2021-2022学年江苏省盐城中学高二下学期期中数学试题(解析版).pdf

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1、第 1 页 共 20 页 2021-2022 学年江苏省盐城中学高二下学期期中数学试题 一、单选题 1已知向量(1,0,1)a，(,0,22)bkk，若a与b互相垂直，则k的值为（）A1 B2 C23 D1【答案】B【分析】根据a与b互相垂直，可得0a b，再根据数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为a与b互相垂直，所以0a b，即220kk，解得2k.故选：B.2函数 12lnfxxxx的单调递减区间是（）A1,2 B1,1,2 C1,D0,1【答案】D【分析】f x的定义域为0,，利用导函数求解即可.【详解】由题，f x的定义域为0,，且 22211212xxfxxxx，令 0fx，则

2、1x 或12x （舍去），所以当0,1x时，0fx；当1,x时，0fx，所以 f x的单调减区间为0,1，故选：D 3为支援上海抗击新冠疫情，盐城市某医院欲从 5 名医生和 3 名护士中抽选 3 人(医生和护士均至少有一人)分配到 A，B，C 三个地区参加医疗救援(每个地区一人)，由于 A地区医生充足，故 A地区不再分配医生，则分配方案共有（）A120 种 B200 种 C216 种 D224 种【答案】A【分析】先分一名护士去A地区，然后再分选择一名医生与一名护士和选择2名医生两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：由题可知，A地区需分得 1 名护士，有13C种方法，第 2 页 共 20

3、页 此时分两种情况，再选择一名医生和一名护士，有112522C C A20方法，再选择2名医生，有2252C A20种方法，故一共有111222352252C C AC A120C种方法.故选：A.4已知 3sinf xxx，f x的图象是（）A B C D【答案】A【分析】先由函数的奇偶性排除 B，D，再利用导函数判断函数单调性，即可得到答案.【详解】由题，定义域为,，则 33sinsinfxxxxxf x ，所以 f x为奇函数，关于原点对称，故排除 B，D；因为 23cosfxxx，画出23yx与cosyx，如图所示，第 3 页 共 20 页 交于两点，所以当1,xx，2,x 时，0fx

4、；当12,xx x时，0fx，所以当1,xx，2,x 时，f x单调递增；当12,xx x时，f x单调递减，故排除 C，故选：A 5一袋中装有除颜色外完全相同的 6 个白球和 4 个黑球，如果不放回地依次摸取 3 个小球，则在前 2 次摸到白球的条件下，第 3 次还摸到白球的概率为（）A35 B13 C12 D23【答案】C【分析】设A“前 2 次摸到白球”，B“第 3 次摸到白球”，分别得到 n A和n AB，根据条件概率公式求解即可.【详解】在这 3 次摸球过程中，设A“前 2 次摸到白球”，B“第 3 次摸到白球”，则 111658CCC240n A，111654C C C120n A

5、B，所以 12n ABP B An A，故选：C 6“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布 N(80，102)已知 XN(，2)时，有 P(|x|)0.6827，P(|X|2)0.9545，P(|X|3)0.9973下列说法错误的是（）A该地水稻的平均株高约为 80cm B该地水稻株高的方差约为 100 C该地株高低于 110cm 的水稻约占 99.87%D 该地株高超过90cm的水稻约占34.14%【答案】D【分析】根据已知条件，结合正态分布的对

6、称性，即可求解【详解】解：根据正态分布的定义，故均值为80cm，方差为210100，故 AB 正确；该地株高低于 110cm 的水稻所占概率0.997330.50.9986599.87%2P X，即该地株高低于 110cm 的水稻约占 99.87%，故 C 正确；该地株高超过 90cm 的水稻所占概率1 0.68270.1586515.87%2P X，第 4 页 共 20 页 即该地株高超过 90cm 的水稻约占15.87%，故 D 错误.故选：D.7在常压下，六氟化硫是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途六氟化硫分子结构为正八面体结构，如图所示若此正八面

7、体的内切球的半径为 2，则它的棱长为（）A2 3 B3 C2 6 D2 2【答案】C【分析】设棱长为a，利用等体积法求解即可.【详解】设棱长为a，则2222121322 83234Vaaaa，解得2 6a，故选：C 8若120exx，e 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）A1221eexxxx B2112lnlnxxxx C2121eelnlnxxxx D2121eelnlnxxxx【答案】B【分析】利用导函数来判断函数单调性：利用函数 exxf x 在0,e上的单调性可判断A 选项的正误；利用函数 ln xh xx在0,e上的单调性可判断 B 选项的正误；利用函数 elnxg xx在0

8、,e上的单调性可判断 CD 选项的正误.【详解】对于 A 选项，构造函数 exxf x，则 1exxfx，当01x时，0fx；当1ex时，0fx，所以，函数 f x在0,1上单调递增，在1,e上单调递减，因为函数 f x在0,e上不单调，无法比较 1f x、2f x的大小，故 A 错；第 5 页 共 20 页 对于 B 选项，构造函数 ln xh xx，则 21 ln xhxx，当0ex时，0h x，所以 h x在0,e上单调递增，因为120exx，所以 12h xh x，即1212lnlnxxxx，则2112lnlnxxxx，故 B 对；对于 CD 选项，构造函数 elnxg xx，其中0e

9、x，1exgxx，因为函数exy、1yx 在0,e上均为增函数，故函数 g x在0,e上为增函数，因为1e202g，1e 10g ，所以，存在01,12x，使得 00gx，当00 xx时，0gx，此时函数 g x单调递减，当0exx时，0g x，此时函数 g x单调递增，所以，函数 g x在0,e上不单调，无法比较 1g x、2g x的大小，C 错，D 错.故选：B 二、多选题 9下列说法正确的有（）A设随机变量 X 服从二项分布 B(n，p)，若 E(X)50，D(X)20，则25p B设随机变量 服从正态分布 N(0，1)，若1Pp，则111 2Pp C若样本数据1210,x xx的方差为

10、 3，则数据121021,21,21xxx的方差为 12 D若从这 10 件产品(7 件正品，3 件次品)中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率730【答案】BC【分析】选项 A.由二项分布的期望和方差公式可求出p，从而判断；选项 B.由正态分布曲线的对称性可判断；选项 C.由方差的性质可判断；选项 D.由古典概率可求解判断.【详解】选项 A.由随机变量 X服从二项分布 B(n，p)，则 50,120E xnpD xnpp 解得35p，故选项 A 不正确.选项 B.由随机变量 服从正态分布 N(0，1)，则11PPp 所以111 211 2PPp ，故选项 B 正确.第 6 页 共 20

11、 页 选项 C.样本数据1210,x xx的方差为 3 则数据121021,21,21xxx的方差为22312，故选项 C 正确.选项 D.恰好取到 1 件次品的概率为1173210C C217C4515P ，故选项 D 不正确.故选：BC 10下列结论中正确的有（）A610C510C511C B(2x3)9a0a1(x1)a9(x1)9，则 a1a2a92 C3201 不能被 100 整除 D110C310C510C710C910C29【答案】ABD【分析】根据组合数的性质即可判断 A；分别令2x 和1x，即可判断 B；根据102010319110 11 ，结合二项式定理即可判断 C；根据二

12、项式定理的性质即可判断 D.【详解】解：对于 A，由组合数的性质可得610C510C651111CC，故 A 正确；对于 B，令2x，则20911aaaa，令1x，则01a ，所以1292aaa，故 B 正确；对于 C，102010319110 11 91001019910101010101010110111CCCC 890101982210101010101101101CCC ，显然每一项都是100的整数倍，所以 3201 能被 100 整除，故 C 错误；对于D，110C310C510C710C910C表示指数为10的二项式中偶数项的二项式系数之和，则110C310C510C710C910

13、C29，故 D 正确.故选：ABD.11如图，在四棱锥 EABCD中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，CDE是正三角形，M 为线段 DE 的中点，点 N为底面 ABCD内的动点，则下列结论正确的是（）第 7 页 共 20 页 A若 BCDE，则平面 CDE平面 ABCD B若 BCDE，则直线 EA 与平面 ABCD所成的角的正弦值：64 C若平面 CDE平面 ABCD，且点 N为底面 ABCD的中心，则 BMEN D若平面 CDE平面 ABCD，则四棱锥 EABCD 的体积32 33【答案】ABD【分析】对于 A，利用线面垂直和面面垂直的判定定理即可判断；对于 B，取CD的中点H，连

14、接,AH EH，利用面面垂直的性质可得EH 平面 ABCD，则EAH即为直线EA 与平面 ABCD所成角的平面角，从而可判断；对于 C，分别求出,BM EN，即可判断；对于 D，根据棱锥的体积公式计算即可判断.【详解】解：对于 A，因为 BCDE，,BCCD CDDED，所以直线BC 平面 CDE，又因BC 平面 ABCD，所以平面 CDE平面 ABCD，故 A 正确；对于 B，取CD的中点H，连接,AH EH，因为 CDE 是正三角形，所以EHCD，又平面 CDE平面 ABCD，平面 CDE平面 ABCDCD，EH 平面 CDE，所以EH 平面 ABCD，所以EAH即为直线 EA 与平面 A

15、BCD所成角的平面角，再Rt AEH中，2 3,2 5,4 2EHAHAE，则2 36sin44 2EHEAHAE，即直线 EA与平面 ABCD所成的角的正弦值为64，故 B 正确；对于 C，若平面 CDE平面 ABCD，第 8 页 共 20 页 则224ENEAAN，因为平面 CDE平面 ABCDCD，BCCD，BC 平面 ABCD，所以BC 平面 CDE，又CM 平面 CDE，所以BCCM，则222 7BMBCCM，所以ENBM，故 C 错误；对于 D，若平面 CDE平面 ABCD，由 B 得，EH 平面 ABCD，则132 333E ABCDABCDVSEH，故 D 正确.故选：ABD.

16、12定义在0,上的函数 f x，满足 exf x，则下列说法正确的有（）A 1f xx对任意0,x恒成立 B0,1x时，lnf xyx的图象位于 x轴下方 C lnf xyx有且只有两个极值点 D若 2245f xkxxx恒成立，则2e14k 【答案】AB【分析】A：1g xf xx，利用导函数判断单调性，即可判断选项 A；B：由0,1x时ex，ln x的正负即可判断；C：利用导函数判断即可；D：整理不等式为22e45xkxxx，设 22e45xh xxxx，转化问题为求 h x的最小值，即可判断.【详解】A：因为 1f xx，即 10f xx ，设 1e1xg xf xxx，则 e1xgx，

17、第 9 页 共 20 页 所以在0,x，0g x，所以 0e0 10g x ，故正确；B：由题 elnlnxf xyxx，当0,1x时，e0 x，ln0 x，所以0y，故正确；C：设 elnxF xx，则 22eelne1lnlnlnxxxxxFxxxxx，令 0Fx，则1ln xx，如图所示，lnyx与1yx只有一个交点，设交点横坐标为0 x，因为当1x 时，1ln101，所以01x，则0,1x，01,x时，0Fx；0,x时，0Fx，故 lnf xyx有且只有一个极值点，故错误；D：2245f xkxxx恒成立，则22e45xkxxx恒成立，设 22e45xh xxxx，则 243ee2e2

18、422xxxxxh xxxxx，令 0h x，则2x，因为3e20 xx，所以当0,2x时，0h x；2,x，0h x，所以 22minee2485944h xh，所以2e94k，故错误.故选：AB 三、填空题 13若拋掷 4 枚质地、大小完全一样的硬币，则正面向上的硬币枚数为 1 或者 4 的概率为_【答案】5160.3125【分析】根据二项分布的概率公式即可求解【详解】设X表示 4 枚硬币中正面朝上的硬币数量，则14,2XB，第 10 页 共 20 页 则13141111C1224P X，444114216P XC，则11541616，故答案为：516 14某市一水电站的年发电量 y(单位

19、：亿千瓦时)与该市的年降雨量 x(单位：毫米)有如下统计数据：2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 降雨量 x（hm）1500 1400 1900 1600 2100 发电量 y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 若由表中数据求得线性回归方程为 y0.004xa，由气象部门预估 2022 年的降雨量约为 2000 毫米，请你预测 2022 年发电量约为_亿千瓦时【答案】9.5【分析】根据样本中心点求得 a，进而求得预测值.【详解】解：1500140019001600210017005x，7.47.09.27.910.08.35y，所以8.30.

20、004 1700,1.5aa，所以0.001.45yx，当2000 x，0.00420001.59.5 y 亿千瓦时.故答案为：9.5 15数学中有一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称为“回文数”，如 22，585，3443等由数字 0，1，2，3，4，5，6 可以组成 5 位“回文数”的个数为_【答案】294【分析】依据回文数对称的特征，可知万位和个位数字相同，千位和十位数字相同，且万位数字不为 0，进而求解.【详解】依据回文数对称的特征，万位和个位数字相同，千位和十位数字相同，万位数字，从 1，2，3，4，5，6 中取一个，有 6 种选择；千位数字，从 0，1，2，3，4，5，6 中取一

21、个，有 7 中选择；第 11 页 共 20 页 百位数字，从 0，1，2，3，4，5，6 中取一个，有 7 中选择，则有6 7 7294，故答案为：294 16当 a0 时，若不等式2ln1xaxbx恒成立，则ba的最小值是_【答案】1e【分析】先将不等式转化为ln1xaxbx，进而转化为ln1()xf xx的图像恒在()g xaxb图像的下方，求出两个函数的零点，比较两个函数的零点得到1eba，且当()g xaxb恰为()f x在1ex 处的切线时取得最小值，即可求解.【详解】由题意知：0 x，由2ln1xaxbx可得ln1xaxbx，即不等式ln1xaxbx恒成立，令ln1(),()xf

22、xg xaxbx，易得()g x为斜率大于 0 的一条直线，()0bga；221(ln1)ln()xxxxfxxx，当0,1x时，()0,()fxf x单增，当1,x时，()0,()fxf x单减，又10ef，要使不等式ln1xaxbx恒成立，必有()g x的零点与()f x的零点重合 或者在()f x的零点左侧，如图所示：故有1eba，解得1eba，当且仅当()g xaxb恰为()f x在1ex 处的切线时取等，第 12 页 共 20 页 此时ln1()xf xx的图像恒在()g xaxb图像的下方，即满足ln1xaxbx恒成立，即2ln1xaxbx恒成立.又21()eef，故()f x在1

23、ex 处的切线方程为221e()eeeyxx，即2e,eab 时，ba取得最小值1e.故答案为：1e.四、解答题 17（1）把 6 本不同的书分给 3 位学生，每人 2 本，共有多少种不同的分法?（2）学校组建了“数学建模社”和“数学文化社”，高二(8)班某小组共有 9 人参加，其中3 人只参加“数学建模社”，4 人只参加“数学文化社”，还有 2 人两个社团都参加了.现从中选出 5 人参加数学展示活动，其中 2 人展示“数学建模”，3 人展示“数学文化”，共有多少种不同的选法?【答案】（1）90；（2）124.【分析】（1）先分组，后分配；（2）将被选取的多面手（参加两个社团的人）分类讨论.【

24、详解】(1)先将 6 本书平均分成 3 组，共22264233CCC15A，再分配给三个学生3315 A90 所以共有 90 种不同的分法；(2)无多面手（参加两个社团的人）参与展示数学建模：203326CCC60；1 个多面手参与展示数学建模：113325CCC60；2 个多面手参与展示数学建模：023324CCC4.所以共有 60+60+4=124 种选法.18已知*3nxnxN的展开式中前三项的二项式系数之和为 22(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项【答案】(1)135(2)921458x【分析】（1）根据前三项二项式系数和求得n，利用通项公式求解展开式中的常数项即第

25、 13 页 共 20 页 可.（2）不妨设第k项系数最大，利用最大项的系数不小于相邻两项的系数列式求出k的取值范围，由k为整数确定出k的值，进而求出最大项.【详解】(1)由题意，3nxx展开式前三项的二项式系数和为 22.前三项二项式系数和为：0121CCC1222nnnn nn，解得：6n 或7n(舍去)，即n的值为 6，由通项公式3362166C(3)3CkkkkkkkTxxx，令3302k,可得：2k，所以展开式中的常数项为 622322 1613C35Tx(2)设第k项系数最大，则11661166C 3C3C 3C3kkkkkkkk 解之得172144k 因为Zk，所以5k，所以展开式

26、中系数最大的项为 551593225 1614583TCxx 19如图，在三棱台 ABC111ABC中，11124,BCBCBBB1C1C1C=2，ABBC，平面 AA1B1B平面 BB1C1C (1)证明：AB平面 BB1C1C；(2)若 AB2，则求二面角 BC1CA 的大小【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）在等腰梯形11BBC C中，作1B DBC，利用勾股定理得到11BCB B，再利用面面垂直的性质定理得到1BCAB，即可得证.第 14 页 共 20 页（2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面1ACC与平面11BBC C的法向量，由二面角的向量公式代入即可得出答案.

27、【详解】(1)在等腰梯形11BBC C中，作1B DBC，1111122BBBCC CBC，则1BD，在1Rt BDB中，111cos2BDB BCBB，1Rt CDB中，3DC，解得12 3BC，22211B BBCBC，即11BCB B 由平面11AA B B 平面11BBC C，平面11AA B B平面11BBC C1B B，11BCB B 1BC平面11AA B B 1BCAB ABBC，11,BCBCC BC BC平面11BBC C AB平面11BB C C.(2)如图，在平面11BBC C内，过点B作BEBC，以B为原点，以,BA BC BE所在的直线为,x y z轴建立空间直角坐

28、标系，设2AB，则11(2,0,0),(0,4,0),(0,3,3),(0,1,3)ACCB 1(2,4,0),(0,1,3)ACCC 设平面1ACC的法向量为(,)nx y z，第 15 页 共 20 页 则100n ACn CC，即24030 xyyz，则(2 3,3,1)n 平面11BBC C的一个法向量为(1,0,0)m 则2 33cos,2123+1n mn mnm，所以结合图可知，二面角 BC1CA的大小为6.20 高校 Q 为吸引更多优秀的大学本科生加入该校的研究生院进一步深造，在全国硕士研究生统考前，单独组织夏令营考试 考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考 2 门学科，每科笔试成

29、绩从高到低依次有 AABC 四个等级若两科笔试成绩均为 A，则直接被该校提前录取；若一科笔试成绩为 A，另一科笔试成绩不低于 B，则要参加第二轮面试，面试通过也将被该校提前录取，否则均不能被该校提前录取现甲、乙两人报名参加，两人互不影响甲在每科笔试中取得 AABC的概率分别为23，16，112，112；乙在每科笔试中取得 AABC 的概率分别为13，14，16，14，甲、乙在面试中通过的概率分别为34，35(1)求甲需要参加第二轮面试的概率 P1；(2)求甲、乙都被高校 Q提前录取的概率 P2【答案】(1)13(2)125648【分析】（1）甲需要参加第二轮面试即笔试的成绩为一科笔试成绩为 A

30、，另一科笔试成绩不低于 B，进而求解即可.（2）被高校 Q提前录取的情况有两种，分别求得甲、乙被高校 Q提前录取的概率，进而得到答案.【详解】(1)由题，甲需要参加第二轮面试，需满足笔试的成绩为一科笔试成绩为 A，另一科笔试成绩不低于 B（且不为 A，即为 A或 B）1112221211CC363123P (2)甲被提前录取的概率为：221325333436，乙被提前录取的概率为：112211111135CC333436518，所以甲、乙都被高校 Q 提前录取的概率为22551253618648P 21火龙果的甜度一般在 1120 度之间，现对某火龙果种植基地在新、旧施肥方法下种植的火龙果的甜

31、度作对比，从新、旧施肥方法下种植的火龙果中各随机抽取了 200 个第 16 页 共 20 页 火龙果，根据水果甜度(单位：度)进行分组，若按11，12)，12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17)，17，18)，18，19)，19，20分组，旧施肥方法下的火龙果的甜度的频率分布直方图与新施肥方法下的火龙果的甜度的频数分布表如下所示 若规定甜度不低于 15 度为“超甜果”，其他为“非超甜果”甜度 11,12 12,13 13,14 14,15 15,16 16,17 17,18 18,19 19,20 频数 10 16 24 20 32 28 36 24 10 新施肥方

32、法下的火龙果的甜度的频数分布表 (1)设两施肥方法下的火龙果的甜度相互独立，记 A表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度，新施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度”，以样本估计总体，求事件 A的概率(2)根据上述样本数据，列出 22 列联表，并判断是否有 99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关?(3)以样本估计总体，若从旧施肥方法下的 200 个火龙果中按“超甜果”与“非超甜果”的标准划分，采用分层抽样的方法抽取 5 个，再从这 5 个火龙果中随机抽取 3 个，设“非超甜果”的个数为，求随机变量 的分布列及数学期望 附：22()()()()()n ad bcKa b

33、 c d a c b d，其中 nabcd P(K2k0)0.025 0.01 0.005 k0 5.024 6.635 7.879 【答案】(1)0.14 第 17 页 共 20 页(2)列联表见解析，有 99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关(3)分布列见解析，9()5E【分析】（1）首先根据频率分布表，计算新方法下的火龙果的甜度低于 15 度的频率、旧方法下的火龙果的甜度不低于 15 度的频率，再利用独立事件概率求 P A；（2）由题意可得22列联表，求计算2K，再根据临界值，即可判断；（3）由题意可得随机变量的所有可能取值为 1，2，3，再利用超几何概率分布，求分布列和数学

34、期望.【详解】(1)记M表示事件：“旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度”，N表示事件：“新施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度”，则有()()()()P AP MNP M P N 由频率分布直方图可知旧施肥方法下的火龙果的甜度不低于 15 度的频率为(0.10.120.080.05 2)10.4 由频数分布表可知新施肥方法下的火龙果的甜度低于 15 度的频率为10 1624200.35200 故事件A的概率为0.40.350.14(2)依题意可得到列联表 非超甜果 超甜果 合计 旧施肥方法 120 80 200 新施肥方法 70 130 200 合计 190 210 400 2240

35、0(120 13070 80)190 210 200 200K500012.5317.879399，故有 99.5%的把握认为是否为“超甜果”与施肥方法有关(3)旧施肥方法下的 200 个火龙果中，“非超甜果”为 120 个，“超甜果”为 80 个，按分层抽样的方法随机抽取 5 个，则抽取的“非超甜果”为 3 个，“超甜果”为 2 个，所以随机变量X的所有可能取值为 1，2，3.123235C C3(1)C10P，第 18 页 共 20 页 2313253(2)5C CPC，3335(3)110CPC，随机变量X的分布列为 1 2 3 P 310 35 110 数学期望3319()123105

36、105E 22已知0t，函数 2ln2tfxxtx，其中0,x(1)函数 g x满足 gxf x，当0t时，g x的单调区间；(2)是否存在实数t的值，使得对任意的0,x，都有 0f x 恒成立，若存在，则求出t的值；若不存在，则请说明理由；(3)证明：f x有唯一极值点0 x，且 014f x 【答案】(1)单调减区间：0,1，单调增区间：1,(2)不存在，理由见解析(3)证明见解析【分析】（1）当0t时，2 lnf xxx，由于 gxf x，则可根据 f x的正负进而得到 g x的单调区间；（2）转化问题为2ln02txtx的解集为0,，进而求解即可；（3）整理 lnf xxtxt，可判断

37、其导函数为单调增函数，由（2）可得10ef，e0tf，则 fx在0,上有唯一零点0 x，即 f x有唯一极值点0 x，再根据 00fx整理可得 2000020ln1xxxfxx，通过分析法证明即可.【详解】(1)由题，当0t时，2 lnf xxx，因为 gxf x，令 0g x，则1x，第 19 页 共 20 页 所以当0,1x时，0gx，当1,x时，0g x，所以 g x在0,1上单调递减，在1,上单调递增.(2)不存在，理由如下：对任意的0,x，都有 0f x 恒成立，即2ln02txtx的解集为0,，则0ln02xttx 或0ln02xttx 的解集为0,，所以ln2tt，即ett，设

38、tg tet，则 1tg te，当0t 时，0g t，所以 01g tg，所以方程ett无解，故不存在实数t，使得对任意的0,x，都有 0f x 恒成立.(3)证明：0t，2lnln2tf xxtxxtxt，则 11lnln1tfxxtxtxtxx ，所以 fx在0,上是增函数，由（2）可得，1e 10eft，e10etttf ，所以 fx在1,eet上有唯一零点0 x，即在0,上有唯一零点0 x，当00 xx时，0fx，f x单调递减；当0 xx时，0fx，f x单调递增，所以 f x有唯一极小值点0 x，且01,eetx，000ln10tfxxtx ，则00ln1txtx，即000ln11xxtx，01ex，所以 200000200ln11xxxtf xxtxx，要证 014f x，即证01ex 时，200020ln141xxxx，即证000011ln2xxxx，因为000000ln2ln21xxxxxx，只需证000011212xxxx，即证0000021212xxxxx，第 20 页 共 20 页 即证014x，显然成立，综上，f x有唯一极值点0 x，且 014f x 【点睛】（1）对无法参变分离的恒成立问题，可进行分类讨论；（2）函数的极值点问题，即导函数的零点问题，可结合导函数的单调性，特殊点的导函数值，及零点存在性定理进行证明.