数列极限第一节.pdf

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1、百度文库-好好学习，天天向上课课题题：数列的极限数列的极限时间：时间：20112011年年 9 9 月月 1313 日日授课班级：高二（授课班级：高二（8 8）（5 5）班）班一、教学内容分析一、教学内容分析极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为高等数学中其它重要的基本概念（如导数、微分、积分等）都是用极限概念来表述的，而且它们的运算和性质也要用极限的运算和性质来推导，所以，极限概念的掌握至关重要.二、教学目标设计二、教学目标设计1理解数列极限的概念，能初步根据数列极限的定义确定一些简单数列的极限.2观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辩证关系，提高的数学

2、概括能力、抽象思维能力和审美能力.三、教学重点及难点三、教学重点及难点重点：数列极限的概念以及简单数列的极限的求解.难点：数列极限的定义的理解.四、教学流程设计四、教学流程设计五、教学过程设计五、教学过程设计一、引入一、引入1 1、创设情境，引出课题、创设情境，引出课题数列的定义：简单的说，数列就是“一列数”，是有一定的规律，有一定次序性的“一列数”。若函数f的定义域为全体正整数集合N，则称f:N R或f(n),n N为数列。课堂小结并布置作业运用与深化(例题解析、巩固练习)概念符号实例引入几何理解数列的极限-1百度文库-好好学习，天天向上若记f(n)an，则数列f(n),n 1,2,n就可写

3、作为：a1,a2,an,，简记为an，其中an称为该数列的通项。数列的例子：(1)n11 1（1）:1,23 4n（3）n2:1,4,9,16,25,二、数列极限的概念：二、数列极限的概念：；（2）11111:2,1,1,1,n435；（4）1(1)n1:2,0,2,0,2,引言：对于这个问题，先看一个例子：古代哲学家庄周所著的庄子.天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。把每天截下的部分的长度列出如下（单位为尺）：第天截下下11 11111，第天截下2，第天截下23，第n天截22 222 22111n1n，2 22111 1：,2,3,n22 22,1,2n,.,得到一个数列：

4、1 1 12 4 81,.;这是一个无穷数列(万世不竭)2n不难看出，数列1 1 的通项随着 n 的无限增大而无限地接近于零。nn221.1.观察观察举例：极限的思想在我国古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数列：A 战国时代哲学家庄周著的庄子天下篇引用过一句话：一尺之棰一尺之棰 日取其半日取其半 万世不万世不竭竭.B 三国时的刘徽提出的“割圆求周”的方法。他把圆周分成三等分、六等分、十二等分、二十四等分 这样继续分割下去，所得多边形的周长就无限接近于圆的周长。割之弥

5、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。二、学习新课二、学习新课 2 2、观察归纳，形成概念、观察归纳，形成概念（1 1）直观认识）直观认识请同学们考察下列几个数列的变化趋势A.1111,2,3,n,10 101010-2百度文库-好好学习，天天向上“项”随n的增大而减小但都大于0当n无限增大时，相应的项常数 0B.1可以“无限趋近于”n101 2 3n,2 3 4n 1“项”随n的增大而增大但都小于 1n当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1n111(1)n,C.1,23n“项”的正负交错地排列，

6、并且随n的增大其绝对值减小(1)n当n无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数0n概念辨析概念辨析归纳数列极限的描述性定义：一般地，如果当项数一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列无限增大时，无穷数列an的项的项an无限趋近于无限趋近于某个常数某个常数a（即（即，那么就说数列，那么就说数列an以以a为极限，或者说为极限，或者说a是数列是数列an的极限记的极限记ana无限趋近于无限趋近于 0 0）作作liman a，读作“当，读作“当n趋向于无穷大时，趋向于无穷大时，an的极限等于的极限等于a”n“n”表示“”表示“n趋向于无穷大”趋向于无穷大”，即，即n无限增大的意思无限增大的意思lima

7、n a有时也记作：有时也记作：n当当n时，时，ana数列 1 的极限为 0，数列2 的极限为 1，数列 3 的极限为 0注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当n无限增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。有些数列为必存在极限，例如：an(1)n2或an n都没有极限。21(1)n例二下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？1an21(1)nnn132an 3an a(a R)4an(1)2n55an5 3解：解：1an：0,1,0,1,0,1,不存在极限 2an：2,0,0,0,极限为n2325-3百度文库-好好学习，天天向上03an：a,a,a,不存在极限 4an

8、：3,1,极限为 0233324n5 55 5 255an：,无限趋近于 0 数5先考察：3392781 列an的极限为5一、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：111111321682n420从图形容易看出，不论项数n 怎样大，永不为 0，只是 011的近似值，但当 n 无限增大时，数列n的项就无限趋近于 0。即当 n时，n0。22再看无穷数列：,，1011n11。10当项数无限增大时中的项无限趋近于1，即 n时1n10“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢？让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会：定义中的数列 an 是什么数列

9、？“存在一个常数 A”是什么意思？“无论预先指定多么小的正数”，这个具有什么特征？找出一项 aN，这个项数 N 是否存在，有多少个？|an-A|恒成立，这里的绝对值是什么意思？极限定义中一些字母和记号的特性如下表：an无穷数列A唯一常数(1)任意性(2)给定性Nan1存在而不唯一存在而不唯一2n然后指出数列an的极限是 A，是数列an无限变化趋近于 A 的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近于 A，只有当项数 n 趋于无穷时，量变到质变，引起质的飞跃，得到了极限A。（2 2）量化认识）量化认识问题拓展问题拓展给出数列极限的 N定义：一般地，设数列一般地，设数列an是一个无穷数列

10、，是一个无穷数列，a是一个常数，是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数如果对于预先给定的任意小的正数，总存在正整数 N N，使得只要正整数，使得只要正整数n N，就有，就有ana，那么就说数列，那么就说数列an以以a为极限，记作为极限，记作liman a，或者，或者n 时时an a.n三、巩固练习三、巩固练习讲授例题讲授例题【例 1】.已知数列2,.,1(1)1 4 6 52 3 5 6n11,.n-4百度文库-好好学习，天天向上1)1)写出这个数列的各项与写出这个数列的各项与 1 1 的差的绝对值的差的绝对值;2)2)第几项后面的所有项与第几项后面的所有项与 1 1 的差的

11、绝对值都小于的差的绝对值都小于?都小于都小于?都小于都小于?3)3)第几项后面的所有项与第几项后面的所有项与 1 1 的差的绝对值都小于任何预先指定的正数的差的绝对值都小于任何预先指定的正数?4)14)1 是不是这个数列的极限是不是这个数列的极限?【例【例 2 2】考察下面的数列，写出它们的极限：】考察下面的数列，写出它们的极限：1)1)1,2)2)111,3,8 27n5,n106.5,6.95,6.995,7 3)3)1 111,n2 48(2)【例【例 3 3】求常数数列】求常数数列-1-1，-1-1，-1-1，-1-1，的极限的极限【例【例 4 4】当】当 a a 满足什么条件时，满足

12、什么条件时，lima0nn？试举例验证。？试举例验证。【例【例 5 5】试判断下列数列是否存在极限，并解答相应问题。】试判断下列数列是否存在极限，并解答相应问题。是否存在是否存在极限极限a若存在极限若存在极限数列数列limannanalim ananan4n1nnan(1)an 21n(n 100)annan 0.991an5()n3(1)nan3nan nan1n1.如何理解极限定义中的“无限趋近”2.如何由定义来判断数列有无极限三、讲解范例：三、讲解范例：-5百度文库-好好学习，天天向上例例 1 1 判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由111，；23n123n（2），；

13、234n1（1）1，（3）2，2，2，2，；（4），(0.1)，；（5）1,1，1，(1)，；解：（1）1，nn1111，的项随 n 的增大而减小，且当n 无限增大时，无限地23nn11的极限是 0，即lim0.nnn趋近于 0.因此，数列（2）123nn，的项随 n 的增大而增大，且当 n 无限增大时，无234n1n1nn的极限是 1，即lim1.n1nn1限地趋近于 1.因此，数列（3）2，2，2，2，的项随 n 的增大都不变，且当n 无限增大时，无限地趋近于2.因此，数列-2的极限是-2，即nlim(-2)-2.nn(0.1)，(0.1)（4），的项随 n 的增大而绝对值在减小，且当 n

14、 无限增大时，无限地趋近于 0.因此，数列(0.1)的极限是 0，即nnlim(0.1)nn0.（5）1,1，1，(1)，的项随 n 的增大而在两个值1 与 1 上变化，且当 n 无限增大时，(1)不能无限地趋近于同一个定值.因此，数列(1)无极限nn四、课堂练习四、课堂练习：1下列命题正确的是（）数列1nn3没有极限数列12的极限为 0nn2n3的极限为3 数列数列3 没有极限n2 3 A B C D答案：D2.判断下列数列是否有极限，若有，写出极限（1）1，111，2，；（2）7，7，7，7，；49n-6百度文库-好好学习，天天向上1 11(1)n,；（4）2，4，6，8，2n，；（3）,

15、n2 482（5），1121，；（6）0，,1，；23n10nn211 111 4 9n1（7）,，(1)，；（8）,，；523 4n 15 5 5（9）2,0，2，(1)1,，答案：0 7 0 不存在0-1 0 不存在不存在3.命题：单调递减的无穷数列不存在极限；常数列的极限是这个常数本身；摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是()B.1答案：B.由极限的定义仅有是正确的.的反例是an=n1这是无穷单调递减数列，它的极n(1)n1限是零；的反 例是an=它是摇摆 的无穷 数列，它的极 限是零.因为|an2n(1)n110|=|0|=可以任意小.故选 B.2n2n4.下列数列，不存在极限的

16、是()11(1)n11111,A.1,B.38 27n12 23 34n(n1)C.1，1，1，1，(1)，D.2,n3 4n1,2 3n答案：C.选项 A 的极限是 0，选项 B，an=0+1=1.一、情景引入一、情景引入：复习回顾：什么是数列极限的定义？1n11的极限是 0，选项 D 的极限an=1+n(n1)nn一般地，在n无限增大的变化过程时，如果无穷数列an中的项an无限趋近于某一个常数a，那么a叫做数列an的极限.二、概念形成二、概念形成：提问 1：在定义中，如何理解“无限趋近于某一个常数a”？提问 2：用什么来体现这种无限趋近的过程呢？-7百度文库-好好学习，天天向上思考并讨论给

17、出结论：用an和a之间的距离的缩小过程，即ana趋近 0(1)n现在以数列nan为例说明这种过程n观察：距离量化：(1)n1an0 0 nn，随着n的增大，1的值越来越小，n不论给定怎样小的一个正数（记为），只要n充分的大，都有比给定的正数小.1n三、概念应用三、概念应用：已知数列n 1n 1 把这个数列的前 5 项在数轴上表示出来.写出nan1的解析式.1n 1n 1指出数列中的第几项以后的所有项都满足an1 的极限.n 1n 1100四、课堂反馈四、课堂反馈判断下列命题的真假：1(1)n,的极限是 0 和 1（1）数列0,1,0,1,21111,2,3,(1)n1n1,的极限是 02 22

18、2111（3）数列sin1,sin,sin,sin,的极限不存在23n1 11（4）数列1,2,10000的极限是 03 33（2）数列1,分析：分析：判断一个数列否存在极限，极限是多少，主要依据极限的定义，即数列的变化趋势解：解：（1）一个数列的极限如果存在，它的极限是唯一的，不能是两个或更多个，是假命题（2）随着 n 无限增大，数列(1)是真命题（3）随着n 无限增大，数列 的项无限趋近于 0，因此数列sin无限趋近于 0，n11 的项无限趋近于 0，因此它的极限是 0，n121n1n-8百度文库-好好学习，天天向上是假命题（4）有穷数列无极限，是假命题说明：说明：（3）中容易认为极限不存

19、在（4）容易错误认为是真命题，尽管数列 1 随着 n 的增大而逐渐趋近于 0，但由n13于数列只有 10001 项，是有穷数列，不存在极限几个重要极限：（1）lim1 0（2）limC C（C 是常数）nnnnn（3）无穷等比数列q（q 1）的极限是 0，即limq 0(q 1)n四、四、课堂小结课堂小结无穷数列是该数列有极限的什么条件.常数数列的极限就是这个常数.数列极限的描述性定义.数列极限的 N的定义.五、作业布置五、作业布置六、教学设计说明六、教学设计说明对于数列极限的学习，对学生来说是有限到无限认识上的一次飞跃，由于学生知识结构的局限性和学习习惯、方法的影响，学习过程中的困难会较大，根据一般的认识规律和学生的心理特征，设计了直观认识、量化认识和极限定义三个教学步骤，由浅入深，由表及里，由感性到理性的逐步深化，力求使学生很好的理解极限的概念.-9