高中数学一轮复习基础知识手册第十三篇：几何证明选讲.pdf

《高中数学一轮复习基础知识手册第十三篇：几何证明选讲.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学一轮复习基础知识手册第十三篇：几何证明选讲.pdf（6页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十三篇几何证明选讲1理解相似三角形的定义与性质，掌握直线与圆的位置关系2会证明和应用以下定理（1）直角三角形的射影定理；（2）圆周角定理；（3）圆的切线的判定定理与性质定理；（4）相交弦定理；（5）圆内接四边形的性质定理与判定定理；（6）切割线定理.知识能力解读知能解读（一）相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：

2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例3相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的判定定义：对应角相对，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似相似三角形的判定定理判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述

3、为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边判定定理 3：对应任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似直角三角形相似的判定定理：a如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；b如果两个直角三角形的两条边对应成比例，那么它们相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（2）相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比

4、和对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比相似三角形面积的比等于相似比的平方结论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比对应相似比的平方相似三角形性质的作用：可用来证明线段成比例、角相等可间接证明线段相等可计算周长、特殊线段长4直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影与斜边的比例中项说明：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形两两相似，在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件知能解读（二）直线与圆的位置关系1圆周角定理（1）圆周角的概念顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角应满足两个条件：一是顶点

5、在圆上，二是两边都和圆相交，二者缺一不可（2）圆周角定理定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径（3）圆心角定理定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数2圆内接四边形的性质与判定定理（1）圆内接多边形的概念如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆任一个三角形都有外接圆，但任一个四边形并不一定有外接圆（2）圆内接四边形的性质定理 1：圆的内接四边形的对角互补定理 2：圆内接四边形的外角等于它的

6、内角的对角（3）圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3圆的切线的性质与判定定理（1）直线与圆的位置关系根据直线与圆的公共点个数可将直线与圆的位置关系划分为：直线与圆相交（两个公共点）、相切（一个公共点）和相离（没有公共点）直线与圆的位置关系的判定可通过比较圆心到直线的距离和圆的半径的大小来实现（2）圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（3）圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且

7、垂直于这条半径的直线是圆的切线（4）切线长定理定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角4弦切角（1）弦切角的概念顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角必须具备三个条件：顶点在圆上；一边是圆的切线；一边是过切点的弦 三者缺一不可（2）弦切角定理定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角5圆幂定理（1）相交弦定理定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等（2）割线定理定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（3）切割线定理定理：从圆外的一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的

8、两条线段长的比例中项解题方法荟萃数学思想方法思想方法（一）构造法通过添加辅助线构造相似三角形，证明或判断等式思想方法（二）中间量法思想方法（三）转化思想思想方法（四）判定两三角形相似的方法1定义法对应交相等，对应边成比例的两个三角形相似人体所示，若A A，B B，C C，ABBCCA，则ABCABCABBCCAAABCBC与三个角对应相等，三条件对应相等，两个三角形全等类似，定义法在计算和证明中一般用得较少2平行法平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似例如：如图，由ABCD，得ABODCOAOCBD3判定定理 1对应任意两个三角形，如果一个三角形的

9、两个角与另一个三季度的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简单地叙述为：两角对应相等，两三角形相似例如：如图所述，若A A，B B，则ABCABC4判定定理 2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 简单地叙述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 例如：如图所示，若ABAC，A A，则ABCABC A BA C5判定定理 3对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简单地叙述为：三边对应成比例，两三角形相似例如：如图所示，若ABACBC，则ABCABC A BA CB

10、 C6直角三角形相似的条件（1）以上定理都适用（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似例如：如图所示，在RtABC和RtABC中，C C90，由ABAC，可知RtABCRtABC A BA CAACB CB（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别和原直角三角形相似7相似三角形的判定定理的选择（1）已知有一角对应相等时，可选择判定定理1 或判定定理 2（2）已知有两边对应成比例时，可选择判定定理2 或判定定理 3（3）判定直角三角形相似时，首先看是否可以用判定直角三角形相似的方法来判定，如不能，再考虑用判定一般

11、三角形相似的方法来判定8相似三角形的基本图形（1）平行线型（如图）ADBEA交换AD与AEBCB交换AD与AEEECDBEDA绕A旋转CBAECDADC绕A旋转BAECD（2）射影型（如图）ABDC思想方法（五）判定四点共圆的常用方法判定四点共圆的常用方法（1）如果四个点与一定点的距离相等，那么这四个点共圆（2）如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆（3）如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆II解题规律技巧规律技巧（一）平行线分线段成比例定理的应用在利用平行线分线段成比例定理及推论解决问题时，常在复杂的图形中找出基本图形（有时需添加辅助线，构成基

12、本图形），借图解题规律技巧（二）三角形相似的应用由两个三角形相似可以解决的问题主要有以下几种：1求线段的长或长度的比先判定两个三角形相似，再由相似三角形的对应边成比例求边长或比值2判定或证明等积式或成比例线段利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式，这也是解决这类问题的基本方法 解决这类问题一般可分三步：（1）把等积式化为比例式，从而确定相关的两个三角形相似（2）确定两个相关的三角形的方法是：把比例式横看或者竖看，将两条线段中的相同字母消去一个，由余下的字母组成三角形（3）设法找到证明这两个三角形相似的条件3证明线段相等证明线段相等，一般方法是利用三角形中等角对等边或两个三角形全等及平行四边

13、形的对边相等来解决但有时用这些方法不容易得出，而是借助相似三角形来解答规律技巧（三）圆的切线的性质与判定的综合运用在解决有关圆的切线问题（无论是计算还是证明）时，通常需要添加辅助线一般地，添加辅助线有如下规律：（1）已知一条直线是圆的切线时，通常连接圆心和切点，这条半径垂直于切线（2）要证明某条直线是圆的切线时，若已知直线经过圆上的某一点，则需作出经过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径，简记为“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，得到垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记为“作垂直，证半径”规律技巧（四）弦切角定理及其推论的应用在运用弦切角时，首先应根据

14、弦切角的概念准确地找出弦切角，然后运用弦切角进行相关的计算、论证弦切角的运用主要体现在以下几个方面：证明角相等；证明直线平行；证明线段相等；证明三角形相似规律技巧（五）与圆有关的成比例线段问题解决与圆有关的成比例线段问题的一般思路：（1）直接应用相交弦定理、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明两个三角形相似，一般思路为“相似三角形比例式等积式”，在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握III易混易错辨析易混易错（一）因对元素不确定而引起错误易混易错（二）因忽视分类讨论而引起错误易混易错（三）因误用条件而引起错误易混易错（四）因忽视弦切

15、角定理的条件而引起错误易混易错（五）因定理结论记忆不清而引起错误高考命题研究相似三角形的判定和性质是选修课程的新内容，主要应用在几何题的证明、求值之中它可以和多个知识点综合出题，并以填空题、选择题或解答题等不同形式出现，但难度不大预测今后几年仍将作为课改地区的选考试题出现高考命题中，圆的切线、弦切角常与圆内接四边形、圆周角、相似三角形一起考查而圆内接四边形中的相交弦定理、切割线定理、切线长定理在解决圆中的几何证明、线段长度及角度的计算等问题时，有重要作用，成为命题的热点、重点预测今后高考中仍以这类问题的求解、证明为主，题目以选择题、填空题的形式考查线段长的计算，而以解答题、证明题来考查知识的综

16、合运用高考热点（一）相似三角形的判定及有关性质本热点主要考查评先选等分线段或平分线分线段成比例问题，相似三角形的判定及应用，相似三角形性质的应用，直角三角形射影定理的应用 其中运用相似三角形的性质解题的关键在于求出相似比在具体论证过程中，往往结合相似三角形的判定定理和性质定理，得到角相等或对应线段成比例，从而达到解决问题的目的高考热点（二）直线与圆的位置关系附录：常用公式定理常用定理及性质（1）平行截割定理平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上解得的线段相等，那么在其他直线上解得的线段也相等平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例（2）相似三角形的判定与性质相似三

17、角形的判定定理a两角对应相等，两三角形相似b两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似c三边对应成比例，两三角形相似相似三角形的性质定理a相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比b相似三角形周长的比等于相似比c相似三角形面积的比等于相似比的平方（3）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项（4）圆中有关的定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数切线的判定与性质定理a切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线b切线

18、的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项圆内接四边形的判定与性质定理a圆内接四边形的判定定理（i）如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆（ii）推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆b圆内接四边形的性质定理（i）圆的内接四边形的对角互补（ii）圆内接四边形的外角等于它的内角的对角