《高斯定量》PPT课件.ppt

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1、3 高斯定理高斯定理3 高斯定理高斯定理一一.线和线和 线密度线密度1.线上任一点的切线方向表示该点处线上任一点的切线方向表示该点处 的方向；的方向；2.垂直于垂直于 的单位面积内穿过的的单位面积内穿过的 线数等于线数等于 的大小。的大小。q 线规则线规则:【注】：实际按一定比例取整，见图。【注】：实际按一定比例取整，见图。图图1.10图图1.11图图1.12图图1.123 高斯定理高斯定理q 线性质线性质:1.线始于线始于“+q”或或 远处，远处，止于止于“-q”或或 远处；远处；2.任意两条任意两条 线不相交；线不相交；3.静电场中，静电场中，线不形成闭合线。线不形成闭合线。1.穿过面元穿

2、过面元S的电通量的电通量2.穿过有限大曲面穿过有限大曲面 S 的电通量的电通量 e3.闭合曲线面闭合曲线面 S 的电通量的电通量二二.线的线的通量通量图图1.14 电通量电通量S1)A点点,90 0,e 为负为负(入入)。【约定】：【约定】：闭面外法线为正，则闭面外法线为正，则 【例如】：【例如】：（参见图（参见图1.15）图图1.15 闭面的电通量闭面的电通量3 高斯定理高斯定理线穿出闭面通量为正；线穿出闭面通量为正；线穿入闭面通量为负。线穿入闭面通量为负。电力线、通量电力线、通量v为什么要研究通量、环流？为什么要研究通量、环流？对象变导致一系列深刻的变化对象变导致一系列深刻的变化不仅规律不

3、仅规律的形式，而且规律的性质发生变化的形式，而且规律的性质发生变化研究范畴研究范畴 对象对象 规律规律 规律的性质规律的性质牛顿力学牛顿力学 质点、刚体、连续体质点、刚体、连续体 可逆可逆 决定论决定论 热学热学 大量分子构成的群体大量分子构成的群体 不不可逆性可逆性 非决定论非决定论 引入熵引入熵 概率论概率论n 表明研究对象变化，规律性质发生变化，表明研究对象变化，规律性质发生变化，n 会有相应的数学手段的引入会有相应的数学手段的引入n 如牛顿研究引力的同时提出了微积分如牛顿研究引力的同时提出了微积分 场是一定空间范围内连续分布的客体场是一定空间范围内连续分布的客体v温度温度T 温度分布温

4、度分布温度场（标量场）温度场（标量场）v流速流速v 流速分布流速分布流速场（矢量场）流速场（矢量场）v电荷产生的场具有什么性质？电荷产生的场具有什么性质？已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布已知电荷可以根据场强定义和叠加原理求场分布 已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动已知场分布也可求得其他带电体在其中的运动物理学家不满足于这些，物理学家不满足于这些，各种各样的电荷的场分布五各种各样的电荷的场分布五花八门，只是表面现象，其本质是什么？花八门，只是表面现象，其本质是什么？期望从不同的角度揭示电场的规律性期望从不同的角度揭示电场的规律性经过探索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场经过探

5、索通过与流体类比找到用矢量场论来描述电场高斯定理高斯定理 p22通通过过任任意意闭闭合合曲曲面面的电通量的电通量Gauss面Gauss面上的场强，是所有电荷产生的场面内电量的代数和，与面外电荷无关三三.高斯定理高斯定理P22P221.穿过以点电荷穿过以点电荷 q 为中为中心的球面的电通量心的球面的电通量如图如图1.16,设球面设球面 S 的的半径为半径为 r，S 面上各处面上各处首先讨论穿过闭合曲面首先讨论穿过闭合曲面 的通量。的通量。穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0处处沿处处沿 S 面法向，面法向，即图图1.16 穿过以穿过以q为为中心的球面的

6、电通量中心的球面的电通量+qS2.穿过包围点电荷穿过包围点电荷 q 任意闭面的电通量任意闭面的电通量在闭面在闭面S 内作一以内作一以 q为中心的任意半径的球面为中心的任意半径的球面S”，见图，见图1.17。由由1.的结论可知，穿过的结论可知，穿过S”的电通量为的电通量为 q/0，元立体角元立体角d 内的电通量为内的电通量为将将d 锥面延长，在闭面锥面延长，在闭面S 上截出一面元上截出一面元dS dSdS”S”Sq图图1.17 穿过包围穿过包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量 dS设设dS与与q距离距离r，与与 的夹角的夹角，则穿过则穿过dS 的电通量的电通量而而故故则则穿过闭面穿过闭

7、面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0同样，同样，同同S”处处3.穿过不包围点电荷任意闭面的电通量穿过不包围点电荷任意闭面的电通量q图图1.18 穿过不包围穿过不包围 q 的任意闭面的电通量的任意闭面的电通量由由得得则则穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于闭面包围的电荷除以通量等于闭面包围的电荷除以0仍然，仍然，同上方法，如图同上方法，如图1.18，3 高斯定理高斯定理综上综上4.穿过包围多个点电荷闭面的电通量穿过包围多个点电荷闭面的电通量设闭面包围设闭面包围m 个点电荷个点电荷闭面上处处有闭面上处处有法向分量法向分量或或即即则则或或穿过闭面穿过闭面S 的的 通量等于

8、闭面包围的电荷的代数和除以通量等于闭面包围的电荷的代数和除以03 高斯定理高斯定理高斯定理：高斯定理：其中，其中，V是闭面是闭面S 所包围的空间。所包围的空间。或或 的散度的散度由格林公式由格林公式可得可得静电场中穿过任一闭面的静电场中穿过任一闭面的 通量等于闭面内通量等于闭面内电荷的代数和除以真空的介电常数电荷的代数和除以真空的介电常数0【讨论】：【讨论】：1.静电场是有源场；静电场是有源场；(正电荷正电荷 源，源，负电荷负电荷 汇汇)2.（有势场，保守力场，无旋场）（有势场，保守力场，无旋场）3.电力线的连续性；电力线的连续性；4.（起始于正电荷，终止于负电荷；（起始于正电荷，终止于负电荷

9、；5.不中断，不闭合）不中断，不闭合）3.两电力线不相交；两电力线不相交；4.（电力管，密度与场强对应）（电力管，密度与场强对应）5.应用：求解电场。应用：求解电场。6.（详见下一部分）（详见下一部分）GaussGauss定理应用列举定理应用列举v定理反映了静电场的性质定理反映了静电场的性质有源场有源场 v提供求带电体周围的电场强度的方法提供求带电体周围的电场强度的方法 vP24p29球对称的电场球对称的电场轴对称的电场轴对称的电场无限大带电平面的电场无限大带电平面的电场S【例【例 1】：】：点电荷点电荷q 的的场强。场强。【解】：【解】：设任一点设任一点P 至电荷距离为至电荷距离为r，以电荷

10、为中心、以电荷为中心、r 为半径为半径作球面作球面S，则，则P点在点在S上，如图上，如图1.19。所以穿过高斯面所以穿过高斯面S 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理比较两式得比较两式得由于静电场的分布是球对称的，由于静电场的分布是球对称的，或或【讨论】：【讨论】：P q图图1.19 点电荷的场点电荷的场1.如何选取高斯面如何选取高斯面S；3 高斯定理高斯定理2.如何利用对称性；如何利用对称性；四四.高斯定理的应用高斯定理的应用 在矢量场中高斯定理具有重要理论意义，在静电场中还具有实际在矢量场中高斯定理具有重要理论意义，在静电场中还具有实际应用价值。满足一定对称条件下，用高斯定理求解电场较

11、简便。应用价值。满足一定对称条件下，用高斯定理求解电场较简便。球对称的电场球对称的电场p24v例例题题6 6：求求均均匀匀带带正正电电球球壳壳内内外外的的场场强强，设设球球壳壳所所带带电量为电量为QQ，半径为，半径为R Rn在球坐标下分析在球坐标下分析：n球球壳壳电电荷荷均均匀匀分分布布，围围绕绕任任一一直直径径都都是是旋旋转转不不变变场场强强分分布布也也不不变变，但但旋旋转转时时E和和E变变只有只有E0和和E0n只只有有径径向向分分量量Er不不为为零零，r相相同同Er相相同同场呈球对称分布场呈球对称分布v根据场的对称性做高斯面根据场的对称性做高斯面v求出通过求出通过Gauss面的通量面的通量

12、 n结论：球壳内结论：球壳内E=0；球壳外球壳外 与点电荷场相同与点电荷场相同 2.设球面内任一点设球面内任一点Q至球心至球心r，由于静电场的分布是球对称的，所由于静电场的分布是球对称的，所以穿以穿 过高斯面过高斯面S2 的电通量的电通量图图1.21 球面内的场球面内的场q根据高斯定理根据高斯定理比较两式得比较两式得QS2 以以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S2，则则Q点在点在S2上，如图上，如图1.21。均匀球面电荷内外电均匀球面电荷内外电场的分布曲线见图场的分布曲线见图1.22。0 (rR)综上综上ROEr图图1.22 E-r 曲线曲线【例【例 7】：】：均匀球体电荷的均匀球体电荷

13、的场强分布。场强分布。1.设球体外任一点设球体外任一点P 至球心至球心r，以以 r 为半径作同心球面为半径作同心球面S1，则，则P点在点在S1上，如图上，如图1.23。由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯由于静电场的分布是球对称的，所以穿过高斯面面S1 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理比较两式得比较两式得或或【解】：【解】：设球体半径为设球体半径为R，电量，电量q沿球体均布。沿球体均布。同位于中心的点电荷同位于中心的点电荷q 的场。的场。图图1.23 球体电荷外的场球体电荷外的场qS1P2.设球体内任一点设球体内任一点Q至球心至球心r，由于静电场的分布是球对称的，由于静电场的分布是

14、球对称的，所以穿过高斯面所以穿过高斯面S2 的电通量的电通量图图1.24 球体内的场球体内的场q根据高斯定理根据高斯定理 以以 r 为半径作同心为半径作同心球面球面S2，则，则Q点在点在S2上，如图上，如图1.24。均匀球体电荷内外均匀球体电荷内外电场分布见图电场分布见图1.25。综上综上比较两式得比较两式得QS2ROEr图图1.25 E-r 曲线曲线【讨论】：【讨论】：1.高斯面的选取；高斯面的选取；(对称，过对称，过P 点）点）2.对称分析；（对称分析；（E 为常量，为常量，cos 为常量）为常量）3.同类问题：多重球面、球壳、球体电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重球面、球壳、球体电荷

15、，电荷非均匀分布等；4.不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同心球形电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。图图1.28 补偿法补偿法图图1.26 多重球形多重球形k 是常量是常量图图1.27 非均匀球体非均匀球体【例【例 8】：】：均匀长直细棒电荷线密度为均匀长直细棒电荷线密度为 ,求其场强分布。求其场强分布。【解】：【解】：设任一点设任一点P 至电荷的距离为至电荷的距离为r，以电荷为轴、半径为以电荷为轴、半径为r作圆柱面作圆柱面S，柱高，柱高 l，如图，如图1.29，由于静电场的分布是轴对称的，由于

16、静电场的分布是轴对称的，所以穿过高斯面所以穿过高斯面S 的电通量的电通量根据高斯定理根据高斯定理S1S2+lPS3图图1.29 长直电荷的场长直电荷的场比较两式得比较两式得，方向沿径向。，方向沿径向。3 高斯定理高斯定理【例【例 5】：】：均匀长圆柱面电荷均匀长圆柱面电荷的电场分布。的电场分布。设圆柱面电荷面密度设圆柱面电荷面密度 为常量，为常量，柱面半径为柱面半径为R。【解】：【解】：1.设圆柱面电荷外任一点设圆柱面电荷外任一点P 至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，PlS1R图图1.30 柱面外的场柱面外的场据高斯定理据高斯定理比较得比较得，方向沿径向。，方向沿径向。作半径为作半径

17、为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l，如图，如图1.30。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得2.设圆柱面内任一点设圆柱面内任一点Q至圆柱面轴线的距离为至圆柱面轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l，如图，如图1.31。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得据高斯定理据高斯定理所以所以3 高斯定理高斯定理lS2RQ图图1.31 柱面内的场柱面内的场综上综上ROEr

18、图图1.32 E-r 曲线曲线长直圆柱面电荷电场分布可用长直圆柱面电荷电场分布可用E-r 曲线表示，见图曲线表示，见图1.32。3 高斯定理高斯定理【例【例 6】：】：均匀长圆柱体电荷均匀长圆柱体电荷的电场分布。的电场分布。设圆柱电荷体密度设圆柱电荷体密度 为常量，为常量，柱面半径为柱面半径为R。【解】：【解】：1.设圆柱体电荷外任一点设圆柱体电荷外任一点P 至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S1，侧面过，侧面过P点，柱高点，柱高 l，如图，如图1.33。设设S1 侧面场强大小为侧面场强大小为E1，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1

19、 分析可得分析可得PlS1R图图1.33 柱体外的场柱体外的场据高斯定理据高斯定理比较得比较得，方向沿径向。，方向沿径向。3 高斯定理高斯定理2.设圆柱体内任一点设圆柱体内任一点Q至圆柱体轴线的距离为至圆柱体轴线的距离为r，作半径为作半径为 r 的同轴圆柱面的同轴圆柱面S2，侧面过，侧面过Q点，柱高点，柱高 l，如图，如图1.34。设设S2 侧面场强大小为侧面场强大小为E2，方向沿径向，方向沿径向，类似类似例例 1 分析可得分析可得据高斯定理据高斯定理所以所以RQ图图1.34 柱体内的场柱体内的场综上综上ROEr图图1.35 E-r 曲线曲线长直圆柱体电荷电场分布可用长直圆柱体电荷电场分布可用

20、E-r 曲线表示，见图曲线表示，见图1.35。lS2【讨论】：【讨论】：1.高斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在端面行吗？）点在端面行吗？）2.对称分析；（有限长直电荷行吗？）对称分析；（有限长直电荷行吗？）3.同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重圆柱面、体电荷，电荷非均匀分布等；4.不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；不同轴长直电荷，可用场强叠加原理和高斯定理求解；5.特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。特殊解法：补偿法（根据场强叠加原理）。3 高斯定理高斯定理k 是常量是常量图图1.36 多重圆柱形多重圆柱形图图1.37 非均匀圆柱体非均匀圆柱体图

21、图1.38 补偿法补偿法ES2由高斯定理由高斯定理【例【例 7】：均匀无限大平面电荷】：均匀无限大平面电荷场强的分布。场强的分布。【解】：设电荷面密度【解】：设电荷面密度 为常量，为常量，任一点任一点P 至电荷的距离为至电荷的距离为r，取高斯面为垂直并对称于取高斯面为垂直并对称于电荷平面，横截面积电荷平面，横截面积 S，则端面则端面S1 过过P 点，点，如图如图1.39。3 高斯定理高斯定理由对称分析可得由对称分析可得比较得比较得，方向垂直向外。，方向垂直向外。图图1.39 无限大平面电荷的场无限大平面电荷的场无限大平面电荷的电场与到电荷平面的距离无关，是匀强电场。无限大平面电荷的电场与到电荷

22、平面的距离无关，是匀强电场。ES1S3【讨论】：【讨论】：3 高斯定理高斯定理1.高斯面的选取；高斯面的选取；(P 点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？）点在侧面上行吗？非圆柱面行吗？）2.对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）对称分析；（平面两侧柱高相等必要吗？）3.同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；同类问题：多重平面、平板电荷，电荷非均匀分布等；+-图图1.40 两平行两平行 平面电荷平面电荷图图1.42 非均匀非均匀 平板电荷平板电荷=kxxo图图1.41 均匀均匀 平板电荷平板电荷xo图图1.43 非均匀非均匀 平板电荷对平板电荷对xo=kx q静电场对外表现有以下重要性质：静电场对外表现有以下重要性质：1.引入电场的任何带电体都受电场作用力引入电场的任何带电体都受电场作用力2.电场力电场力；2.带电体在电场中移动时，电场力对带电体带电体在电场中移动时，电场力对带电体3.做功做功。作业vp73 1-14、15、16、17、20