不定积分有理函数积分.pptx

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1、一、一、有理函数的积有理函数的积分分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共25页例例1.将下列真分式分解为部分分式将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共25页(2)用数值代入法用数值代入法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 当分母仅有单根时更有效！第3页/共25页(3)混合法混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=第4页/共25页四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为

2、再分项积分 第5页/共25页例例2.求求解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共25页例例3.求求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共25页例例4.求求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.第8页/共25页例例5.求求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共25页常规 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求求解:原式注意本题技巧按常规方法较繁第10页/共25页二二、可化为有理函数的积分举、可化为有理函数的积分举例例设表示三角函数有理式,令

3、万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分则第11页/共25页例例7.求求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共25页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共25页例例8.求求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共25页例例9.求求令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共25页例例10.求求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共25页2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理

4、函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令第17页/共25页例例11.求求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共25页例例12.求求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共25页例例13.求求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共25页内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,第21页/共25页思考与练习思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共25页备用题备用题 1.求不定积分解：令则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.第23页/共25页2.求不定积求不定积分分解：原式=前式令;后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页