十三章函数列与函数项级数.pptx

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1、或第1页/共19页 总有例证明它的收敛证:(3)第2页/共19页它显然是发散的,所以函数列例2 2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0。证：由于对任何实数都有 故，对任意给定的，就有第3页/共19页定义1所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。第4页/共19页一致收敛于f 的几何意义:不一致收敛于f 的几何意义:函数列在D上不一致收敛的定义：第5页/共19页定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)(4)第6页/共19页证

2、:必要性充分性一点都收敛，记其极限函数为(5)第7页/共19页定理13.2证:必要性由上确界的定义有由此证得（6）式成立。充分性有由（7）式得（6）（7）第8页/共19页例3证明证：于是，但由于 因此，该函数列在 上不一致收敛。第9页/共19页二.函数项级数及其一致收敛性称为定义在上的函数项级数，为函数项级数的部分和函数列。级数的和函数：即若收敛，则称为的收敛点。若发散，则称为的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。第10页/共19页当当定理13.3（一致收敛的柯西准则）或推论：定义2.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例4第11页/共19页定理13.4由此可知我们来看例4中的级数若仅在-a，a（aN时，对一切有第16页/共19页所以 于是由一致收敛性的柯西准则，级数在区间I上一致收敛。例6 6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。证：因为在上有第17页/共19页所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页