2022-2023学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf

《2022-2023学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年上海市进才中学高二上学期期末数学试题(解析版).pdf（18页珍藏版）》请在得力文库 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 1 上海市进才中学 2022 学年第一学期 数学期末 时间 90 分钟，满分 100 分，（2023年 1 月）一、选择题:共 20 题，110 题每题 3 分，1120 题每题 4 分，总计 70 分.1.过点(5,7)P，倾斜角为135的直线方程为（）A.120 xy B.20 xy C.120 xy D.20 xy【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用直线的点斜式方程求解作答.【详解】依题意，直线的斜率135tan1k ，所以直线方程为：71(5)yx ，即20 xy.故选：B 2.已知曲线经过点(1,2)P，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是（）A.椭圆 B.双曲线 C.抛物

2、线 D.以上都不可能【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线、抛物线方程特点即可判断作答.【详解】因为椭圆、双曲线标准方程中都含有 2个参数，分别为长短半轴长、实虚半轴长，确定其标准方程需要 2个独立条件，因此经过点(1,2)P不能确定其标准方程的曲线是椭圆和双曲线，A，B 都不是；抛物线的标准方程只有 1个参数，确定其标准方程只需 1 个条件，因此经过点(1,2)P能确定其标准方程的曲线是抛物线，C是，显然 D不是.故选：C 3.已知直线1l：310a xy 和2l：41030axay，则“2a”是“直线1l与直线2l垂直”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充

3、要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】2【分析】利用两直线的方向向量垂直得出两直线垂直的充要条件，即可判断.【详解】直线1l、2l的方向向量分别为1,3a、410,aa，由21,3410,7100aaaaa解得2a 或 5，故直线1l与直线2l垂直的充要条件为2a 或 5，故“2a”是“直线1l与直线2l垂直”的充分非必要条件.故选：A 4.已知方程2220 xyxmym表示圆，则实数m的取值范围是（）A.2,B.,2 C.2,D.,22,【答案】D【解析】【分析】根据二元二次方程表示圆的要求可直接构造不等式求解.详解】方程表示圆，22240mm，即220m，解得：2m，实数m的取

4、值范围是,22,.故选：D.5.若双曲线22:1824xyC的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，由双曲线方程可得渐近线方程；利用垂径定理可求得弦长.【详解】由圆的方程知：圆心2,0，半径2r，由双曲线方程知：渐近线方程为3yx，即30 xy，圆心到渐近线的距离2 333 1d，所求弦长为2222rd.故选：B.6.如图所示，长方体1111ABCDABC D中，11,2,3ABADAA，P是线段11AC上的动点，则下列直线中，始终与直线 BP 异面的是（）3 A.1DD B.1BC C.1DC D.AC

5、【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，结合长方体的结构特征及异面直线的意义，逐项判断作答.【详解】在长方体1111ABCDABC D中，11/BBDD，当P是11AC与11B D的交点时，BP 平面11BDD B，BP与1DD相交，A不是；当点P与1C重合时，BP 平面11BCC B，BP与1BC相交，B不是；当点P与1A重合时，因为长方体1111ABCDABC D的对角面11A BCD是矩形，此时1/BPDC，C 不是；因为AC平面ABCD，,BAC B平面ABCD，而P平面ABCD，因此BP与AC是异面直线，D是.故选：D 7.已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120的扇

6、形，则该圆锥的体积为（）A.4322 B.2162 C.144 2 D.12 2【答案】C【解析】【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.4【详解】解：由题意 在圆锥中，设底面半径为r 圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120的扇形 12022 18360r 解得：6r 由几何知识得 圆锥高：2218612 2h 圆锥体积：2211 612 2144 233Vr h 故选：C.8.方程222143xy表示焦距为2 5的双曲线，则实数 的值为（）A.1 B.-4 或 1 C.-2 或-4或 1 D.-2或 1【答案】A【解析】【分析】分类讨论24和3分别小于 0 时的情

7、况，即可得到实数 的值【详解】解：由题意 在双曲线222143xy中，焦距22 5c 即5c 当24030即22 时，224375c 解得：2（舍）或1 当24030即3时，224375c 解得：4（舍）或3（舍）综上，1 故选：A.9.已知抛物线C：212yx，点1122(,),(,)A x yB xy是经过抛物线C焦点F的直线与抛物线的交点，且125xx，则这样的直线（）5 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在【答案】D【解析】【分析】设出AB方程与抛物线方程联立，求出12xx，建立方程，方程无解，可得答案.【详解】抛物线C：212yx，(3,0)F.显然直线AB

8、斜率存在，设:(3)AB yk x与抛物线C：212yx联立，得22226(2)90k xkxk，则221226(2)5,12kxxkk，所以无解.故选：D 10.已知1111ABCDABC D是长方体，12,1AAABBC，E 为 BC中点，则异面直线1AE与1D A所成角的正切值为（）A.2 B.2 147 C.172 D.177【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线1AE与1D A所成角的余弦即可作答.【详解】在长方体1111ABCDABC D中，建立如图所示的空间直角坐标系，6 依题意，11(1,0,0),(0,0,2),(1,0,2)AD

9、A，棱 BC 中点1(,1,0)2E，111(1,0,2),(,1,2)2ADAE ，设异面直线1AE与1D A所成的角为，则1111117|72cos|cos,|211552ADAEAD AEADAE，22 2sin1 cos15，所以异面直线1AE与1D A所成角的正切值sin2 14tancos7.故选：B 11.当点A在椭圆2214xy上运动时，连接点A与定点2022,0B，则AB的中点P的轨迹方程为（）A.2220221164xy B.2220221164xy C.22101114xy D.22101141xy【答案】D【解析】【分析】设00,A x y，,P x y，结合中点坐标公

10、式，利用P点坐标表示出A点坐标，代入椭圆方程中即可求得P点轨迹方程.【详解】设00,A x y，,P x y，7 P为AB中点，00202222xxyy，则00220222xxyy，即22022,2Axy，又A在椭圆2214xy上，2222022414xy，即22101141xy，P点轨迹方程为：22101141xy.故选：D.12.已知圆的方程为2212160 xyxy，该圆过点3,4的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A.50 3 B.100 3 C.200 3 D.400 3【答案】B【解析】【分析】由圆的方程可确定圆心和半径；根据过圆内一点的最长弦为直径可得A

11、C；最短弦是与最长弦垂直的那条弦，可首先确定最短弦所在直线方程，进而利用垂径定理求得BD，由12SACBD可求得结果.【详解】由圆的方程知：圆心为6,8，半径2211216102r；则过点3,4的最长弦为直径，即220ACr；过点3,4的最短弦与最长弦垂直，则BD所在直线斜率1384463k，BD所在直线方程为3434yx，即34250 xy，圆心到直线距离18322555d，22210 3BDrd，四边形ABCD的面积1100 32SACBD.故选：B.13.已知直线 l经过抛物线232xy的焦点 F，交抛物线于 M，N 两点，若在 y轴负半轴上存在一点(0,)Tt，使得MTN为钝角，则 t

12、的取值范围为（）8 A.(8,0)B.(,8)C.(4,0)D.(,4)【答案】A【解析】【分析】求出点F坐标并设出直线 l的方程，联立直线 l与抛物线方程，利用韦达定理结合向量数量积的坐标表示求解作答.【详解】抛物线232xy的焦点()0,8F，显然直线 l的斜率存在，设其方程为8ykx，由2832ykxxy消去 y得：2322560 xkx，设1122(,),(,)M xyN xy，则12256x x ，22221212121212164,2|1632 32323232xxxxy yyyx x，当且仅当12|16xx且120 x x 时取等号，1122(,),(,)TMx yt TNx y

13、t，0t，则21 2121 21212()()()TM TNx xytytx xy yt yyt 2212()19216192tt yytt，而存在一点(0,)Tt，使得MTN为钝角，即存在一点(0,)Tt，使得0TM TN，因此2161920tt，则(8)(24)0tt，即有80t ，所以 t的取值范围为(8,0).故选：A 14.已知直线 l：2xty和双曲线 C：228yx，若 l与 C 的上支交于不同的两点，则t的取值范围是（）A.66,22 B.6,02 C.60,2 D.6,12【答案】D【解析】【分析】根据 l与 C的上支交于不同的两点，联立两个方程，根据判别式和韦达定理列不等式

14、，即可求出 t的取值范围【详解】解：由题意 在直线 l：2xty和双曲线 C：228yx中，9 若 l与 C的上支交于不同的两点 2228xtyyx即2214120tyty 22224412104011201ttttt 解得：612t t的取值范围为6,12 故选：D.15.已知椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与椭圆交于 M、N 两点，若2MNF的周长为 16，离心率12e，则2MNF面积的最大值为（）A12 B.23 C.43 D.83【答案】A【解析】【分析】根据给定的离心率及三角形周长，求出椭圆方程，再设出直线 MN的方程，与椭圆方程联立求

15、解三角形面积即可.【详解】依题意，2MNF周长222112|416MFMNNFMFMFNFNFa，解得4a，而椭圆的离心率12e，则其半焦距122ca，因此22212bac，椭圆 C：2211612xy，1(2,0)F，显然直线MN不垂直于 y轴，设其方程为2xty，由2223448xtyxy消去 x得：22(34)12360tyty，设1122(,),(,)M xyN xy，则有1212221236,3434tyyy ytt，22212121222222214414424124|()41(34)3434311ttyyyyy yttttt，10 令211ut，函数13uu在1,)上单调递增，因

16、此当0t时，221311tt 取得最小值 4，即12max|6yy，2MNF的面积2121211|4 61222MNFSFFyy，当且仅当MNx时取等号，所以2MNF面积的最大值为 12.故选：A 16.已知双曲线：2212425xy，点 P 为曲线在第三象限一个动点，以下两个命题，则（）点 P到双曲线两条渐近线的距离为1d，2d，则12dd为定值.已知A、B是双曲线上关于原点对称不同于P的两个点，若PA、PB的斜率存在且分别为1k，2k，则12kk为定值.A.真真 B.假真 C.真假 D.假假【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，借助点到直线距离计算12dd判断，利

17、用斜率坐标公式计算判断作答.【详解】依题意，设0000(,),0,0P xyxy，且有22002524600 xy，双曲线的渐近线为52 60 xy，因此2200000012222252 652 62524600494952 652 6xyxyxydd 为定值，真；设11(,)A x y，则11(,)Bxy，且22112524600 xy，显然120kk，否则，,PA PB之一垂直于 y 轴，由双曲线对称性知另一条必垂直于 x 轴，其斜率不存在，不符合题意，则222222010101010112222222010101010125()25()252525(24600)(24600)24yyyy

18、yyyyyyk kxxxxxxxxyy为定值，真，所以真真.11 故选：A 17.已知点P是椭圆221459yx上一点，点1F、2F是椭圆上、下焦点，12FPF有一个内角为23，则12FPF的面积为（）A.3 3或9 3 B.6 3或9 3 C.9 3或91534 D.9 3或91534【答案】D【解析】【分析】分1223FPF、1223PFF、1223PFF三种情况讨论，利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可求得12FPF的面积.【详解】在椭圆221459yx中，3 5a，3b，则226cab，设1PFm，2PFn，则26 5mna，由余弦定理可得 222222122424cos12

19、22mncmncmnbFPFmnmnmn 2361818183111124552mnmnmn ，当且仅当3 5mn时，等号成立，即当点P为椭圆短轴的端点时，12FPF取最大值，且12FPF的最大值大于23，所以，12FPF可以取23，当1223FPF时，12181cos12FPFmn ，可得36mn，此时1212sin9 323F PFSmn；当1223PFF时，由余弦定理可得222222112212112126 51cos22122mmPFFFPFPFFPFFFm，12 因为0m，解得3514m，此时12112915312sin234F PFSPFFF；当1223PFF时，同理可得12915

20、34F PFS.综上所述，1291534F PFS或9 3.故选：D.18.设1F、2F椭圆22221(0)xyabab左、右焦点，椭圆上存在点 M，12MF F，21MF F，使得离心率sinsine，则 e 取值范围为（）A.（0，1）B.0,21 C.21,1 D.21,21【答案】C【解析】【分析】在12MF F 中，由正弦定理结合条件有：1222|2|MFaMFcaMFMF，再由2|MF的范围可求出离心率.【详解】由12MF F，21MF F，设1|MFm，2|MFn，在12MF F 中，由正弦定理有：sinsinmn，离心率sinsine，则 2cmanann；解得：22anac，

21、由于2a cMFa c ，得22()()2()ac acaac，222()()2ac acaca显然成立，由222()aac有2aac，即21ca，得21cea，13 所以椭圆离心率取值范围为21,1.故选：C 19.已知曲线1C：221xym与曲线2C：22yx，且曲线 C1和 C2恰有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是（）A.1,B.1,0(0,1)4 C.1,0(1,)4 D.13,1,44 【答案】D【解析】【分析】当0m 时，曲线1C为双曲线，则曲线 C1和 C2在 y轴左侧必有两个不同交点，由直线斜率与渐近线斜率列式确定 C1和 C2在 y 轴右侧无交点的范围；当0m 时，曲

22、线1C为圆或椭圆，则相切时有两个不同交点，再由数形结合可进一步判断其它两个交点的范围.【详解】由题意，曲线1C过定点0,1，曲线2C：2201yxx，故22yx的图象为221yxx的图象及其关于 x 轴对称的部分，如图所示.（1）当0m 时，曲线1C为双曲线，则曲线 C1和 C2在 y轴左侧必有两个交点，又渐近线为1yxm，故当12m即14m 时，曲线 C1和 C2在 y 轴右侧无交点，满足题意；（2）当0m 时，曲线1C为圆或椭圆，当曲线1C与22yx相切时，有22122xymyx，14 消 y得214830 xxm，由1364 12404mm.i.故当34m 时，曲线 C1和 C2恰有两个

23、不同的交点；ii.当304m时，曲线 C1和 C2有零个不同的交点；iii.当314m时，曲线 C1和 C2有四个不同的交点；iv.当1m 时，曲线 C1和 C2有三个不同的交点；v.当1m时，曲线 C1和 C2有两个不同的交点.综上，曲线 C1和 C2恰有两个不同的交点，实数 m 的取值范围为13,1,44.故选：D 20.在平面上，定点1F、2F之间的距离12|2FFc，曲线 C 是到定点1F、2F距离之积等于2(0)cc 的点的轨迹.以点1F、2F所在直线为 x 轴，线段12FF的中垂线为 y 轴，建立直角坐标系.已知点00(,)P xy是曲线 C上一点，下列说法中正确的有（）曲线 C

24、是中心对称图形；曲线 C 上的点的纵坐标的取值范围是,2 2c c；曲线 C 上有两个点到点1F、2F距离相等；曲线 C 上的点到原点距离的最大值为2c A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出曲线 C的方程，再利用各项的条件计算、判断作答.【详解】依题意，令12(,0),(,0)FcF c，设点(,)M x y是曲线 C上任意一点，则有22222()()xcyxcyc，显然222222222()()()()()()xcyxcyxcyxcyc ，即点(,)M x y关于原点对称点(,)Mxy 在曲线 C 上，因此曲线 C 是中心对称图形，正确；当00y 时，1 212012

25、1211|sin22PF FFFySPFPFFPF，即 15 2201211|sin22c ycFPFc，当且仅当1290F PF，即22200 xyc，亦即0031,22xc yc 时取等号，此时010|2yc，而点(0,0)在曲线 C上，即00y 成立，因此01122cyc，曲线 C上的点的纵坐标的取值范围是,2 2c c，正确；曲线 C上点 P满足12|PFPF，则点 P在 y轴上，由00 x 得2222200cycyc，解得00y，因此曲线 C上只有一个点(0,0)到点1F、2F距离相等，不正确；因为121()2POPFPF，则2221212124|2|cosPOPFPFPFPFFPF

26、，当00y 时，由余弦定理得2221212124|2|coscPFPFPFPFFPF，于是得2222121212|cos(1 cos)2POcPFPFFPFcFPFc，|2POc，当00y 时，00 x 或02xc，有|0PO 或|2POc，因此曲线 C上的点到原点距离的最大值为2c，正确，所以说法中正确的有.故选：B【点睛】结论点睛：曲线 C的方程为0(),F x y，(1)如果(,)0Fx y，则曲线 C关于 y轴对称；(2)如果(,)0F xy，则曲线 C关于 x 轴对称；(3)如果(,)0Fxy，则曲线 C关于原点对称.二、解答题（共 2 题，21 题 10 分，22 题 20 分，总

27、计 30 分）21.如图，已知四面体 ABCD 中，AB面 BCD，BCCD.（1）求证：ACCD；（2）九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，1ABBCCD，有一根彩带经过面 ABC与面 ACD，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点 D处，求彩带的最小长度.16【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）由线面垂直得到ABCD，结合BCCD得到线面垂直，进而证明出线线垂直；（2）将面ABC与面ACD沿AC展开成平面图形，则 BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可.【小问 1 详解】因为AB平面BCD，CD 平面 BCD，所以ABCD，又BCCD

28、，ABBCB，,AB BC 平面 ABC，所以CD 平面ABC，因为AC平面 ABC，所以ACCD.【小问 2 详解】将面ABC与面ACD沿AC展开成如图 2所示的平面图形，连接 BD，所以彩带的最小长度为图 2 平面图中BD的长，.由（1）知=90ACD，在图 1 中，因为AB平面BCD，BC平面 BCD，所以ABBC，又因为1ABBCCD，所以45ACB，故在图 2中，135BCD，所以在图 2 中，在BCD中，由余弦定理得222222cos112222BDBCCDBC CDBCD ，所以彩带的最小长度为22.22.已知椭圆 C：22221(0)xyabab过点(3,1)P，椭圆 C离心率

29、为63e，其左右焦点分别为1F，2F，上下顶点为1B，2B.（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 Q是椭圆 C 上的一个动点，求12FQB面积的最大值；17（3）若 M，N为椭圆 C 上相异两点（均不同于点1B），1BM，1B N的斜率分别是1k，2k，若121kk.求证：直线 MN必过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）221124xy；（2）2(52)；（3）证明见解析，定点(0,1).【解析】【分析】（1）利用离心率求出 a，b 的关系，再利用椭圆过的点求出方程作答.（2）设出点 Q 的坐标，利用点到直线距离公式列式，求出点 Q 到直线1 2F B的距离最大值即可求解作答.（3）设出直线M

30、N的方程，与椭圆方程联立结合斜率关系求解即可作答.【小问 1 详解】椭圆 C离心率为63e，则222223abea，解得223ab，椭圆 C：222213xybb过点(3,1)P，则229113bb，于是得224,12ba，所以椭圆 C的方程为221124xy.【小问 2 详解】由（1）知，21(2 2,0),(0,2)BF，直线1 2F B方程：122 2xy，即22 20 xy，设椭圆 C 上的动点(2 3cos,2sin),02Q，点Q到直线1 2F B的距离为d，|2 3cos2 2sin2 2|2|5sin()2|33d，其中锐角由6tan2确定，而2，则当sin()1时，max2(

31、52)3d，又12|2 3FB，所以12FQB面积的最大值为1212max112|2 3(52)2(52)223FQBSFBd.【小问 3 详解】18 由（1）知，1(0,2)B，显然直线MN的斜率存在，设直线MN方程为：ykxm，2m，由22312ykxmxy消去 y并整理得：222(31)63120kxkmxm，22223612(31)(4)0k mkm，即221240km，设1122(,),(,)M xyN xy，则21212226312,3131kmmxxx xkk，121212121222(2)(2)1yykxmkxmk kxxx x，整理得221212(1)(2)()(2)0kx xk mxxm，则222223126(1)(2)(2)03131mkmkk mmkk，而2m，化简整理得440m，解得1m ，满足0，即直线:1MNykx过定点(0,1)，所以直线MN必过定点，该定点坐标为(0,1).【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.