..集合的概念260

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1、第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 新课程标准 核心素养 1.通过实例，了解集合的含义，理解元 素与集合的属于关系.数学抽象、逻辑推理 2.针对具体问题，能在自然语言和图形 语言的基础上，用符号语言刻画集合.数学抽象 第一课时 集合的含义 一、问题导入 预习课本 P23，思考并回答下列问题：1集合和元素的概念是什么?2如何用字母表示集合和元素?3元素和集合之间有哪两种关系?4常见的数集有哪些?分别用什么符号表示?二、新知初探 知识点一 元素与集合的相关概念 1 元素:一般地，把 统称为元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，表示.（研究对象）2集合:把一些 组成的总体叫做集合，简称为

2、集，通常用大写拉丁字母 A，B，C，表示.（元素）3集合相等:构成两个集合的元素是 的.（一样）4.集合中元素的特性:、互异性和无序性.（确定性）想一想 1集合中的元素只能是数、点、代数式吗?提示:集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等.2某班所有的高个子男生能否构成一个集合?提示:某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有明确的标准.3某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合?提示:某班身高高于175厘米的男生能构成一个集合，因为标准确定 做一做 1用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 解

3、析:由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k”三个元素.答案:C 2 方程 x2-1=0 与方程 x+1=0 所有解组成的集合中共有 个元素.解析:由 x-1=0，得 x=1；由 x+1=0，得 x=-1，故集合中只有 2 个元素1 和-1.答案:2 知识点二 元素与集合的关系 1属于:如果 a 是集合 A 的元素，就说 ，记作 .（a 属于集合 A、aA）2不属于:如果 a 不是集合 A 中的元素，就说 ，记作 .（a 不属于集合 A、aA）想一想 1元素与集合之间有第三种关系吗?提示:对于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“aA”与“a A”这两种结果.2符号“”“”的

4、左边可以是集合吗?提示:和具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合.做做 已知集合 A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3A，则实数a的值为 .解析:-3A，-3=a-3 或-3=2a-1.若-3=a-3，则 a=0.此时集合 A 中含有两个元素-3，-1，符合题意；若-3=2a-1，则 a=-1，此时集合 A 中含有两个元素-4，-3，符合题意.综上所述，实数 a 的值为 0 或-1.答案:0 或-1.知识点三 常见的数集及符号表示 数集 非 负 整 数 集（自然数集）正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或 N+Z Q R 想一想 N 与 N*（N+）有何区别

5、?提示:N*是所有正整数组成的集合，而 N 是由 0 和所有的正整数组成的集合，所以 N 比 N*（N+）多一个元素 0.做一做 下列元素与集合的关系判断正确的是 （填序号）.0N；Q；2Q；-1Z；2 R.解析:N 表示自然数集，Q 表示有理数集，Z 表示整数集，R 表示实数集，故 0N，Q，2Q，-1Z，2R.答案:三、点拨 1集合中元素的三个特性（1）确定性:给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素必须是确定的其作用为判断一组对象能否组成集合.（2）互异性:对于给定的一个集合，它的任何两个元素都不相同，相同的对象只能算一个元素.（3）无序性:集合中的元素没有先后顺序，只要一个集合的

6、元素确定，则这个集合也随之确定，与元素的排列顺序无关.2集合相等（1）当已知两个集合相等时，这两个集合的元素是完全相同的，即对于其中一个集合的任一个元素，在另一个集合中都可以找到相同的元素.（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该先确定这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断.四、研教材 典例精析 题型一 集合的概念 例 1（链接教材 P5练习 T1）（多选）考查下列每组对象，能组成一个集合的是（）A.某校高一年级成绩优秀的学生 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于 3 的自然数 D.2018 年第 23 届冬季奥运会金牌获得者 解析：A 中“成绩优秀”没有明确

7、的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D 中的对象都满足确定性，所以能组成集合.答案：BCD 通性通法 判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合 同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.跟踪训练（多选）下列说法正确的是（）A中国的所有直辖市可以组成一个集合 B.高一班较胖的同学可以组成一个集合 C正偶数的全体可以组成一个集合 D.大于 2014 且小于 2019 的所有整数不能组成集合 解析:B 中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素的确定性，所以 B 错误；D 中的所有整数能组成集合

8、，所以 D 错误，答案:AC 题型二 元素与集合的关系 例 2（链接教材 p5练习 T2）（1）下列关系中，正确的有（）12R；5Q；|-3|N；|-3|Q.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个（2）若集合A中的元素x 满足63N，xN，则集合A 中的元素为 .解析：（1）12是实数，5是无理数，|-3|=3 是自然数，l-3|=3是无理数.因此，正确，错误.（2）由题意可得:x 为自然数，所以63可以为 2，3，6，因此 x 的值为 2，1，0.因此 A 中元素有 2，1，0.答案（1）C （2）2，1，0 通性通法 1判断元素与集合关系的 2 种方法（1）直接法:如果集合中的元素

9、是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.（2）推理法:对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征.2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当 aA 时，则 a 一定等于集合 A 中的某个元素.反之，当 aA 时，结论恰恰相反.利用上述结论建立方程（组）或不等式（组）求解参数即可，注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验.跟踪训练 1用，填空:已知集合 A 中的元素 x 是被 3 除余 2 的整数，则有:17 A，-5_A.解析:由题意可设 x=3k2，kZ，令 3k2=17 得，k=5Z.所以 17A

10、.令 3k2=-5 得，k=-73Z.所以-5A.答案:2已知集合 A 中有四个元素 0，1，2，3，集合 B 中有三个元素 0，1，2，且元素 aA，aB，则 a 的值为 .解析:aA，aB，由元素与集合之间的关系知，a=3.答案:3.题型三 集合中元素的特性及应用 例 3 已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1A，则实数 a 的值为_.解析：若 1A，则 a=1 或 a2=1，即 a=1.当 a=1 时，集合 A 有重复元素，不符合元素的互异性，a1；当 a=-1 时，集合 A 含有两个元素 1，-1，符合元素的互异性.a=-1.答案-1 母题探究 1.（变条件）本例若将条件“1

11、A”改为“2A”，其他条件不变，求实数 a 的值.解:因为 2A，所以 a=2 或 a2=2 即 a=2，或 a=2，或 a=-2.2（变条件）本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数 a 的取值范围是什么?解:因为 A 中有两个元素 a 和 a2，所以 aa2，解得 a0 且 a1.3（变条件）已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若“aA”，求实数a 的值.解:由 aA 可知，当 a=1 时，此时 a2=1，与集合元素的互异性矛盾，所以 a1.当 a=a2时，a=0 或 a=1（舍去）.综上可知，a=0.通性通法 根据集合中元素的特性求解字母取值（范围）的 3 个步骤 跟踪训练 1

12、.已知集合中的三个元素 l，m，n 分别是ABC 的三边长，则ABC一定不是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:因为集合中的元素是互异的，所以 l，m，n 互不相等，即ABC 不可能是等腰三角形故选 D.答案:D 2.集合 P 中含有两个元素 1 和 4，集合 Q 中含有两个元素 1 和 a2，若P 与 Q 相等，则 a=.解析:由题意知 a2=4，即 a=2.答案:2 随堂检测 1.下列说法正确的是（）A.某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 B.由 1，2，3 和9，1，4组成的集合不相等 C.不超过 20 的非负数组成一个集合 D.方程（x-1）（x

13、+1）=0 的所有解组成的集合中有 3 个元素 解析：A 项中元素不确定.B 项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等.D 项中方程的解分别是 x1=1，x2=-1.由互异性知，构成的集合含 2 个元素.答案:C 2.已知集合 A 中的元素 x 满足 x-13，3A.又-3-1=-43，-3A.答案:D 3.（多选）下列说法正确的有（）A.集合 N 与集合 N*是同一个集合 B.集合 N 中的元素都是集合 Z 中的元素 C.集合 Q 中的元素都是集合 Z 中的元素 D.集合 Q 中的元素都是集合 R 中的元素 解析:因为集合 N*表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，所以 A、C 中的说法不正确，B、D中的说法正确，故选 B、D.答案:BD 4已知集合 A 含有三个元素 2，4，6，且当 aA，有 6-aA，则 a为（）A.2 B.2 或 4 C.4 D.6 解析:若 a=2A,则 6-a=4A；若 a=4A，则 6-a=2A；若 a=6A，则 6-a=0A.故选 B.答案:B 5.己知集合 P 中元素 x 满足：xN，且 2xa，又集合中恰有三个元素，则整数 a=.解析:xN，2xa，且集合中恰有三个元素，易知 a=6.答案:6