选修参数方程圆锥曲线参数方程.pptx

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1、圆锥曲线的参数方程 第1页/共60页椭圆的参数方程第2页/共60页小结:参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消 去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,从 整体上消去。化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。第3页/共60页 步骤：（步骤：（1 1）消参；）消参；（2 2）求定义域；）求定义域；第4页/共60页例4 思考：为什么(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程

2、？第5页/共60页复习圆的参数方程1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:3.椭圆的标准方程：它的参数方程是什么样的？第6页/共60页例4 第7页/共60页小小 结结 椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：椭圆的参数方程：椭圆的参数方程：离心角离心角一般地：一般地：在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a a、b b分别是椭圆的长半轴长和短半分别是椭圆的长半轴长和短半 轴长轴长.ab.ab第8页/共60页练习 把下列普通方程化为参数方程.(1)(2)第9页/共60页xyO第10页/共60页第11页/共60页xyOM解：因为椭圆的参数方程为解：因

3、为椭圆的参数方程为(为参数为参数)，所以可设点所以可设点MM的坐标为的坐标为由点到直线的距离公式，得到点由点到直线的距离公式，得到点MM到直线的距离为到直线的距离为 例例1 1、如图，在椭圆、如图，在椭圆 上求一点上求一点MM，使，使MM到直线到直线 l l：x+2y-10=0 x+2y-10=0的距离最的距离最小小.第12页/共60页d第13页/共60页说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾斜角不同的倾斜角不同.双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代

4、换比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第14页/共60页抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)第15页/共60页()c第16页/共60页第17页/共60页2第18页/共60页 例1、已知椭圆 上点M(x,y)，(2)求2x+3y的最大值和最小值；第19页/共60页例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线 l：x-y+4=0的距离最小.xyOP分析1：分析2：分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求.第20页/共60页yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX 例3、已知椭圆 有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积。第21页/共60页 练习 已知

5、A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.第22页/共60页 例例4 4 求椭圆求椭圆 的内接矩形的面积及周长的的内接矩形的面积及周长的最大值。最大值。解解:设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是设椭圆内接矩形在第一象限的顶点是矩形面积和周长分别是矩形面积和周长分别是S S、L L当且仅当当且仅当时，时，此时此时 存在。存在。第23页/共60页 例例6 6 取一切实数时，连接取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)A(4sin,6cos)和和B(-4cos,6sin)B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是

6、 .A.A.圆圆 B.B.椭圆椭圆 C.C.直线直线 D.D.线段线段 例例5 5 四边形四边形ABCDABCD内接于椭圆内接于椭圆 其中点其中点A(3,0)A(3,0)，C(0,4)C(0,4)，B B、D D分别位于椭圆第分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCDABCD面积的最大值。面积的最大值。第24页/共60页 例例7 7 已知点已知点A A在椭圆在椭圆 上运动，点上运动，点B(0,9)B(0,9)、点、点MM在线段在线段ABAB上，且上，且 ,试求动点试求动点MM的轨迹方程。的轨迹方程。解：由题意知解：由题意知B(0,9),B(0,9),

7、设设A(A(),),并且设并且设M(x,y)M(x,y)(是参数是参数)消去参数得动点消去参数得动点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是:第25页/共60页 例例6 6 椭圆椭圆 与与x x轴的正向相交于点轴的正向相交于点A,OA,O为坐标原点为坐标原点,若这个椭圆若这个椭圆上存在点上存在点P P，使得，使得OPOP APAP。求该椭圆的离心率。求该椭圆的离心率e e的取值范围。的取值范围。解解:设椭圆上的点设椭圆上的点P P的坐标是的坐标是(0(0且且),A(a,0),A(a,0)而而OPOP APAP，（舍去），（舍去），因为因为所以所以可转化为可转化为解得解得于是于是第26页/共60

8、页B设中点M(x,y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin练习:1 取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和B(-4cos,6sin)两点的线段的中点轨迹是 .A.圆 B.椭圆 C.直线 D.线段第27页/共60页第28页/共60页()B第29页/共60页 练习练习 OO是坐标原点，是坐标原点，P P是椭圆是椭圆 上上离心角为离心角为-/6-/6所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是 .解：把解：把代入椭圆参数方程代入椭圆参数方程可得可得P P点坐标点坐标所以直线所以直线OPOP的倾角的正切值是的倾角的正切值是:第30页/共60页双曲线的

9、参数方程第31页/共60页A ABBB BOOy yx xMM AA以原点以原点OO为圆心为圆心,a a,b b(a a0,0,b b0)0)为半径分别作同心圆为半径分别作同心圆C C1 1,C C2.2.设设A A为圆为圆C C1 1上任一点上任一点,作直线作直线OAOA,过过A A作圆作圆C C1 1的切线的切线AAAA 与与x x交于点交于点A A,过圆过圆C C2 2与与x x轴的交点轴的交点B B作圆作圆C C2 2的切线的切线BBBB 与直线与直线OAOA交于点交于点B B。过点过点AA,B B 分别作分别作y y轴轴,x x轴的平行线轴的平行线A A MM,B B MM交于点交于

10、点MM,设设OAOA与与OXOX所成角为所成角为(0,20,2),),/2,/2,3/2)3/2)求点求点MM的轨迹方程的轨迹方程,并说出点并说出点MM的轨迹。的轨迹。研究双曲线研究双曲线的参数方程的参数方程第32页/共60页 A ABBB BOOy yx xMM AA第33页/共60页baoxy)MBA事实上事实上第34页/共60页(t 是参数,t 0)化为普通方程,画出方程的曲线.表示什么曲线?画出图形.练习:4第35页/共60页例例1.1.求点求点MM0 0(0,2)(0,2)到双曲线到双曲线x x2 2y y2 2=1=1上点的最小距离。上点的最小距离。第36页/共60页不妨设不妨设M

11、M为双曲线右支上一点，其坐标为为双曲线右支上一点，其坐标为 则直线则直线MAMA的方程为的方程为 解得点解得点A A的横坐标为的横坐标为 平行四边形平行四边形MAOBMAOB的面积为的面积为 由此可见，平行四边形由此可见，平行四边形MAOBMAOB的面积恒为定值，的面积恒为定值，与点与点MM在双曲线上的位置无关在双曲线上的位置无关第37页/共60页说明：说明：这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OMOM的倾斜角不同的倾斜角不同.双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 相相比较而得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换比较而

12、得到，所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.第38页/共60页例3第39页/共60页 例例4 4 求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。求证：等轴双曲线平行于实轴的弦在两顶点所张的角均为直角。A A2 2A A1 1B BA Ay yx xOO证明：设双曲线方程为证明：设双曲线方程为取顶点取顶点A A2 2(a,0),(a,0),弦弦AB AB OxOx，弦弦ABAB对对A A1 1张直角，张直角，同理对同理对A A2 2也张直角也张直角第40页/共60页MMOOy yx xBBAA 例例5 5 已知双曲线，已知双曲线，A A，B B是双曲线同支上相异两点，线段是双曲线同支上

13、相异两点，线段ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与x x轴相交于点轴相交于点P ,P ,求证：求证：，解：设解：设A A，B B坐标分别为坐标分别为则中点为则中点为MM于是线段于是线段ABAB中垂线方程为中垂线方程为将将 代入上式代入上式,(A A，B B相异相异)，第41页/共60页 例例6 6 求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。求证：等轴双曲线上任意一点到两渐近线的距离之积是常数。第42页/共60页第43页/共60页抛物线的参数方程第44页/共60页MMF FOOY YX XA A前面曾经得到以时刻前面曾经得到以时刻 t t 为参数的抛物线的参数方程为参数的抛物线的参数

14、方程:对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？对于一般抛物线，怎样建立参数方程呢？以抛物线的普通方程以抛物线的普通方程为例，其中为例，其中p p为焦点到准线的距离。为焦点到准线的距离。第45页/共60页 设设M(x,y)M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OMOM为终边的角记作为终边的角记作 显然，当显然，当 在在 内变化时，点内变化时，点MM在抛物线上运动，并且在抛物线上运动，并且对于对于 的每一个值，在抛物线上都有唯一的点的每一个值，在抛物线上都有唯一的点MM与之对应，因此，与之对应，因此，可以取可以取 为参数来探求抛物线的参数方程为参数来探求抛

15、物线的参数方程.因为点因为点MM在在 的终边上，根据三角函数定义可得的终边上，根据三角函数定义可得由方程由方程(为参数为参数)这是抛物线这是抛物线(不包括顶点不包括顶点)的参数方程的参数方程.第46页/共60页如果令如果令则有则有（t t为参数）为参数）(为参数为参数)当当t=0t=0时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点时，上式表示的点正好就是抛物线的顶点(0,0),(0,0),因此，当因此，当 时，时，（t t为参数）为参数）就表示整条抛物线参数就表示整条抛物线参数 t t 表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数倒数第47页/共6

16、0页C练习第48页/共60页 例例1 1 如图，如图，OO为原点，为原点，A,BA,B为抛物线为抛物线 上异于顶点的两动点，且上异于顶点的两动点，且OAOA OBOB，OMOM ABAB于于MM，求点，求点MM的轨迹方程的轨迹方程第49页/共60页当点当点A,BA,B在何位置时在何位置时,AOB,AOB面积最小？最小值是多少？面积最小？最小值是多少？第50页/共60页第51页/共60页 练习 已知椭圆C1:及抛物线C2:y2=6(x-3/2)；若C1C2，求m的取值范围。代入得 cos2+4cos+2m-1=0所以 t2+4t+2m-1=0 在-1,1内有解；第52页/共60页 3 3 已知已

17、知A,B,CA,B,C是抛物线是抛物线 y y2 2=2px(p0)=2px(p0)上的三个点，且上的三个点，且BCBC与与x x轴垂直，直线轴垂直，直线ABAB和和ACAC分别与抛物线的轴交于分别与抛物线的轴交于D,ED,E两点，求证：抛物线的顶点平分两点，求证：抛物线的顶点平分DE.DE.练习第53页/共60页 4 经过抛物线y2=2px(p0)的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点M的参数方程。解：直线OA的方程为y=kx，直线OB的方程为由y2=2px和y=kx，得A点坐标为同理B点坐标(2pk2,-2pk)第54页/共60页 5 5 已知

18、椭圆已知椭圆 上任意一点上任意一点MM，(除短轴端点外除短轴端点外)与短轴端点与短轴端点B B1 1,B,B2 2的连线的连线分别与分别与x x轴交于轴交于P,QP,Q两点，两点，OO为椭圆的中心，求证：为椭圆的中心，求证：|OP|OQ|OP|OQ|为定值。为定值。第55页/共60页 练习练习 对于一切实数，若对于一切实数，若 直线直线 与曲线与曲线 恒有公共点，则恒有公共点，则mm的范围是：的范围是：A B C D直线恒过直线恒过点点当直线与曲线恒有公共点时，必满足当直线与曲线恒有公共点时，必满足第56页/共60页第57页/共60页MM如图,以原点为圆心,分别以a,b(ab0)为半径作两个圆

19、,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过点A作x轴垂线轴垂线,垂足为N,过点B作y轴垂线轴垂线,BMAN,垂足为M,x xOOy yA AN NB B设以设以OxOx为始边，为始边，OAOA为终边的角为为终边的角为，点点MM的坐标是的坐标是(x,y)(x,y)。那么点那么点A A的横坐标为的横坐标为x x，点，点B B的纵坐标为的纵坐标为y y。由于点由于点A,BA,B均在角均在角 的终边上，由三角函数的定义有的终边上，由三角函数的定义有:y yNMNMx xONON 这是中心在原点这是中心在原点O,O,焦点在焦点在x x轴上轴上的椭圆的参数方程。的椭圆的参数方程。常数常数a a、b b分别是椭圆的长半轴分别是椭圆的长半轴长和短半轴长。长和短半轴长。在椭圆的参数方程中，通常规定在椭圆的参数方程中，通常规定参数参数 的范围为的范围为|OA|cos|OA|cosacosacos，|OB|sin|OB|sinbsinbsin 第58页/共60页OAMxyNB椭圆的标准方程:椭圆的参数方程中参数的几何意义:xyO圆的标准方程:圆的参数方程:x2+y2=r2的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程:是AOX=,不是MOX=.称为点称为点MM的离心角的离心角 第59页/共60页感谢您的观看！第60页/共60页