦囊智慧锦囊】三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在三角形的形的外心在三角形的_，直角三角形的外心是，直角三角形的外心是_ _，钝角三角形的外心在三角，钝角三角形的外心在三角形的形的_内部内部直角三角形直角三角形外部外部斜边的中点斜边的中点第7页/共48页4圆的对称性圆的对称性圆既是一个轴对称图形又是一个圆既是

5、一个轴对称图形又是一个_对称图形，圆对称图形，圆还具有旋转不变性还具有旋转不变性5垂径定理及其推论垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的对的_推论：推论：(1)平分弦平分弦(非直径非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；所对的两条弧；(2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦中心中心弧弧第8页/共48页【智慧锦囊智慧锦囊】用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心用垂径定理进行计算或证明时，常常连结半径或作出弦心距，距，构造直角三角形求解构造直角三角形

6、求解第9页/共48页6圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_ _，所对的弦，所对的弦_推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等其余各对量都相等相等相等相等相等第10页/共48页7圆周角圆周角圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角：顶点在圆上，它的两边都和圆相交的角；圆周角定理：圆周角的度数等于它

7、所对的弧上圆心角度圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上圆心角度数的数的_推论：推论：(1)半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是所对的圆周角是_角；角；(2)90的圆周角所对的弦是的圆周角所对的弦是_；(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧等的圆周角所对的弧_一半一半直直直径直径相等相等第11页/共48页8圆内接四边形圆内接四边形圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆

8、叫做四边形的外接圆边形的外接圆性质：圆内接四边形的对角互补性质：圆内接四边形的对角互补第12页/共48页二、必会二、必会2 方法方法1添加辅助线添加辅助线(1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如有关弦的问题，常作其弦心距，构造直角三角形，如图图294；(2)有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图有关直径的问题，常作直径所对的圆周角，如图295.图294图295第13页/共48页2分类讨论分类讨论在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧在圆中，常涉及到分类讨论，如一条弦所对的弧有优弧和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另外，有和劣弧两种，则其所对的圆周角不一定相等；另

9、外，有关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分关于弦的问题也需要分类讨论，如有两条弦时，需要分在圆心同侧还是异侧等此类问题是中考的热点考题在圆心同侧还是异侧等此类问题是中考的热点考题第14页/共48页三、必明三、必明3 易错点易错点1弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线弦和弧的两个端点都在圆上，但弦是线段，弧是曲线2直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径直径是圆中最长的弦，半径不是弦；半圆不是直径3应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是应用圆心角、弦、弧、弦心距的关系时，前提条件是“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”，它提供了圆心角、弧、弦、弦心距，它提供了圆心角、

10、弧、弦、弦心距之间的转化方法如果没有之间的转化方法如果没有“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”这个前提这个前提条件，在应用时推出的结论是错误的条件，在应用时推出的结论是错误的第15页/共48页类型之一点与圆的位置关系类型之一点与圆的位置关系 如图如图296，在，在RtABC中，中，ACB90，AC3，BC4，CP，CM分别是分别是AB上的高线和中线，如果上的高线和中线，如果 A是以点是以点A为圆心，为圆心，半径长为半径长为2的圆，那么下列判断正确的是的圆，那么下列判断正确的是()A点点P，M均在均在 A内内B点点P，M均在均在 A外外C点点P在在 A内，点内，点M在在 A外外D点点P在在 A外，点

11、外，点M在在 A内内图296C第16页/共48页AP1.82，点点P在在 A内，点内，点M在在 A外外【点悟点悟】点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距的距离和圆的半径的大小作出判断离和圆的半径的大小作出判断第17页/共48页2016连云港连云港如图如图297，在网格中，在网格中(每个小每个小正方形的边长均为正方形的边长均为1个单位个单位)选取选取9个格点个格点(格格线的交点称为格点线的交点称为格点)如果以如果以A为圆心，为圆心，r为为半径画圆，选取的格点中除点半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有外恰好有3个在圆内，则个在圆内，则r的取值范围为的取

12、值范围为()图297B第18页/共48页【解析解析】如答图，如答图，变式跟进答图变式跟进答图第19页/共48页类型之二圆心角、弧、弦之间的关系类型之二圆心角、弧、弦之间的关系图298CA120 B135 C150 D165第20页/共48页【解析解析】如答图，连结如答图，连结BO，过点，过点O作作OEAB于点于点E.例例2答图答图第21页/共48页【点悟点悟】(1)在同圆在同圆(或等圆或等圆)中，圆心角中，圆心角(或圆周角或圆周角)、弧、弧、弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也弦、弦心距中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等分别相等.利用这个性质可以将问题互相转化，达到

13、求解利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件：半径相等；注意圆中的隐含条件：半径相等；(3)注意分类讨论思想的应用注意分类讨论思想的应用.第22页/共48页图29920第23页/共48页变式跟进变式跟进1答答图图第24页/共48页(1)求证：求证：AB平分平分OAC；(2)延长延长OA至点至点P使得使得OAAP，连结，连结PC，若若 O的半径的半径R1，求，求PC的长的长图2910【解析解析】(1)证得等边三角形证得等边三角形AOC和等边三角形和等边三角形OBC，推出，推出OAOBBCAC；(2)求出求出ACOAAP，求出，求出PCO90，P

14、30.第25页/共48页解解：(1)证明：如答图，连结证明：如答图，连结OC.变式跟进变式跟进2答图答图AOCBOC60，OAOC，ACO是等边三角形，是等边三角形，OAAC，同理，同理，OBBC，OAACBCOB，四边形四边形AOBC是菱形，是菱形，AB平分平分OAC；第26页/共48页(2)由由(1)知知OAAC，又，又OAAP，APAC，PAC180OAC120，APCACP30，第27页/共48页类型之三垂径定理及其推论类型之三垂径定理及其推论 2016绍兴绍兴如图如图2911，小敏利用课余时间制，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，如图作了一个脸盆架，如图是它的截面图，垂直放置的脸是它

15、的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为盆与架子的交点为A，B，AB40 cm，脸盆的最低点，脸盆的最低点C到到AB的距离为的距离为10 cm，则该脸盆的半径为，则该脸盆的半径为_cm.25图2911第28页/共48页解解：如答图，设圆的圆心为：如答图，设圆的圆心为O，连结，连结OA，OC，OC与与AB交交于于点点D，设，设 O半径为半径为R，OCAB，例例3答图答图在在RtAOD中，中，ADO90，OA2OD2AD2，R2202(R10)2，解得解得R25 cm.【解析解析】如答图，设圆的圆心为如答图，设圆的圆心为O，连结，连结OA，OC，OC与与AB交于点交于点D，设，设 O半径为半径为R，

16、在，在RtAOD中利用勾股定理即可解中利用勾股定理即可解决问题决问题第29页/共48页12015衢州衢州一条排水管的截面如图一条排水管的截面如图2912所示，已知排水管的半径所示，已知排水管的半径OA1 m，水面，水面宽宽AB1.2 m，某天下雨后，水管水面上升，某天下雨后，水管水面上升了了0.2 m，则此时排水管水面宽，则此时排水管水面宽CD等于等于_m.图29121.6第30页/共48页【解析解析】如答图，连结如答图，连结OC，作，作OEAB，垂足为垂足为E，与，与CD交于交于F点，点，OA1 m，EA0.6 m，根据勾股定理，得，根据勾股定理，得OE0.8 m，EF0.2 m，则，则OF

17、0.6 m，在在RtOCF中，中，OF0.6 m，OC1 m，得得CF0.8 m，CD1.6 m，故答案为，故答案为1.6 m.变式跟进变式跟进1答图答图第31页/共48页22015六盘水六盘水赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约距今约1 400年，历经无数次洪水冲击和多次地震却安然年，历经无数次洪水冲击和多次地震却安然无恙如图无恙如图2913，若桥跨度，若桥跨度AB约为约为40 m，主拱高，主拱高CD约约10 m，则桥弧，则桥弧AB所在圆的半径所在圆的半径R_m.25图2913第32页/共48页第33页/共48页32015黄岛区模拟黄岛区模拟一破损光盘如

18、图一破损光盘如图2914所示，测得所示，测得所剩圆弧两端点间的距离所剩圆弧两端点间的距离AB长为长为8 cm，弧的中点到弧所对，弧的中点到弧所对弦的距离为弦的距离为2 cm，则这个光盘的半径是，则这个光盘的半径是_cm.图29145第34页/共48页变式跟进变式跟进3答图答图【点悟点悟】在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构在已知直径与弦垂直的问题中，常连结半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算一半和圆心到弦的距离，进而运用勾股定理来计算第35页/共48页类型之四圆周角定理及其推论

19、类型之四圆周角定理及其推论 2015德州改编德州改编如图如图2915，O的半径为的半径为1，A，P，B，C是是 O上的四个点，上的四个点，APCCPB60.(1)判断判断ABC的形状，并说明理由；的形状，并说明理由；(2)试探究线段试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你之间的数量关系，并证明你的结论的结论图2915备用图第36页/共48页【解析解析】(1)利用圆周角定理，可得利用圆周角定理，可得BACCPB，ABCAPC，而，而APCCPB60，BACABC60，从而可判断，从而可判断ABC的形状；的形状；(2)如答图，在如答图，在PC上截取上截取PDAP，则，则APD是等边三角形

20、，是等边三角形，然后证明然后证明APBADC，从而得出，从而得出BPCD.解解：(1)ABC是等边三角形是等边三角形理由：理由：在在 O中，中，第37页/共48页BACCPB，ABCAPC，又又APCCPB60，ABCBAC60，ABC为等边三角形；为等边三角形；(2)PCPAPB.证明：如答图，在证明：如答图，在PC上截取上截取PDAP，连结连结AD.例例4答图答图又又APC60，APD是等边三角形，是等边三角形，ADAPPD，ADP60，即即ADC120.第38页/共48页又又APBAPCBPC120，ADCAPB，在在APB和和ADC中，中，APBADC(AAS)，BPCD，又又PDAP

21、，CPCDPDBPAP.即即PCPAPB.第39页/共48页12016乐山乐山如图如图2916，C，D是以线是以线段段AB为直径的为直径的 O上两点，若上两点，若CACD，且且ACD40，则，则CAB ()A10 B20C30 D40图2916B第40页/共48页(1)求证：求证：CFBF；(2)若若CD12，AC16，求，求 O的半径和的半径和CE的长的长解解：(1)证明：证明：AB是是 O的直径，的直径，ACB90，又又CEAB，CEB90，BCE90ABCA，图2917第41页/共48页CBDA，CBDBCE，CFBF；BCCD12，又又在在RtABC中，中，AC16，由勾股定理，可得由

22、勾股定理，可得AB20，O的半径为的半径为10，第42页/共48页【点悟点悟】(1)由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理由圆周角与圆心角的关系可知：圆周角定理是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一是建立在圆心角的基础上的，有了圆周角定理，就多了一种证明角相等关系或倍分关系的方法；种证明角相等关系或倍分关系的方法；(2)直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明直径所对圆周角为直角，反之亦成立，在圆的有关证明和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化和计算中要创造条件，灵活运用，使问题简单化第43页/共48页圆的计算中谨防漏解圆的计算中谨防漏解(襄阳中考襄阳中考)圆的半径为圆

23、的半径为13 cm，两弦，两弦ABCD，AB24 cm，CD10 cm，则两弦，则两弦AB，CD的距离是的距离是 ()A7 cm B17 cmC12 cmD7 cm或或17 cm第44页/共48页【错解错解】如答图如答图，过点，过点O作作OECD，交，交AB于点于点F，CD于点于点E，连结，连结OB，OD.已知已知CD10 cm，DE5 cm.OD13 cm，利用勾股定理，可得利用勾股定理，可得OE12 cm.同理可求同理可求OF5 cm，EF7 cm.故选故选A.【错因错因】当已知条件中没有明确图时，要注意分类讨论，当已知条件中没有明确图时，要注意分类讨论，错解忽略这一点，造成丢解此题可以分两种情况，即两错解忽略这一点，造成丢解此题可以分两种情况，即两弦在圆心的同一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个弦在圆心的同一侧时和在两侧时，所以此题的答案有两个易错警示答图易错警示答图第45页/共48页【正解正解】第一种情况：两弦在圆心的一侧时，第一种情况：两弦在圆心的一侧时，即错解结论；第二种情况：如答图即错解结论；第二种情况：如答图，两弦，两弦在圆心的不同侧，此时在圆心的不同侧，此时EFOEOF17 cm.其他和第一种一样故选其他和第一种一样故选D.易错警示答图易错警示答图第46页/共48页第47页/共48页