物理量子力学.pptx

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1、13.1 3.1 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示 二、二、算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质 三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符 RETURNRETURNRETURNRETURN第1页/共108页23.1 3.1 3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符表示力学量的算符 引引 量子力学量特点：量子力学量特

2、点：任何状态下，一般具有一任何状态下，一般具有一系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。系列可能值，每个可能值以一定的概率出现。经典力学量特点：经典力学量特点：任何状态下，都有确定解。任何状态下，都有确定解。力学量如何表示力学量如何表示 一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示第2页/共108页31.1.1.1.力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系力学量的期望值与算符的关系 (1)(1)坐标的期望值坐标的期望值同同 理：理：粒子处于处的概率密度粒子处于处的概率密度 所以 量子态的平均值（力学量量子态的平均值（力学

3、量F F在在 态中的平态中的平均值）称为期望值。均值）称为期望值。第3页/共108页4(2)(2)势能期望值势能期望值 (3)(3)动量的期望值动量的期望值 粒子动量概率密度粒子动量概率密度 粒子动量期望值粒子动量期望值 x分量：（以一维情况为例）分量：（以一维情况为例）其中其中 第4页/共108页5所以所以第5页/共108页6同同 理：理：推广至三维情况推广至三维情况 由此得到计算期望值的一个新的数学工具由此得到计算期望值的一个新的数学工具 算符算符 一般地，粒子的任何一个力学量一般地，粒子的任何一个力学量A的期望值：的期望值：第6页/共108页7结论结论：量子力学中力学量的期望值量子力学中

4、力学量的期望值A与相与相 应的算符对应应的算符对应 第7页/共108页82.2.力学量的可能值与算符的关系力学量的可能值与算符的关系 一维无限深势阱中运动粒子一维无限深势阱中运动粒子能量的可能值即为相应算符的本征值。能量的可能值即为相应算符的本征值。能量可能值能量可能值第8页/共108页9结论结论：力学量力学量F的可能值与相应算符的本征值对应的可能值与相应算符的本征值对应 量子力学中力学量与力学量算符的这种对量子力学中力学量与力学量算符的这种对应关系称之为：应关系称之为：力学量算符表示力学量。力学量算符表示力学量。基本假定：基本假定：如果力学量如果力学量F的相应算为的相应算为 ，则力学量则力学

5、量F的可能值即为的可能值即为 的本征值的本征值,当系当系统处于统处于 的本征态时的本征态时,力学量力学量F 有确定值，有确定值，亦即在亦即在态中态中 的本征值。的本征值。第9页/共108页103.3.3.3.量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则量子力学中力学量算符的构成规则 例例 角动量角动量 角动量算符角动量算符 如果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F在经典力在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符量的算符 由经典表示式由经典表示式F(r,p)中将中将r,p换成相应的算符而构成。换成相应

6、的算符而构成。RETURNRETURNRETURNRETURN第10页/共108页11二、二、二、二、算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质算符的基本性质 2 2基本性质基本性质 其中其中为任意函数为任意函数,则称两算符相等则称两算符相等,即即1 1定义定义 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号的运算符号 （1 1）算符相等）算符相等（2 2）单位算符）单位算符如果两算符如果两算符 满足满足作用到任意函数作用到任意函数上上,不变不变第11页/共108页12（3 3）算符之和）算符之和满足：满足：加法交换律加法交换律 加法结合律加法结合律 （

7、4 4）算符乘积）算符乘积一般一般 ,则称二者不对易。则称二者不对易。则称两算符对易。则称两算符对易。若若 ,为任意函数为任意函数,即即两算符与之和定义为两算符与之和定义为两算符与之积定义为两算符与之积定义为第12页/共108页13则称两算符反对易。则称两算符反对易。若若 ,为任意函数为任意函数,即即（5 5）逆算符）逆算符或或 如果两算符满足如果两算符满足 则称两者互为逆算符则称两者互为逆算符.记记 且有且有设设 能唯一的解出能唯一的解出,则定义则定义 的逆算符为的逆算符为第13页/共108页14（6 6）算符的转置、复共轭及厄米共轭）算符的转置、复共轭及厄米共轭 量子系统任意两波函数的标积

8、：量子系统任意两波函数的标积：性质性质:算符的转置算符算符的转置算符 或或第14页/共108页15证明证明:第15页/共108页16 例题 求动量的转置算符。求动量的转置算符。所以所以 算符的复共轭算符算符的复共轭算符 把算符中的所有复量换成共轭复量。把算符中的所有复量换成共轭复量。如：动量的复共轭算符如：动量的复共轭算符 解 第16页/共108页17厄米共轭算符厄米共轭算符或或 因因,为任意函数为任意函数,于是于是 （7 7）幺正算符：）幺正算符：若若 或或 ,则称则称为么正算符。为么正算符。第17页/共108页18（8 8）算符的函数）算符的函数其中其中（9 9）线性算符）线性算符满足运算

9、规则满足运算规则的算符的算符 称为线性算符，称为线性算符，c1 1，c2 2是任意常数。是任意常数。第18页/共108页19（1010）厄米算符）厄米算符 可以证明可以证明:若若 ,即即 ,则称则称为厄米算符为厄米算符 例例 动量算符动量算符 是线性算符是线性算符 注：注：期望值为实数的算符必为厄米算符。期望值为实数的算符必为厄米算符。厄米算符的期望值都是实数。厄米算符的期望值都是实数。所以所以 是实数。是实数。第19页/共108页20注：注：厄米算符的本征值必为实数。厄米算符的本征值必为实数。设设 因为因为 所以所以 则有则有 3 3算符的本征值方程算符的本征值方程 则称则称为为 的本征值，

10、的本征值，为属于为属于的本征函数，的本征函数，上述方程称为算符上述方程称为算符 的本征值方程。的本征值方程。如果算符如果算符 作用于一个函数作用于一个函数，结果等于，结果等于乘上一个常数乘上一个常数乘上这个函数乘上这个函数，即即第20页/共108页21 例题例题 证明动量算符是厄米算符。证明动量算符是厄米算符。解解 因为因为所以所以 或或 例题例题 证明证明 解解 所以所以 因为因为RETURNRETURNRETURNRETURN第21页/共108页22三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性、厄米算符三、表示力学量的算符应是线性

11、、厄米算符 1 1线性：线性：态叠加原理的要求。态叠加原理的要求。2 2厄米性：厄米性：因力学量的可能值为相应算符的因力学量的可能值为相应算符的 本征值，且应为实数，而厄米算本征值，且应为实数，而厄米算 符的本征值定为实数。符的本征值定为实数。结论：量子力学中表示力学量的量子力学中表示力学量的 算符应该为线性厄米算符。算符应该为线性厄米算符。RETURNRETURNRETURNRETURN第22页/共108页233.2 3.2 3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 一、动量算符一、动量算符一、动量算符一、动量算符 二、角动量算符二、角

12、动量算符二、角动量算符二、角动量算符 RETURNRETURNRETURNRETURN第23页/共108页243.2 3.2 3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 一、动量算符一、动量算符一、动量算符一、动量算符 本征值方程：本征值方程：三个分量方程：三个分量方程：解之得解之得第24页/共108页25归一化常数的确定：归一化常数的确定：动量的本征函数动量的本征函数所以所以 RETURNRETURNRETURNRETURN第25页/共108页26二、角动量算符二、角动量算符二、角动量算符二、角动量算符 直角分量：直角分量：角动量平方算符

13、：角动量平方算符：第26页/共108页27在球坐标系中：在球坐标系中：第27页/共108页28因为因为第28页/共108页29所以所以第29页/共108页30第30页/共108页31角动量平方算符的本征函数和本征值角动量平方算符的本征函数和本征值 分离变量分离变量 代入上式，再乘以代入上式，再乘以 ，得，得 由由 第31页/共108页32由周期性条件由周期性条件所以所以得得由归一化条：由归一化条：得得第32页/共108页33令令 ，则化为连带勒让德方程则化为连带勒让德方程 x=1 1是正则奇点，其余点均为常点是正则奇点，其余点均为常点,利用级数解法，利用级数解法，时，时，当当得物理上允许的解：

14、得物理上允许的解：第33页/共108页34所以所以,角动量动量平方算符的本征函数角动量动量平方算符的本征函数球谐函数球谐函数由归一化条件：由归一化条件：角动量平方算符的本征值：角动量平方算符的本征值：角动量角动量z分量算符的本征函数和本征值：分量算符的本征函数和本征值：第34页/共108页35注：注：角动量平方、角动量角动量平方、角动量z分量算符的本征值分量算符的本征值对应于对应于 的一个本征值：的一个本征值：2L2)1(h，+ll有有2 2l+1+1个不同的本征函数，称为个不同的本征函数，称为2 2l+1+1度简并的，度简并的，l称角量子数，称角量子数，m称磁量子数。称磁量子数。封闭性：封闭

15、性：RETURNRETURNRETURNRETURN第35页/共108页363.3 3.3 3.3 3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性一、正交性一、正交性一、正交性 二、完备性二、完备性二、完备性二、完备性 三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值 RETURNRETURNRETURNRETURN第36页/共108页373.3 3.3 3.3 3.3 厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完备性厄米算符本征函数的正交性和完

16、备性厄米算符本征函数的正交性和完备性 一、正交性一、正交性一、正交性一、正交性 1.1.定义：定义：如果两函数满足如果两函数满足 则称两函数相互正交。则称两函数相互正交。2.2.定理：定理：厄米算符的属于不同本征值的两个厄米算符的属于不同本征值的两个 本征函数相互正交。本征函数相互正交。证明：设厄米算符的本征函数为证明：设厄米算符的本征函数为 相应的本征值为相应的本征值为 第37页/共108页38对于不同本征值的本征函数，如对于不同本征值的本征函数，如 所以，两函数正交。所以，两函数正交。注：注：对于属于对于属于 的简并的波函数，的简并的波函数，一般相互间不一定正交，但可采用施密特正交化一般相

17、互间不一定正交，但可采用施密特正交化方法使其正交归一化。方法使其正交归一化。第38页/共108页393.3.正交归一系正交归一系 满足条件：满足条件：函数系函数系 构成正交归一系。构成正交归一系。l l 或或k例：例：（1 1）线性谐振子能量本征函数构成正交归一系）线性谐振子能量本征函数构成正交归一系 )(2221xHeNnxnnaa-=或或第39页/共108页40（2 2）角动量）角动量z z分量算符的本征函数构成正交归一系分量算符的本征函数构成正交归一系 （3 3）角动量平方算符的本征函数构成正交归一系）角动量平方算符的本征函数构成正交归一系 （4 4）一维无限深方势阱（宽为）一维无限深方

18、势阱（宽为a）的能量本征函数）的能量本征函数 构成正交归一系构成正交归一系 RETURNRETURNRETURNRETURN第40页/共108页41二、完备性二、完备性二、完备性二、完备性 1.1.定理定理 厄米算符厄米算符F的本征函数的本征函数 构成一完备的正构成一完备的正交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称交函数系，由该函数系为基矢所张开的空间称为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一为希尔伯特空间（函数空间）。体系的任何一个状态个状态 可以可以 为基展开为级数，即为基展开为级数，即 （F具有分立谱）具有分立谱）（F具有连续谱）具有连续谱）或或 其中其中其中其中第41页/共108页42

19、2.2.本征函数完备性条件本征函数完备性条件封闭性关系封闭性关系 分立谱：分立谱：上式中上式中 其中其中第42页/共108页43连续谱：连续谱：封闭性关系：封闭性关系：既有分立谱又有连续谱：既有分立谱又有连续谱：封闭性关系：封闭性关系：其中其中第43页/共108页44（1 1）归一化条件归一化条件 （2 2）任一力学量平均值）任一力学量平均值 注：注：物理意义：物理意义：表示任意表示任意 态中态中,系统处于系统处于 （本征值为（本征值为 ）的概率。）的概率。2nCn nl l的物理意义的物理意义 RETURNRETURNRETURNRETURN第44页/共108页45三、力学量的可能测值三、力

20、学量的可能测值三、力学量的可能测值三、力学量的可能测值 态下态下,多次测量力学量的平均值趋于一个多次测量力学量的平均值趋于一个确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有一确定值，而每次测量的结果，围绕平均值有一个涨落个涨落,若体系处于一种特殊状态，使得测量力学若体系处于一种特殊状态，使得测量力学量所得的结果是完全确定的，即涨落为零量所得的结果是完全确定的，即涨落为零 对于特殊状态显然有对于特殊状态显然有 为常数。为常数。第45页/共108页46记记基本假定：基本假定：测量力学量时，所有可能出现的值测量力学量时，所有可能出现的值 都是相应的线性厄米算符的本征值。都是相应的线性厄米算符的本征值。第46

21、页/共108页47 解解 根据根据 把把 按动量本征函数展开按动量本征函数展开 其中其中因为因为，例题例题 已知氢原子处于基态，已知氢原子处于基态，求其电子动量的概率分布。求其电子动量的概率分布。第47页/共108页48所以，动量几率分布密度：所以，动量几率分布密度：RETURNRETURNRETURNRETURN第48页/共108页493.4 3.4 3.4 3.4 算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系 不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系 二、对易关系的物理意义二、对易关系的物

22、理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 RETURNRETURNRETURNRETURN第49页/共108页503.4 3.4 3.4 3.4 算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系算符间的对易关系 不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系一、算符间的对易关系 1.1.基本对易式基本对易式 因为因为所以所以第50页/共108页51同理：同理：2.2.角动量算符的对易式角动量算

23、符的对易式 同理：同理：第51页/共108页52角动量算符定义：角动量算符定义：Levi-Civita符号符号 同理可证：同理可证：即即其中其中第52页/共108页53 例题例题 证明证明因因 是任意的函数，所以是任意的函数，所以 解解 取任意函数取任意函数 ，由于，由于第53页/共108页54 解解 例题例题 证明证明 。，因为因为所以所以又因又因同理同理同理同理RETURNRETURNRETURNRETURN第54页/共108页55二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义二、对易关系的物理意义 证明：证明：设设 ，1.1.定理：定理：定理：定理：如果两个算符如果两

24、个算符 和和 有一组共同的本征有一组共同的本征 函数，而且组成完备系，则算符函数，而且组成完备系，则算符 和和 对易。对易。Fnf fGFG因为因为即有即有一般情况：设任意波函数态为一般情况：设任意波函数态为，因，因 组成完备组成完备 系，所以系，所以nf f第55页/共108页56即有即有 设设 ，则，则 因为因为所以所以证明：证明：（1 1）非简并）非简并 2.2.定理：定理：定理：定理：如果两个算符如果两个算符 、对易，则这两个算符对易，则这两个算符 有共同的本征函数，这些本征函数组成有共同的本征函数，这些本征函数组成 完备系。完备系。F G即即 也是本征值为也是本征值为 的本征函数的本

25、征函数 第56页/共108页57又因又因 是无简并的，所以：是无简并的，所以：nfn 与与 描写同一个状态，二者只差一个常数。描写同一个状态，二者只差一个常数。nG nnngG =则则 故：故：也是也是 的本征函数的本征函数 Gn 是是 和和 的共同本征函数的共同本征函数 n FG（2 2）简并时）简并时ns设设 的本征值的本征值 有简并，简并度为有简并，简并度为 Fnf也是也是 属于属于 的本征函数的本征函数 nG Fnf因为因为所以所以第57页/共108页58因有简并因有简并 nG 故故 与与 所描写量子态不一定相同。所描写量子态不一定相同。n G即：即：的本征函数的本征函数 不一定是不一

26、定是 的本征函数。的本征函数。Fn 令令 F设：设：，共同的本征函数为共同的本征函数为 Gn nf显然，显然，是是F的本征函数的本征函数,本征值为本征值为 。n Gn 为使为使 也是的也是的 本征函数，令本征函数，令g g 是是 的本征值。的本征值。G其中其中 第58页/共108页59 （线性齐次方程组）（线性齐次方程组）由由 同乘同乘 ，积分，积分*jn 分别将分别将 代入前式可得对应于每个代入前式可得对应于每个 的一组解的一组解 jgjg若无重根：若无重根：可解出可解出 个个jgnsija第59页/共108页60所以相应的波函数所以相应的波函数 满足满足 所以所以:jgG可按可按 的的 个

27、本征值个本征值 来分类来分类ns一组一组 确定的本征函数确定的本征函数 ，度简并解除。度简并解除。),(jngfjn nsF即即:是是 、的共同本征函数的共同本征函数,本征值分别为本征值分别为 。n G第60页/共108页61与与 、对易的力学量，才能确定体系的状态。对易的力学量，才能确定体系的状态。FG若若 有重根：有重根：则还需再找出则还需再找出0)det(=-jijigGd d对易关系的物理意义：对易关系的物理意义：若两算符对易，则两算符存在共同的本征若两算符对易，则两算符存在共同的本征函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算函数。在其共同本征函数所描写的态中，两算符表示的力学量同时有确

28、定的值。符表示的力学量同时有确定的值。因为因为 的本征函数的本征函数 构成完全系，所以构成完全系，所以 、的共同本征函数也组成完全系。的共同本征函数也组成完全系。FGn F第61页/共108页62如：如：动量动量 满足满足 ，有共同的本征函数。有共同的本征函数。相应的本征值为：相应的本征值为：氢原子的氢原子的 满足：满足：第62页/共108页63共同本征函数共同本征函数 3.3.力学量完全集力学量完全集 要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对要完全确定系统所处的状态，需要一组相互对易的力学量（通常通过它们的本征值），这一组易的力学量（通常通过它们的本征值），这一组完全确定体系状态的力学量称之

29、为力学量的完全完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集。集。其中其中 在在 态下，能量、角态下，能量、角动量平方、角动量动量平方、角动量z z分量同时具有确定值。分量同时具有确定值。nlm 第63页/共108页64如：如：本征值有简并：本征值有简并：2L)，,(lmY)1(2ll+h h确定的确定的 ，有，有 2l+1 个个 要完全确定状态要完全确定状态 ，需确定，需确定m,当当l、m),(lmY同时确定时，状态才能唯一确定。而同时确定时，状态才能唯一确定。而m 与力学与力学 量量 相对应。即需另找一个与相对应。即需另找一个与 对易的力学量，对易的力学量，才能完全确定状态。才能完全确定状态

30、。zL2L),(2zLLr r 构成一组力学量完全集。构成一组力学量完全集。一般情况，力学量完全集所包含的力学量一般情况，力学量完全集所包含的力学量个数等于体系的自由度。个数等于体系的自由度。例例:三维空间中自由粒子的自由度是三维空间中自由粒子的自由度是3,3,完全确完全确 定它的状态需定它的状态需 三个力学量。三个力学量。氢原子中电子自由度是氢原子中电子自由度是3,3,完全确定它的状完全确定它的状 态需态需 3 3个相互对易的力学量个相互对易的力学量.RETURNRETURNRETURNRETURN第64页/共108页65三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意义三、非对易关系的物理意

31、义三、非对易关系的物理意义不确定关系不确定关系不确定关系不确定关系 下面讨论一般情况：下面讨论一般情况：设任意两力学量，相应的算符且满足设任意两力学量，相应的算符且满足 相应的涨落相应的涨落 考虑积分：考虑积分：问题：问题：若系统处于若系统处于F的本征态，测力学量的本征态，测力学量F时，时，F有有确定值，亦即涨落确定值，亦即涨落 ，如同时测量另一力学，如同时测量另一力学量量G，则，则 第65页/共108页66由不等式成立条件：由不等式成立条件：因为因为又又所以所以第66页/共108页67不确定关系：不确定关系：故有故有或或如：如：坐标与动量的测不准关系：坐标与动量的测不准关系：能量与时间的测不

32、准关系：能量与时间的测不准关系：第67页/共108页68注：注：不确定关系是物质粒子波粒二像性矛盾的不确定关系是物质粒子波粒二像性矛盾的反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于微反映，标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常小，观粒子的适用程度。由于普朗克常量非常小，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的概念，在一般的宏观现象中，不妨引用轨道的概念，但在处理微观世界中的现象时，必须用不确定但在处理微观世界中的现象时，必须用不确定关系。关系。第68页/共108页69 例题例题 用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。用不确定关系计算线性谐振子的基态零点能量。解解 由于谐

33、振子平均能量为由于谐振子平均能量为 由于由于故故由于由于第69页/共108页70令令有有 所以所以故故因此因此第70页/共108页71 例题例题 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解解 由氢原子的能量公式由氢原子的能量公式平均能量平均能量因因第71页/共108页72所以所以令令有有故：当故：当 时，时，22sermh h=D D氢原子的最小（基态）能量氢原子的最小（基态）能量RETURNRETURNRETURNRETURN第72页/共108页733.5 3.5 3.5 3.5 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化力学量期

34、望值随时间的变化 守恒定律守恒定律守恒定律守恒定律 一、力学量的期望值随时间的变化一、力学量的期望值随时间的变化一、力学量的期望值随时间的变化一、力学量的期望值随时间的变化 二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系 RETURNRETURNRETURNRETURN第73页/共108页743.5 3.5 3.5 3.5 力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化力学量期望值随时间的变化 守恒定律守恒定律守恒定律守恒定律 一、力学量的期望值随时间的变化一、力学量的期望值随时间的变化一、力学量的期望值随时间的变化一

35、、力学量的期望值随时间的变化 量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一量子力学中，处于一定状态下的体系，在每一时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是时刻，不是所有的力学量都具有确定的值，而只是具有确定的期望值及概率分布。具有确定的期望值及概率分布。力学量力学量F的期望值的期望值力学量力学量F F的期望值随时间的变化率的期望值随时间的变化率 第74页/共108页75注意到注意到则有则有即即第75页/共108页76力学量期望值随时间的变化率力学量期望值随时间的变化率守恒量的特点：守恒量的特点：力学量期望值不随时间变化，力学量期望值不随时间变化，。0=dtFd力学量的可能测量值的概率分布不随时

36、间变化。力学量的可能测量值的概率分布不随时间变化。注：若注：若 不显含不显含t,t,且且 ,则则 称为体系称为体系 的守恒量。的守恒量。0,=HF FF第76页/共108页77如：如：如：如：（i i i i）自由粒子动量）自由粒子动量）自由粒子动量）自由粒子动量动量守恒动量守恒动量守恒动量守恒 （iiiiiiii）粒子在中心力场中运动的角动量）粒子在中心力场中运动的角动量）粒子在中心力场中运动的角动量）粒子在中心力场中运动的角动量 同理同理由于由于故故由于由于故故第77页/共108页78所以所以 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律 （iiiiiiiiiiii）哈密顿不显

37、含时间的体系的能量）哈密顿不显含时间的体系的能量）哈密顿不显含时间的体系的能量）哈密顿不显含时间的体系的能量 能量守恒能量守恒能量守恒能量守恒 由于由于RETURNRETURNRETURNRETURN第78页/共108页79二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系二、守恒量与对称性的关系 设线性变换设线性变换Q（存在逆变换（存在逆变换 ，不依赖于时间），不依赖于时间）1-Q若若 与与 满足同样形式的运动方程，即满足同样形式的运动方程，即 称体系具有称体系具有Q变换不变性。变换不变性。设体系状态为设体系状态为 ,满足满足 第79页/共108页80左乘左乘 1-Q则

38、则 即即 或或 考虑到概率守恒考虑到概率守恒 变换变换Q应为应为幺正变换幺正变换。即体系在即体系在Q变换下具有不变性变换下具有不变性,则要求则要求 。0,=HQ 因为因为第80页/共108页81对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。对于有限变换，可通过无穷小的变换来实现。令令 （，e e 是描述无穷小变换的参量），是描述无穷小变换的参量），因为因为+0e e为厄米算符，称为变换为厄米算符，称为变换Q的无穷小变换算符。的无穷小变换算符。F F 则有则有 就是体系的一个守恒量，是与变换就是体系的一个守恒量，是与变换Q相相联系的可观测量。联系的可观测量。F第81页/共108页821.1.空间平移不

39、变性空间平移不变性 设体系具有平移不变性，设体系具有平移不变性，其中平移变换：其中平移变换：显然显然即具有空间平移不变性的体系动量守恒。即具有空间平移不变性的体系动量守恒。故故第82页/共108页832.2.空间旋转不变性空间旋转不变性 设体系具有空间旋转不变性设体系具有空间旋转不变性 其中转动变换：其中转动变换：具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。具有空间旋转不变性的体系角动量守恒。显然显然RETURNRETURNRETURNRETURN第83页/共108页843.6 3.6 3.6 3.6 中心力场问题中心力场问题中心力场问题中心力场问题氢原子氢原子氢原子氢原子一、中心力场中的薛定谔方程一

40、、中心力场中的薛定谔方程一、中心力场中的薛定谔方程一、中心力场中的薛定谔方程二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）RETURNRETURNRETURNRETURN第84页/共108页853.6 3.6 3.6 3.6 中心力场问题中心力场问题中心力场问题中心力场问题氢原子氢原子氢原子氢原子一、中心力场中的薛定谔方程一、中心力场中的薛定谔方程一、中心力场中的薛定谔方程一、中心力场中的薛定谔方程设粒子质量为设粒子质量为m,中心力场中心力场 定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：在球坐标系中在球坐标系中 令令 第85页/共108页86代入薛定谔方程，两端除

41、以代入薛定谔方程，两端除以 ,得得 222rm-h hR(r)Y(,)即即由由 解得解得第86页/共108页87径向方程：径向方程：令令 ,则径向方程为则径向方程为 径向函数满足：零点条件径向函数满足：零点条件 给定中心力场给定中心力场U(r)(r)的具体形式的具体形式 ，则可求，则可求得径向函数及波函数和中心力场问题的能级得径向函数及波函数和中心力场问题的能级E。RETURNRETURNRETURNRETURN第87页/共108页88二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）二、氢原子（类氢离子）氢原子（类氢离子）中电子处于库仑势场中氢原子（类氢离子）中电子处于库仑势

42、场中运动，库仑势场为中心力场。运动，库仑势场为中心力场。电子运动满足的径向方程电子运动满足的径向方程 设设E00（束缚态），令（束缚态），令 则原方程化简为则原方程化简为 第88页/共108页89另当另当0 0时，时，方程化为欧拉方程，方程化为欧拉方程，考察方程的渐近行为：当考察方程的渐近行为：当时，方程变为时，方程变为注意到波函数的有限性注意到波函数的有限性,方程的解取为方程的解取为其解可取为其解可取为代入欧拉方程可得代入欧拉方程可得 ,取取 ,则可则可设径向方程的一般解为设径向方程的一般解为第89页/共108页90代入径向方程代入径向方程,可知可知f()满足合流超几何方程满足合流超几何方程

43、该方程的解为合流超几何函数该方程的解为合流超几何函数由于当由于当时时:f(),u(,u(),则须使合则须使合流超几何函数中断为合流超几何多项式，才能使流超几何函数中断为合流超几何多项式，才能使其满足物理上的要求。令其中断项数为其满足物理上的要求。令其中断项数为即即n称为主量子数。称为主量子数。所以所以第90页/共108页91故，能量本征值故，能量本征值注意到注意到其中其中 是氢原子第一玻尔半径。是氢原子第一玻尔半径。径向函数径向函数第91页/共108页92由归一化条件由归一化条件得归一化常数得归一化常数能量本征函数能量本征函数 能量本征值能量本征值氢原子：氢原子：Z=1 Z=1 第92页/共1

44、08页93讨论：讨论：讨论：讨论：1.1.氢原子（氢原子（Z=1=1）能量本征函数能量本征函数 能量本征值能量本征值基态：基态：n=1 n=1 电离态：电离态：n=电离能：电离能：2.2.氢原子光谱氢原子光谱 EiEf 第93页/共108页94126534莱曼系莱曼系（紫外区）（紫外区）巴耳末系巴耳末系(可见区可见区)帕邢系（红外区）帕邢系（红外区）布拉开系（红外区）布拉开系（红外区）氢原子能级图13.6 eV3.39 eV1.81 eV0.85 eVEnl主量子数主量子数 n由能级算出由能级算出的光谱线频的光谱线频率和实验结率和实验结果完全一致果完全一致第94页/共108页95红蓝紫656.

45、28 nm434.0.5 nm486.13 nm氢原子的可见光光谱：氢原子的可见光光谱：埃格斯特朗埃格斯特朗埃格斯特朗埃格斯特朗 （A.J.AngstromA.J.Angstrom）瑞瑞瑞瑞 典典典典 18531853年测得氢可见光年测得氢可见光年测得氢可见光年测得氢可见光光谱的红线光谱的红线光谱的红线光谱的红线,波长的单位埃波长的单位埃波长的单位埃波长的单位埃(1(1=10=10 nm)nm)由此得来。由此得来。由此得来。由此得来。第95页/共108页963.3.电子的径向概率分布电子的径向概率分布 电子出现在（电子出现在（r r+dr）的球壳层内的概率）的球壳层内的概率 rdr基态基态：n

46、=1,l=0 玻尔半径玻尔半径w 100 1第96页/共108页97激发态：激发态：激发态：激发态：w21w200 4w32w31w300 9n=2,l=0,1对对 l=1 的电子的电子 概率最大概率最大22240arr=0an=3,l=0,1,2对对 l=2 的电子的电子 概率最大概率最大233rr=0a第97页/共108页984 4电子的角向概率分布电子的角向概率分布 电子出现在电子出现在(,)方向立体角方向立体角d d 内的概内的概率率各向同性球各向同性球对称对称 zy41|),(|200=qYl=0,m=0第98页/共108页99zy zy RETURNRETURNRETURNRETU

47、RN第99页/共108页100利用级数方法求解。令利用级数方法求解。令 代入径向方程，解得代入径向方程，解得 s=s=l+1,(s=-+1,(s=-l舍去）舍去）.展开系数展开系数 的递推公式为的递推公式为 b 设设 ,原径向方程化为原径向方程化为 附：氢原子附：氢原子径向方程另一种级数解法（原教材）径向方程另一种级数解法（原教材）由由 第100页/共108页101注意到展开系数注意到展开系数 ,()fr rer r与与 的行为相同，的行为相同，为得到符合物理要求的有限解为得到符合物理要求的有限解,令令f 级数在某项中断，级数在某项中断，设中断系数为设中断系数为 ,则则 rnb b=即有即有

48、所以，氢原子的能量所以，氢原子的能量 n 称为主量子数，称为主量子数，称为径向量子数称为径向量子数,l 称为轨道量称为轨道量子数。子数。rn第101页/共108页102根据展开系数递推公式可得根据展开系数递推公式可得 b由归一化条件确定，由归一化条件确定，为缔合拉盖尔多项式为缔合拉盖尔多项式 2l+1()n+lLr r所以，径向函数所以，径向函数 由径向函数归一化条件：由径向函数归一化条件：得得 第102页/共108页103能量本征函数能量本征函数 能量本征值能量本征值RETURNRETURNRETURNRETURN第103页/共108页1043.7 3.7 3.7 3.7 例题例题例题例题

49、例题例题 证明算符展开式（证明算符展开式（Baker Hausdoff)解解 引入参变量引入参变量的函数，并在的函数，并在=0=0处作泰勒展开处作泰勒展开第104页/共108页105故故第105页/共108页106 解解 例题例题 能级能级E有有3 3个简并态个简并态 ,彼此线性独彼此线性独 立，但不正交。试把它们构成正交、归一的立，但不正交。试把它们构成正交、归一的 波函数。波函数。记记对对 归一化，即有归一化，即有利用利用 与与 构成构成 设设由正交条件由正交条件所以所以第106页/共108页107于是于是故故令令 由正交条件由正交条件于是于是此方法称为施密特正交化方法。此方法称为施密特正交化方法。RETURNRETURNRETURNRETURN第107页/共108页108感谢您的观看！第108页/共108页