微积分(下)总复习.pptx

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1、 第八章 多元函数微分学 1、第二节 四小节 偏导数在经济分析中的应用不考2、第三节 二小节 全微分在近似计算中的应用不考3、第五节 二小节 方程组的情形不考4、第七节 最小二乘法不考 第九章 二重积分 第二节 三小节 无界区域上的反常二重积分不考 第1页/共145页 第十章 微分方程与差分方程1、第二节 四小节 一阶微分方程的平衡解及其稳定性简介不考2、第三节不考3、第六节至第九节不考 第十一章 无穷级数 1、第四节 一小节 函数的泰勒级数 三小节 函数展成泰勒级数的间接方法不考2、第五节不考 第2页/共145页 高等数学高等数学IIIIII（微积分）（微积分）(下）下）总复习总复习 第3页

2、/共145页第六章第六章 定积分及其应用定积分及其应用第4页/共145页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容第5页/共145页微微 元元 法法理理 论论 依依 据据名名称称释释译译所所求求量量的的特特点点解解 题题 步步 骤骤定积分应用中的常用公式定积分应用中的常用公式第6页/共145页2.可积的两个充分条件：定理1定理21.1.定积分的定义定积分的定义第7页/共145页3.3.定积

3、分的性质定积分的性质性质1性质2性质3第8页/共145页性质5推论：（1）（2）性质4第9页/共145页性质7(定积分中值定理)性质6积分中值公式第10页/共145页4.4.牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理1定理2（原函数存在定理）第11页/共145页第12页/共145页定理 3（微积分基本公式）也可写成牛顿莱布尼茨公式第13页/共145页5.5.定积分的计算法定积分的计算法换元公式（1）换元法（2）分部积分法分部积分公式第14页/共145页.)()(:)()(方法称微元法计算积分或原函数的这种取微元积分的无限积累到从就是其微分所求总量理论依据：dxxfdxxfUbadxxfdUUba=6

4、.6.微元法理论依据微元法理论依据第15页/共145页解题步骤解题步骤第16页/共145页7.7.定积分应用的常用公式定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积直角坐标情形第17页/共145页(2)体积xyo第18页/共145页平行截面面积为已知的立体的体积第19页/共145页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解1.1.变上限函数求导答答问问第20页/共145页例例2 2解解2.2.定积分计算第21页/共145页例例3 3解解第22页/共145页例例4 4解解是偶函数,第23页/共145页例例5 5 由由 1.1.求其所围成的图形的面积.所围的平面图形如图所示0 xy12.2.它绕它绕x轴旋转

5、而成的轴旋转而成的 旋转体体积旋转体体积第24页/共145页解解1.2.第25页/共145页第26页/共145页奇函数计算解解原式偶函数单位圆的面积第27页/共145页例例7 7 计算解解第28页/共145页第七章第七章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何第29页/共145页1、空间曲线方程的概念 空间曲线可以看作两个曲面的交线.设曲线是曲面S1与S2的交线,因此,曲线可以用上述方程组来表示。上述方程组叫做空间曲线的一般方程。则点P在曲线上当且仅当点P的坐标满足方程组S1 F1(x,y,z)=0,S2 F2(x,y,z)=0,而曲面的方程分别为S1S2F1(x,y,z)=0,F2(x

6、,y,z)=0,第30页/共145页抛物柱面平面(Cylinder of the second order parabolic)2、柱面柱面(cylinder)第31页/共145页从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 母线/轴双曲柱面 母线/轴抛物柱面 母线/轴第32页/共145页旋转过程中的特征：如图将 代入3 3、旋转曲面、旋转曲面(surfaces of revolution)第33页/共145页将 代入得方程第34页/共145页例例1 1 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程旋转双曲面(hyperboloid)第35页/共145页旋转椭球面旋转抛物面(E

7、llipsoid)(Paraboloid )第36页/共145页消去变量z后得：曲线关于 的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：4、空间曲线在坐标面上的投影第37页/共145页如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第38页/共145页类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的投影曲线投影曲线,面上的投影曲线投影曲线,空间曲线在 面上的投影曲线投影曲线第39页/共145页截线方程为解解如图,第40页/共145页第41页/共145页第八章第八章 多元函数微分学多元函数微分学第42页/共145页平面点集平面点

8、集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念一、主要内容一、主要内容第43页/共145页全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性偏导数在偏导数在经济上的应用经济上的应用多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念第44页/共145页1.1.区域区域（1）邻域2.2.多元函数概念多元函数概念第45页/共145页3.3.多元函数的极限多元函数的极限第46页/共1

9、45页说明：（1）定义中 的方式是任意的；（2）二元函数的极限也叫二重极限（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似4.4.极限的运算极限的运算第47页/共145页5.5.多元函数的连续性多元函数的连续性第48页/共145页6.6.闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值（2）最大值和最小值定理（1）有界性定理 有界闭区域有界闭区域D D上的多元连续函数是上的多元连续函数是D D上的上的有界函数有界函数 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如果上的多元连续函

10、数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次（3）介值定理第49页/共145页7.7.偏导数概念偏导数概念第50页/共145页第51页/共145页第52页/共145页8.8.高阶偏导数高阶偏导数纯偏导混合偏导定义定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数导数.第53页/共145页9.9.全微分概念全微分概念第54页/共145页多元函数连续、可导、可微的关系多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导第55页/共145页10.10

11、.复合函数求导法则复合函数求导法则以上公式中的导数 称为全导数全导数.第56页/共145页第57页/共145页隐函数的求导公式11.11.隐函数的求导法则隐函数的求导法则第58页/共145页第59页/共145页12.12.多元函数的极值多元函数的极值定义定义第60页/共145页多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件 定义定义一阶偏导数同时为零的点，均称为多元函数的驻点驻点.极值点注意注意驻点第61页/共145页第62页/共145页第63页/共145页条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值第64页/共145页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第65页/共145页例例2 2解解第66

12、页/共145页解解第67页/共145页解解第68页/共145页解解所求全微分第69页/共145页例例5 5解解分析:第70页/共145页得第71页/共145页第72页/共145页第九章第九章 重重 积积 分分第73页/共145页定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法二二重重积积分分一、主要内容一、主要内容第74页/共145页.二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值1.1.二重积分的定义二重积分的定义第75页/共145页性质性质当 为常数时，性质性质.二重积分的性质二重积分的性质第76页/共145页性质

13、性质对区域具有可加性性质性质若 为D的面积性质性质若在D上，特殊地第77页/共145页性质性质性质性质（二重积分中值定理）第78页/共145页.二重积分的计算二重积分的计算X型 X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.（）直角坐标系下第79页/共145页 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型第80页/共145页（）极坐标系下第81页/共145页第82页/共145页5.5.二重积分的几何应用二重积分的几何应用（）计算平面图形的面积（2）计算曲顶柱体的体积或可分解为两个或多个曲顶柱体的体积的之差或之和的空间体的体积第83页/

14、共145页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第84页/共145页例例2 2解解 先去掉绝对值符号，如图第85页/共145页例例3 3解解第86页/共145页第87页/共145页例例4 4解解第88页/共145页第十章微分方程第十章微分方程第89页/共145页基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构相关定理相关定理二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其

15、的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程微分方程第90页/共145页微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法变量代换法变量代换法常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法降降降降阶阶阶阶作作变变换换第91页/共145页1.1.微分方程基本概念微分方程基本概念微分方程微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程的解微分方程的解通解通解特解特解初始条件初始条件初值问题初值问题第92页/共145页(1)可分离变量的微分方程解法解法分离变量法2.2.一阶微分方程的解法一阶

16、微分方程的解法(2)齐次方程解法解法作变量代换第93页/共145页(3)一阶线性微分方程上述方程称为齐次的上述方程称为非齐次的.齐次方程的通解为（用分离变量法）非齐次微分方程的通解为（用常数变易法）第94页/共145页3.3.可降阶的高阶微分方程的解法可降阶的高阶微分方程的解法解法解法特点特点 型型接连积分n次，得通解 型型解法解法代入原方程,得第95页/共145页特点特点 型型解法解法代入原方程,得.线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构:第96页/共145页（2 2）二阶非齐次线性方程解的结构:第97页/共145页第98页/共145页.二阶常系数齐次线性方程

17、解法二阶常系数齐次线性方程解法n阶常系数线性微分方程二阶常系数齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.第99页/共145页特征方程为第100页/共145页.二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法解法待定系数法.第101页/共145页第102页/共145页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解原方程可化为第103页/共145页代入原方程得分离变量两边积分所求通解为第104页/共145页解解例例2 2第一步，求相应的齐次方程的通解第一步，求相应的齐次方程的通解.2的通解求方程

18、xxydxdy=-第105页/共145页解解例例2 2第二步，常数变易法求非齐次方程的通解第二步，常数变易法求非齐次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第106页/共145页例例3 3解解代入方程，得故方程的通解为第107页/共145页例例4 4解解特征方程特征根对应的齐次方程的通解为设原方程的特解为第108页/共145页原方程的一个特解为故原方程的通解为第109页/共145页由解得所以原方程满足初始条件的特解为第110页/共145页例例5 5解解特征方程特征根对应的齐方的通解为设原方程的特解为第111页/共145页由解得第112页/共145页故原方程的通解为由即第113页/共145页

19、例例6 6解解（）由题设可得：解此方程组，得第114页/共145页（）原方程为由解的结构定理得方程的通解为第115页/共145页第十一章第十一章 无穷级数无穷级数第116页/共145页常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数正正项项级级数数交交错错级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数一一般般项项级级数数泰勒级数泰勒级数在收敛 级数与数条件下 相互转化 一、主要内容一、主要内容第117页/共145页1.1.常数项级数常数项级数级数的部分和级数的部分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散第118页/共145页性质性质1 1:级数的每一项同

20、乘一个不为零的常数,敛散性不变.性质性质2 2:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质性质3 3:在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质性质4 4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质第119页/共145页常数项级数审敛法：正项级数交错级数一般项级数 1.若 则级数收敛.2.当 的极限不为零，则级数发散.3.按基本性质 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.莱布尼茨 定理4.绝对收敛第120页/共145页定义定义2.2.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法第121页

21、/共145页(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式第122页/共145页第123页/共145页定义定义 正 、负项相间的级数称为交错级数.3.3.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法第124页/共145页定义定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.4.4.任意项级数及其审敛法任意项级数及其审敛法第125页/共145页5.5.函数项级数函数项级数(1)(1)定义定义(2)(2)收敛点与收敛域收敛点与收敛域第126页/共145页(3)(3)和函数和函数第127页/共145页(1)(1)定义定义6.6.幂级数幂级数第128页/共145页(2)(2)收敛性收敛性第129页/共145

22、页推论推论第130页/共145页定义定义:正数R称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的收敛区间.开区间第131页/共145页a.a.代数运算性质:加减法加减法(其中(3)(3)幂级数的运算幂级数的运算第132页/共145页乘法乘法(其中第133页/共145页b.b.和函数的分析运算性质:第134页/共145页二、典型例题二、典型例题例例1 1解解第135页/共145页根据级数收敛的必要条件，原级数发散第136页/共145页解解根据比较判别法，原级数收敛第137页/共145页解解从而有第138页/共145页原级数收敛；原级数发散；原级数也发散第139页/共145页例例解解即原级数非绝对收敛第140页/共145页由莱布尼茨定理：第141页/共145页所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛第142页/共145页例例解解两边逐项积分第143页/共145页第144页/共145页感谢您的观看！第145页/共145页