Borittq高一数学典型例题分析：等比数列的前n项和.pdf

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1、BorittqBorittq 高一数学典型例题分高一数学典型例题分析：等比数列的前析：等比数列的前 n n 项和项和七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，七夕，古今诗人惯咏星月与悲情。吾生虽晚，世态炎凉却已看透矣。情也成空，且作且作“挥手袖底风挥手袖底风”罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲尘缘，罢。是夜，窗外风雨如晦，吾独坐陋室，听一曲尘缘，合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。合成诗韵一首，觉放诸古今，亦独有风韵也。乃书于纸上。毕而卧。凄然入梦。乙酉年七月初七。乙酉年七月初七。-啸之记。啸之记。等比数列的前等比数列的前

2、n n 项和例题解析项和例题解析【例【例 1 1】设等比数列的首项为设等比数列的首项为 a(aa(a0)0)，公比为公比为 q(qq(q0)0)，前，前n n 项和为项和为 8080，其中最大，其中最大的一项为的一项为 5454，又它的前又它的前 2n2n 项和为项和为 65606560，求求a a 和和 q q解解由由 S Sn n=80=80，S S2n2n=6560=6560，故，故 q q1 1a(1 qn)1 q=802na(1 q)=65601 q qn=81a a0 0，q q1 1，等比数列为递增数列，等比数列为递增数列，故前故前 n n 项中最大项为项中最大项为 a an n

3、a an n=aq=aqn-1n-1=54=54将代入化简得将代入化简得 a=qa=q1 1化简得3a=2q由，联立方程组解得由，联立方程组解得 a=2a=2，q=3q=3【例2】【例2】求证：对于等比数列，有S S=S(S S)2n22nn2n3n证证S Sn n=a=a1 1a a1 1q qa a1 1q q2 2a a1 1q qn-1n-1S S2n2n=S=Sn n(a(a1 1q qn n a a1 1q qn+1n+1 a a1 1q q2n-12n-1)=S=Sn nq qn n(a(a1 1a a1 1q qa a1 1q qn-1n-1)=S=Sn nq qn nS Sn

4、 n=S=Sn n(1(1q qn n)类似地，可得类似地，可得 S S3n3n=S=Sn n(1(1q qn nq q2n2n)22n2S2n+S2n=SnSn(1q)=S(22q q2nn2n)Sn(S2nS3n)=SnSn(1qn)Sn(1qnq2n)n2n=S2n(22q q)2S2nS2n=Sn(S2nS3n)说明说明本题直接运用前本题直接运用前 n n项和公式去解，项和公式去解，也很容易也很容易 上边的解法，上边的解法，灵活地处理了灵活地处理了 S S2n2n、S S3n3n与与 S Sn n的关系介绍它的用意在于让读的关系介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、者体会利用结合律、提

5、取公因式等方法将某提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键，些解析式变形经常是解决数学问题的关键，并且变得好，则解法巧并且变得好，则解法巧【例【例 3 3】一个有穷的等比数列的首项为一个有穷的等比数列的首项为1 1，项数为偶数，其奇数项的和为，项数为偶数，其奇数项的和为 8585，偶数，偶数项的和为项的和为 170170，求这个数列的公比和项数，求这个数列的公比和项数分析分析设等比数列为设等比数列为aan n，公比为，公比为q q，取，取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列，公比为数列，公比为 q q2 2，首项分别为，首项分别为 a a

6、1 1，a a1 1q q解解设项数为设项数为 2n(n2n(nN*)N*)，因为，因为 a a1 1=1=1，由已知可得由已知可得 q q1 1a1(1q2n)=8521q2na1q(1q)=17021q得：q=2 把q=2代入14得=8514n4n=256 n=4即公比为即公比为 2 2，项数为，项数为 8 8说明说明运用等比数列前运用等比数列前 n n 项和公式进行项和公式进行运算、运算、推理时，推理时，对公比对公比 q q 要分情况讨论要分情况讨论有有关等比数列的问题所列出的方程关等比数列的问题所列出的方程(组组)往往有往往有高次与指数方程，高次与指数方程，可采用两式相除的方法达可采用

7、两式相除的方法达到降次的目的到降次的目的【例【例 4 4】选择题：在等比数列选择题：在等比数列aan n 中，中，已知对任意正整数已知对任意正整数 n n，有，有 S Sn n=2=2n n221，则a1a22an等于 1B(2n1)231D(4n1)3A(2n1)2C2n1解解D Da a1 1=S=S1 1=1=1，a an n=S=Sn nS Sn-1n-1=2=2n-1n-1a an n=2=2n-1n-1b bn n=(a=(an n)2 2=(2=(2n-1n-1)2 2=2=22n-22n-2=4=4n-1n-122b1b2bn=a1a2a22=14424n14n11n=(4 1

8、)4 13【例【例 5 5】设设 0 0V V1 1，mm 为正整数，求为正整数，求证：证：(2m(2m1)V1)Vmm(1(1V)V)1 1V V2m+12m+1分析分析直接作，不好下手变形：直接作，不好下手变形：1 V2m1(2m1)V 1 Vm右边分式的外形，使我们联想到等比数右边分式的外形，使我们联想到等比数列求和公式，于是有：列求和公式，于是有：(2m(2m1)V1)Vmm1 1V VV V2 2V V2m2m发现左边有发现左边有(2m(2m1)1)个个 V Vmm，右边有，右边有(2m(2m1)1)项，变形：项，变形：V VmmV VmmV Vmm1 1V VV V2 2V V2m

9、2m显然不能左右各取一项比较其大小，试显然不能左右各取一项比较其大小，试用“二对二”法，即左边选两项与右边的两用“二对二”法，即左边选两项与右边的两项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末项相比较鉴于左、右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点，等远的任意两项指数之和均相等”的特点，n n 项和，项和，并且并且 S Sn+1n+1=4a=4an n2(n2(nN*)N*)，a a1 1=1=1(1)(1)设设 b bn n=a=an+1n+12a2an n(n(nN*)N*)，求证：数，求证：数列列bbn n 是等比数列；是等比数列；a(2)设c=(nN*)，求证：数列c 是等差数

10、列2nnnn解解(1)(1)S Sn+1n+1=4a=4an n2 2S Sn+2n+2=4a=4an+1n+12 2两式相减，得两式相减，得S Sn+2n+2S Sn+1n+1=4a=4an+1n+1=4a=4an n(n(nN*)N*)即：即：a an+2n+2=4a=4an+1n+14a4an n变形，得变形，得 a an+2n+22a2an+1n+1=2(a=2(an+1n+12a2an n)b bn n=a=an+1n+12a2an n(n(nN*)N*)b bn+1n+1=2b=2bn n由此可知，由此可知，数列数列bbn n 是公比为是公比为 2 2 的等比数的等比数列列由由 S

11、 S2 2=a=a1 1a a2 2=4a=4a1 12 2，a a1 1=1=1可得可得 a a2 2=5=5，b b1 1=a=a2 22a2a1 1=3=3b bn n=3=32 2n-1n-1(2)cn=an(nN*)2na1anan1 2ancn+1 cnnn1n222n1bn=n+12将将 b bn n=3=32 2n-1n-1代入，得代入，得3cc=(nN*)4n+1n由此可知，数列cn是公差d=113，故cn=(n1)22431即：Cn=n 44a3的等差数列，它的首项c1=142说明说明利用题设的已知条件，通过合理利用题设的已知条件，通过合理的转换，的转换，将非等差、将非等差、非等比数列转化为等差非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决数列或等比数列来解决