(新课标)2022版高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列学案文新人教A版.pdf

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1、新课标新课标 20222022 版高考数学二轮版高考数学二轮复习专题二数列第复习专题二数列第 1 1讲等差数列讲等差数列与等比数列学案文新人教与等比数列学案文新人教 A A 版版第第 1 1 讲讲等差数列与等比数列等差数列与等比数列 做真题做真题 1 1(一题多解)(2022高考全国卷)记一题多解)(2022高考全国卷)记S Sn n1 12 2为等比数列为等比数列 a an n 的前的前n n项和假设项和假设a a1 1，a a4 4a a6 6，3 3那么那么S S5 5_解析：通解：设等比数列解析：通解：设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，因，因为为a aa a6 6，所以

2、，所以(a a1 1q q)a a1 1q q，所以，所以a a1 1q q1 1，又，又a a1 11 1a a1 11 1q q，所所 以以q q 3 3，所所 以以S S5 53 31 1q q1 15 51 13 3 3 3121121.1 13 33 3优解：优解：设等比数列设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，因为因为a a1 1a a6 6，所以，所以a a2 2a a6 6a a6 6，所以，所以a a2 21 1，又，又a a1 1，所以，所以q q3 31 15 51 13 3 5 5a a1 11 1q q3 31211213 3，所以，所以S S5 5.1

3、1q q1 13 33 3-2-2-2 24 43 32 25 55 52 24 4121121答案：答案：3 32 2(一题多解)(2022高考全国卷)记一题多解)(2022高考全国卷)记S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和项和假设假设a a3 35 5，a a7 71313，那么那么S S1010_解析：通解：设等差数列解析：通解：设等差数列 a an n 的公差为的公差为d d，那，那 a a1 12 2d d5 5，a a1 11 1，么由题意，得么由题意，得 解得解得 所以所以S S1010 a a1 16 6d d1313，d d2 2，10109 9

4、10110122100.100.2 21 1优解：由题意，得公差优解：由题意，得公差d d(a a7 7a a3 3)2 2，所，所4 41010a a1 1a a1010以以a a4 4a a3 3d d7 7，所以，所以S S10105(5(a a4 42 2a a7 7)100.100.答案：答案：1001003 3(2022高考全国卷)(2022高考全国卷)a an n 是各项均为正是各项均为正数的等比数列，数的等比数列，a a1 12 2，a a3 32 2a a2 216.16.(1)(1)求求 a an n 的通项公式；的通项公式；-3-3-(2)(2)设设b bn nloglo

5、g2 2a an n，求数列，求数列 b bn n 的前的前n n项和项和解：解：(1)(1)设设 a an n 的公比为的公比为q q，由题设得，由题设得2 2q q4 4q q1616，即，即q q2 2q q8 80.0.解得解得q q2(2(舍去舍去)或或q q4.4.因此因此 a an n 的通项公式为的通项公式为a an n2424n n1 12 22 2n n1 1.(2)(2)由由(1)(1)得得b bn n(2(2n n1)log1)log2 2 2 22 2n n1 1，因，因此数列此数列 b bn n 的前的前n n项和为项和为 1 13 32 2n n1 1n n.4

6、4(2022高考全国卷)数列(2022高考全国卷)数列 a an n 满足满足a a1 12 22 22 2a an n1 1，nanan n1 12(2(n n1)1)a an n.设设b bn n.n n(1)(1)求求b b1 1，b b2 2，b b3 3；(2)(2)判断数列判断数列 b bn n 是否为等比数列，并说明理是否为等比数列，并说明理由；由；(3)(3)求求 a an n 的通项公式的通项公式解：解：(1)(1)由条件可得由条件可得a an n1 12 2n n1 1n na an n.将将n n1 1 代入得，代入得，a a2 24 4a a1 1，而，而a a1 11

7、 1，所以，所以，a a2 24.4.-4-4-将将n n2 2 代入得，代入得，a a3 33 3a a2 2，所以，所以，a a3 312.12.从而从而b b1 11 1，b b2 22 2，b b3 34.4.(2)(2)b bn n 是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列a an n1 12 2a an n由条件可得由条件可得，即，即b bn n1 12 2b bn n，又，又b b1 1n n1 1n n1 1，所以，所以 b bn n 是首项为是首项为 1 1，公比为，公比为 2 2 的等比数列的等比数列a an nn n1 1n n1 1(3)(

8、3)由由(2)(2)可得可得 2 2，所以，所以a an nn n22.n n 明考情明考情 等差数列、等比数列的判定及其通项公式在等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查根本运算、根本概念的同时，也注重对函数考查根本运算、根本概念的同时，也注重对函数与方程、与方程、等价转化、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前列的等差中项、等比中项、通项公式和前n n项和项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题的最大、最小值等问题，主要是中低档题-5-5-等差、

9、等比数列的根本运算等差、等比数列的根本运算(综合型综合型)知识整合知识整合 等差数列的通项公式及前等差数列的通项公式及前n n项和公式项和公式a an na a1 1(n n1)1)d d；S Sn nn nn n1 12 2n na a1 1a an n2 2nana1 1d d(n nN N)*等比数列的通项公式及前等比数列的通项公式及前n n项和公式项和公式a an na a1 1q qn n1 1a a1 11 1q qa a1 1a an nq q(q q0)；0)；S Sn n1 1q q1 1q qn n(q q1)(1)(n nN N)典型例题典型例题(2022高考全国卷)记(

10、2022高考全国卷)记S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和项和S S9 9a a5 5.(1)(1)假设假设a a3 34 4，求，求 a an n 的通项公式；的通项公式；(2)(2)假设假设a a1 10 0，求使得，求使得S Sn na an n的的n n的取值范的取值范围围-6-6-*【解】【解】(1)(1)设设 a an n 的公差为的公差为d d.由由S S9 9a a5 5得得a a1 14 4d d0.0.由由a a3 34 4 得得a a1 12 2d d4.4.于是于是a a1 18 8，d d2.2.因此因此 a an n 的通项公式为的通项

11、公式为a an n10102 2n n.(2)(2)由由(1)(1)得得a a1 14 4d d，故，故a an n(n n5)5)d d，S Sn nn nn n9 9d d2 2.由由a a1 100 知知d d000，那么其前那么其前n n项和取最小值时项和取最小值时n n的值为的值为()A A6 6C C8 8B B7 7D D9 9解析：选解析：选 C.C.由由d d00 可得等差数列可得等差数列 a an n 是递增是递增数列，又数列，又|a a6 6|a a1111|，所以，所以a a6 6a a1111，即，即a a1 15 5d d1515d dd da a1 11010d

12、d，所以，所以a a1 1，那么，那么a a8 8 000，所以前所以前 8 8 项和为前项和为前n n项和的最小值，项和的最小值，应选应选2 2C.C.5 5(2022郑州一中摸底测试(2022郑州一中摸底测试)设设S Sn n是数列是数列d da an n1 1 a an n 的前的前n n项和，且项和，且a a1 11 1，S Sn n，那么，那么S S1010S Sn n1 1()1 1A.A.1010C C10101 1B B1010D D1010-25-25-a an n1 1解析：选解析：选 B.B.由由S Sn n，得，得a an n1 1S Sn nS Sn n1 1.又又a

13、 an nS Sn n1 11 1S Sn n1 1S Sn n，所以，所以S Sn n1 1S Sn nS Sn n1 1S Sn n，即，即1 1S Sn n1 1S Sn n 1 1 1 1 1 11 11 1，所以数列，所以数列 是以是以 1 1 为首项，为首项，1 1S S1 1a a1 1 S Sn n 为公差的等差数列，所以为公差的等差数列，所以1 1(n n1)(1)(1 1S Sn n1 11)1)n n，所以，所以1010，所以，所以S S1010，应选，应选S S10101010B.B.6 6 我国古代数学著作我国古代数学著作?九章算术九章算术?中有如下问中有如下问题：题

14、：“今有金箠，“今有金箠，长五尺，长五尺，斩本一尺，斩本一尺，重四斤重四斤斩斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？意思是末一尺，重二斤问次一尺各重几何？意思是“现有一根金杖，长“现有一根金杖，长 5 5 尺，一头粗，一头细，在尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下粗的一端截下 1 1 尺，重尺，重 4 4 斤；在细的一端截下斤；在细的一端截下 1 1尺，重尺，重 2 2 斤问：依次每一尺各重多少斤设斤问：依次每一尺各重多少斤设该金杖由粗到细是均匀变化的，其质量为该金杖由粗到细是均匀变化的，其质量为M M.现将现将该金杖截成长度相等的该金杖截成长度相等的 1010 段，段，记第记第i i段的质量为段的质

15、量为-26-26-1 1a ai i(i i1 1，2 2，10)10)，且，且a a1 1 a a2 2 00；当；当n n66 时，时，a an n0.0.所以，所以，S Sn n的最小值为的最小值为S S6 630.30.1111数列数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且，且S Sn n2 2a an n3 3n n(n nN N)(1)(1)求求a a1 1，a a2 2，a a3 3的值；的值；(2)(2)设设b bn na an n3 3，证明数列，证明数列 b bn n 为等比数列，为等比数列，并求通项公式并求通项公式a an n.解：解：(1)(1)因为

16、数列因为数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，且，且S Sn n2 2a an n3 3n n(n nN N)-30-30-2 22 2*所以所以n n1 1 时，由时，由a a1 1S S1 12 2a a1 131，解得31，解得a a1 13 3，n n2 2 时，由时，由S S2 22 2a a2 232，得32，得a a2 29 9，n n3 3 时，由时，由S S3 32 2a a3 333，得33，得a a3 321.21.(2)(2)因为因为S Sn n2 2a an n3 3n n，所以，所以S Sn n1 12 2a an n1 13(3(n n1)1

17、)，两式相减，得两式相减，得a an n1 12 2a an n3 3，*把把b bn na an n3 3 及及b bn n1 1a an n1 13 3，代入，代入*式，式，得得b bn n1 12 2b bn n(n nN N)，且，且b b1 16 6，所以数列所以数列 b bn n 是以是以 6 6 为首项，为首项，2 2 为公比的等比为公比的等比数列，数列，所以所以b bn n6262n n1 1*，n n1 1所以所以a an nb bn n3 362623 33(23(2 1)1)n n1212(2022高考江苏卷节选(2022高考江苏卷节选)定义首项为定义首项为 1 1且公比

18、为正数的等比数列为“且公比为正数的等比数列为“M M数列数列(1)(1)等比数列等比数列 a an n(n nN N)满足：满足：a a2 2a a4 4a a5 5，a a3 34 4a a2 24 4a a1 10 0，求证：数列，求证：数列 a an n 为“为“M M数列；数列；*-31-31-(2)(2)数列数列 b bn n(n nN N)满足：满足：b b1 11 1，*1 12 2S Sn nb bn n2 2b bn n1 1，其中，其中S Sn n为数列为数列 b bn n 的前的前n n项和求数列项和求数列 b bn n 的通项公式的通项公式解：解：(1)(1)证明：设等

19、比数列证明：设等比数列 a an n 的公比为的公比为q q，所以所以a a1 10 0，q q0.0.由由2 21 14 44 4 a a2 2a a4 4a a5 5，a a3 34 4a a2 24 4a a1 10 0，得得 a a q qa a1 1q q，a a1 11 1，2 2解得解得 因此数列因此数列 a an n a a1 1q q4 4a a1 1q q4 4a a1 10 0，q q2.2.为“为“M M数列数列(2)(2)因为因为 1 12 22 2S Sn nb bn nb bn n1 1，所以，所以b bn n0.0.1 12 22 2由由b b1 11 1，S

20、S1 1b b1 1，得，得 ，那么，那么b b2 22.2.1 11 1b b2 2b bn nb bn n1 1由由 ，得，得S Sn n，S Sn nb bn nb bn n1 12 2b bn n1 1b bn n1 12 22 2当当n n22 时，由时，由b bn nS Sn nS Sn n1 1，-32-32-b bn nb bn n1 1b bn n1 1b bn n得得b bn n，2 2b bn n1 1b bn n2 2b bn nb bn n1 1整理得整理得b bn n1 1b bn n1 12 2b bn n.所以数列所以数列 b bn n 是首项和公差均为是首项和公差均为 1 1 的等差数的等差数列列因此，数列因此，数列 b bn n 的通项公式为的通项公式为b bn nn n(n nN N)*-33-33-