高二数学下学期4月阶段性测试试题（三）理（含解析）.doc

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1、- 1 - / 20【2019【2019 最新最新】精选高二数学下学期精选高二数学下学期 4 4 月阶段性测试试题（三）月阶段性测试试题（三）理（含解析）理（含解析）第第卷（共卷（共 6060 分）分）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1212 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 6060 分分. .在每小题给在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. .1. 若的实部与虚部相等，则实数（ ）A. -2 B. C. 2 D. 3【答案】B【解析】分析：首先将所给的复数利用四则运算法则进行计算，然后结合实部虚部的表达形

2、式得到关于实数 a 的方程，解方程即可求得实数 a 的值.详解：由题意可得：，该复数的实部与虚部相等，则：，求解关于实数 a 的方程可得：.本题选择 B 选项.点睛：复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程(或不等式).由于复数无大小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化.2. 对于小于 41 的自然数，积等于（ ）A. B. C. D. - 2 - / 20【答案】A【解析】分析：利用排列数、组合数公式逐项写出所给算式的表达形式，结合题意选择符合题意的选项即可.详解：由排列数公式可知：，；本题选择 A 选项.点睛：排列数、组合数公式是

3、高中的基础公式，熟练掌握：(1)排列数公式；(2)组合数公式，这是正确计算的关键3. 若 (为虚数单位)，则使的值可能是（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先计算的结果，结合所得的结果分别令实部、虚部相等，得到关于的三角方程，求解三角方程即可求得的值.详解：由题意可得：，结合可得：，对比选项可知：.本题选择 B 选项.点睛：复数的基本概念和复数相等的充要条件是复数内容的基础，高考中常常与复数的运算相结合进行考查，一般属于简单题范畴.4. 若函数有极大值点和极小值点，则导函数的大致图象可能为（ ）- 3 - / 20A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：首先确定

4、所给函数的导函数为是，然后结合函数的极值确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定函数的大致图象.详解：三次函数的导函数为二次函数，其图象与轴有两个交点，结合函数的极值可知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；则导函数在区间上为正数，在区间上为负数，在区间上为正数；观察所给的函数图象可知，只有 C 选项符合题意.本题选择 C 选项.点睛：(1)可导函数 yf(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在 x0 左侧与右侧 f(x)的符号不同(2)若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值5.

5、用反证法证明命题“等腰三角形的底角必是锐角”,下列假设正确- 4 - / 20的是（ ）A. 等腰三角形的顶角不是锐角 B. 等腰三角形的底角为直角C. 等腰三角形的底角为钝角 D. 等腰三角形的底角为直角或钝角【答案】D【解析】分析：反证法的假设需要写出命题的反面，结合题意写出所给命题的反面即可.详解：反证法的假设需要写出命题的反面.“底角必是锐角”的反面是“底角不是锐角” ，即底角为直角或钝角.本题选择 D 选项.点睛：应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；

6、与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.6. 某科技小组有 6 名同学，现从中选出 3 人去参观展览，至少有 1名女生入选的不同选法有 16 种，则小组中的女生人数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A【解析】分析：设有女生 x 人，结合题意得到关于女生人数的组合方程，求解关于 x 的方程即可确定女生人数.详解：设有女生 x 人，则有男生 6-x 人，于是有，即（6-x)（5-x)（4-x)=24，整理可得：，- 5 - / 20解得 x=2.本题选择 A 选项.点睛：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含

7、” ，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解7. 观察下面的三个图形，根据前两个图形的规律，可知第三个图中（ ）A. 9 B. 60 C. 120 D. 100【答案】D【解析】分析：由题意，观察分析前两个圆中内部数据和外部数据的关系，归纳出数据的特点，然后求解实数的值即可.详解：由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的算术平方根的和：， ，据此可得：.解得：，所以“x”处该填的数字是 100.本题选择 D 选项.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推

8、理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，- 6 - / 20那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法8. 在的展开式中，称为项的次数，则所有次数为 3 的项的系数之和为（ ）A. 45 B. 60C. 120 D. 210【答案】C【解析】分析：由题意结合次数的定义和二项式定理展开式定理得到所有次数为 3 的项的系数的表达式，然后结合组合数计算公式即可求得系数的值.详解：由条件得，次数为 3 的项有，这些项的系数和为.本题选择 C 选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)

9、和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解9. 函数在上存在导数，若，则必有（ ）A. B. - 7 - / 20C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意结合不等式的性质确定导函数的符号，结合导函数的符号即可确定函数的单调性，最后，利用单调性即可确定题中不等式的符号.详解：，则 x1 时；x0，所以 s=t2+bt+1 在时单调递增，所以该质点的瞬时速度的最小值为 .点睛

10、：导数的几何意义为切线的斜率，曲线中切线斜率的物理意义为瞬时速度，据此结合函数的单调性即可确定速度的最小值，注意转化思想的应用.16. 图中共有_个矩形.【答案】45【解析】分析：结合图形进行分类，利用排列组合的性质求解每类中矩形的个数，然后利用加法原理即可求得图中矩形的个数.详解：如图所示，由排列组合知识可知，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，除去上面考虑过的情况，在矩形中，含有矩形的个数为，在矩形中，含有矩形的个数为，综上可得：图中矩形的个数为：.(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型

11、中，不同分组方法的求法三、解答题三、解答题: :共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. . 17. 设复数 （其中).（）若复数为纯虚数，求的值；- 13 - / 20（）若复数在复平面内对应的点在第二或第四象限，求实数的取值范围.【答案】 （） ；（）的取值范围是.【解析】分析：()复数为纯虚数，则实部为 0，虚部不为 0，据此可得：，解得；()由题意可知实部虚部符号相反，据此得到关于实数 a 的不等式组，求解不等式组可得实数的取值范围是.详解：（）因为复数为纯虚数，所以所以.（）因为对应的点在第二或第四象限，所以或解不等式组

12、得或，即的取值范围是.点睛：这个题目考查了复数问题，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为 0，也要求虚部不为 0.18. 已知二项式（）若，展开式中含项的系数为 960，求的值；（）若展开式中各项系数和为，且，求展开式的所有二项式系数之和.【答案】 （）2；（）32【解析】分析：（）由题意结合二项式展开式的通项公式可得，据此计算可得；- 14 - / 20（）由题意可得,据此可得，,则二项式系数之和为.详解：（）的展开式通项为，令，得，解得（）因为展开式中各项系数和为，所以,故或或，又因为，所以，,所以展开式的所有二

13、项式系数之和为.点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项19. 是否存在正整数，使得对任意正整数都能被 36 整除？若存在，求出的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】答案见解析【解析】分析：由题意计算可得， ， ，.猜想最小的正整数的值为 9，即.用数学归纳法讨论可知成立，假设时成立，可证得时成立，即可证得猜想成立.详

14、解：由，得， ，- 15 - / 20，.要使得对都能被 36 整除，最小的正整数的值为 9，由此猜想最小的正整数的值为 9，即.下面用数学归纳法证明：（1）当时，显然成立.（2）假设时，能被 36 整除，即能被 36 整除.当时， ，由于是 2 的倍数，故能被 36 整除.这就是说，当时，也能被 36 整除.由（1） （2）可知对一切正整数都有能被 36 整除，的最小值为 9.点睛：1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算 nn0 的 n

15、0 不一定为 1，而是根据题目要求选择合适的起始值第(2)步，证明 nk1 时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.20. 某商场根据销售某种商品的经验发现,该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为 5 元/干克时，每日可售出该商品 11 千克.（）求的值；- 16 - / 20（）若该商品的成本为 3 元/千克，则销售价格为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大？【答案】 （）2；（）当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.【解析】试题分析：（）由题意可得时， ，代入函数解析式

16、可得的值；（） 根据利润等于销量乘以销售价格与成本的差，列函数关系式（三次函数） ，利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.试题解析：解：（）因为时， ，所以，故（）由（）可知，该商品每日的销售量所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而于是，当变化时，的变化情况如下表：由上表可得，是函数在区间内的极大值点，也是最大值点.所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于 42答：当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.视频21. 对于函数，设是函数的导数是的导数，若方有实数解，则称点为函数的“拐点”.（）证明：三次函数的拐点是其图象的对称中心(提示：可将函数化为的形式)-

17、 17 - / 20（）若设，计算的值.【答案】 （）见解析；（）4035【解析】分析：（）由题意结合拐点的定义可得的拐点为.据此计算可得的图象可由的图象按向量平移得到，则图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（）由题意结合()的结论可得的拐点即的对称中心为.据此倒序相加可得.详解：（）对于三次函数， ，令，得.又，所以的拐点为.因为则的图象可由的图象按向量平移得到，而是奇函数，图象关于点对称，所以图象关于点对称.即三次函数的拐点是其图象的对称中心.（）由题意得，所以，令，得，- 18 - / 20所以的拐点为点，即的对称中心为.所以，若，则，令则所以，所以，所以，即.点睛：求和

18、的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和22. 设， ，其中.（）证明；（）设函数，若在上单调递增，求的值.【答案】 （）见解析；（）2【解析】分析：（）构造函数，则，讨论可得的最小值为，故成立.（）构造函数.由题意可得在上恒成立.二次求导可知的最小值为.故.构造函数，则在上递增，在上递减，据此计算可得.- 19 - / 20详解：（）令，所以，所以在上单调递增，且易知当时， ，当时， ，所以的最小值为，所以成立.（）由题意得.则.易知当或时，均有.因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.的导函数，令，得，当时， ，递减；当时， ，递增.则的最小值为.所以.令，则，则在上递增，在上递减，所以，当且仅当时取等号.所以.- 20 - / 20.