《高等数学教学课件》04导数.ppt

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1、西南财经大学西南财经大学经济数学学院经济数学学院孙疆明孙疆明高等数学高等数学精精国国保保第八讲第八讲 导数与微分导数与微分二、导数定义与性质二、导数定义与性质三、求导法则三、求导法则一、引言一、引言七、函数的微分七、函数的微分四、复合函数导数公式四、复合函数导数公式五、隐函数求导法五、隐函数求导法六、参数式求导法六、参数式求导法一、引言一、引言背景示例背景示例例例 运动物体的瞬时速度运动物体的瞬时速度设设质点沿质点沿x x轴作直线运动轴作直线运动,若己知其运动若己知其运动规律规律(路程与时间的函数关系路程与时间的函数关系)为为求在时刻求在时刻 的瞬时速度的瞬时速度.解解 如果极限如果极限存在存

2、在,这个极限值就是质点这个极限值就是质点在在瞬时瞬时t0 速度速度.例例 曲线的切线斜率问题曲线的切线斜率问题 什麽是曲线的切线？什麽是曲线的切线？例例 增长率问题增长率问题.经营资产要随时间增值经营资产要随时间增值.若增值函数为若增值函数为f(t),银行利率为银行利率为r,应该采用何种经营策略？应该采用何种经营策略？银行利率银行利率单位资产在单位资产在单位时间内增值额单位时间内增值额.单位资产在单位时间内增值额单位资产在单位时间内增值额增长率增长率.经营策略：增长率与银行利率比较，高则经营资经营策略：增长率与银行利率比较，高则经营资产；低则卖出存银行产；低则卖出存银行.如何计算变总值增长率？

3、如何计算变总值增长率？例例 生产决策问题生产决策问题.商品的生产销售中商品的生产销售中,随着产量增加成本在不断随着产量增加成本在不断增加增加;而产量增加市场投放量也增加而产量增加市场投放量也增加,要保证需求要保证需求也增加也增加,价格就可能下降价格就可能下降,尽管销售收入也可能增尽管销售收入也可能增加加,但是利润是否会增加？但是利润是否会增加？二、导数定义与性质二、导数定义与性质1.导数定义导数定义注意变量符号选择的任意性注意变量符号选择的任意性,有有 导数的等价定义：导数的等价定义：2.导函数定义导函数定义2.导数的意义导数的意义物理意义物理意义几何意义几何意义 一般地，导数是函数在一点的变

4、化率一般地，导数是函数在一点的变化率自变量每增一单位自变量每增一单位,函数能增加的量函数能增加的量.例例:不均匀杆密度不均匀杆密度线密度线密度(单位长质量单位长质量)5.可导与连续的关系：可导与连续的关系：定理：定理：证证注意注意 可导必连续可导必连续,连续不一定可导！连续不一定可导！求导函数例子求导函数例子基本初等函数基本初等函数导数公式导数公式解解解解解解解解解解解解解解如何求初等函数函数的导数？如何求初等函数函数的导数？其他导数公式其他导数公式导数运算法则导数运算法则基本初等函数基本初等函数初等函数初等函数四则四则复合复合反函数反函数隐函数隐函数参数式参数式三、求导法则三、求导法则1.四

5、则运算求导法则四则运算求导法则证证 (3)可导必连续可导必连续解解解解解解2.反函数求导法则反函数求导法则解解由反函数由反函数求导法则求导法则3、复合函数导数公式、复合函数导数公式 证证 证明有没有问题？证明有没有问题？证证(1)式仍然成立！式仍然成立！解解基本导数公式基本导数公式解解解解解解解解二、高阶导数二、高阶导数（一）高阶导数定义（一）高阶导数定义二阶导数的物理意义二阶导数的物理意义 二阶及以上导数统称为高阶导数二阶及以上导数统称为高阶导数.f(x)也也称称0阶阶.解解用归纳法可以证明用归纳法可以证明用数学归纳法可以证明用数学归纳法可以证明解解解解用数学归纳法用数学归纳法类似可得类似可

6、得（二）高阶导数公式（二）高阶导数公式解解三三 隐函数求导法隐函数求导法定义：（隐函数）定义：（隐函数）隐函数求导问题的提法隐函数求导问题的提法 隐函数求导法隐函数求导法解解解解解解两边取对数两边取对数,得得对数求导法对数求导法化为隐函数化为隐函数再应用复合函数微分法（链式法则）再应用复合函数微分法（链式法则）方法二方法二:利用对数微分法利用对数微分法方法一方法一:解解（四）（四）参数式求导法参数式求导法分析函数关系分析函数关系:利用复合函数和反函数微分法利用复合函数和反函数微分法,得得解解解解小结小结 导数计算导数计算函数的微分函数的微分 导数是从函数相对自变量变化的速度导数是从函数相对自变

7、量变化的速度来研究来研究;而微分则是直接研究函数的增量而微分则是直接研究函数的增量(改变量改变量)，这有许多方便之处。，这有许多方便之处。（一）函数的微分的定义（一）函数的微分的定义（二）微分的基本性质（二）微分的基本性质证证 (1)性质性质2:微分的几何意义微分的几何意义微分三角形微分三角形（三）微分公式（三）微分公式故故微分运算法则微分运算法则 解解（二）微分的形式不变性（二）微分的形式不变性(复合函数微分法则复合函数微分法则)小结小结2 2：几个概念之间的关系：几个概念之间的关系连连续续可可微微可微可微可导可导连连续续极极限限存存在在有定义有定义解解振荡振荡不存在不存在！返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回返回解解