(江苏专用)2022版高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线的标准方程与几何性质学案文苏教版.pdf

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1、江苏专用江苏专用 20222022 版高考数学二版高考数学二轮复习专题五解析几何第轮复习专题五解析几何第 2 2讲圆讲圆锥曲线的标准方程与几何性质锥曲线的标准方程与几何性质学案文苏教版学案文苏教版第第 2 2 讲讲圆锥曲线的标准方程与几何性质圆锥曲线的标准方程与几何性质 2022 2022 考向导航考向导航 三年考情三年考情考点扫描考点扫描20222022 202220222022022 2江江 苏苏 高高 考考 对对第第 1818题题本本讲讲考考查查重重点点是是圆圆锥锥曲曲线线的的标标准准方程、性质方程、性质(特别特别是离心率是离心率)，以及，以及第第8 8题题圆圆锥锥曲曲线线之之间间的的关

2、系，突出考查根关系，突出考查根底底知知识识、根根本本技技能，一般属于中档能，一般属于中档题题1 1必记的概念与定理必记的概念与定理(1)(1)从方程的形式看，从方程的形式看，在直角坐标系中，在直角坐标系中，椭圆、椭圆、-2-2-考向预测考向预测1 1椭圆的椭圆的标准方程标准方程与几何性与几何性质质2 2双曲线、双曲线、抛物线的抛物线的标准方程标准方程与几何性与几何性质质第第1717题题第第 7 7第第 8 8题题题题双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次双曲线和抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，的，所以也叫二次曲线所以也叫二次曲线 这三种曲线都可以是由这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得

3、到的曲线，因而才称之为圆锥曲平面截圆锥面得到的曲线，因而才称之为圆锥曲线线(2)(2)从点的集合从点的集合(或轨迹或轨迹)的观点看，的观点看，它们都是它们都是与定点和定直线距离的比是常数与定点和定直线距离的比是常数e e的点的集合的点的集合(或轨迹或轨迹)，这个定点是它们的焦点，定直线是它，这个定点是它们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率们的准线，只是由于离心率e e取值范围的不同，取值范围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线(3)(3)圆锥曲线第二定义把“曲线上的点圆锥曲线第二定义把“曲线上的点M M“焦点“焦点F F“相应准线“相应准线l l

4、和“离心率和“离心率e e四者巧四者巧妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与妙地联系起来，所以在圆锥曲线的问题中，凡与准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二准线、离心率、焦点有关的问题应充分利用第二定义定义2 2记住几个常用的公式与结论记住几个常用的公式与结论(1)(1)椭圆、双曲线的方程形式上可统一为椭圆、双曲线的方程形式上可统一为AxAx2 22 2ByBy1 1，其中，其中A A、B B是不等的常数，是不等的常数，A A B B00 时，时，表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆；轴上的椭圆；B B A A00 时，表示焦点时，表示焦点-3-3-在在x x轴上的椭圆；轴上的椭圆；A

5、BAB0 b b0)0)的右焦点，直线的右焦点，直线y y 与与a ab b2 2椭圆交于椭圆交于B B，C C两点，且两点，且BFCBFC9090，那么该椭，那么该椭圆的离心率是圆的离心率是_2 22 2x xy y(2)(2022江苏名校联考(2)(2022江苏名校联考)椭圆椭圆C C：2 22 2a ab b1(1(a a b b0)0)及点及点B B(0(0，a a)，过，过B B与椭圆相切的直线与椭圆相切的直线交交x x轴的负半轴于点轴的负半轴于点A A，F F为椭圆的右焦点，为椭圆的右焦点，那么那么ABFABF_ 3 3b b【解解析析】(1)(1)由由题题意意得得B B a a，

6、2 22 2 3 3b b C C a a，F F(c c，0)0)，那么由那么由BFCBFC9090得得BFBFCFCF2 2 2 2 3 3b b 3 3b b 2 23 32 21 12 2 c ca a，c ca a，c ca ab b4 44 42 22 2 2 22 2 2 22 2c c2 20 0，化简得化简得 3 3c c 2 2a a，那么离心率那么离心率e e a a3 3-6-6-6 63 3(2)(2)法一：由题意知，切线的斜率存在，设切法一：由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为线方程为y ykxkxa a(k k0)0)，与椭圆方程联立，与椭圆方程联立，y ykx

7、kxa a 2 22 22 22 22 22 22 22 22 2 x xy y，得，得b b x xa a(kxkxa a)a a b b0 0，即，即(b b2 22 21 1 a ab ba a k k)x x2 2a a kxkxa aa a b b0 0，由由4 4a a k k4(4(b b2 22 24 42 22 22 22 22 23 34 42 22 26 62 22 2c cc ca a k k)()(a aa a b b)0 0，得得k k，从而从而y yx xa a交交a aa aa ax x轴于轴于A A(，0)0)，又，又F F(c c，0)0)，易知，易知BAB

8、ABFBF0 0，c c故故ABFABF9090法二：由椭圆性质可知，过法二：由椭圆性质可知，过B B且与椭圆相切且与椭圆相切的斜率为正的直线方程为的斜率为正的直线方程为y yexexa a(e e为椭圆的为椭圆的2 2c c离心率离心率)，即切线斜率为即切线斜率为e e，所以所以 tantanBAFBAF e e，a ac c又又 tantanOBFOBF e e，那么，那么BAFBAFOBFOBF，因而，因而a aABFABF9090-7-7-6 6【答案】【答案】(1)(1)(2)90(2)903 3(1)(1)解决椭圆方程和几何性质问题，解决椭圆方程和几何性质问题，要牢牢抓要牢牢抓住相

9、关定义，一些看起来很复杂，没有头绪的问住相关定义，一些看起来很复杂，没有头绪的问题，如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解题，如果从定义上来考虑，往往会迎刃而解(2)(2)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形一个图形(3)(3)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式例如等式例如a ax xa a，b by yb b，00e e1 b b0)0)的离心率为的离心率为，a ab b2 2此椭圆的长轴长等于圆此椭圆的长轴长等于圆x xy y2 2x

10、 x15150 0 的半的半径，那么椭圆径，那么椭圆C C的方程为的方程为_-8-8-2 22 2 解析解析 因为因为x xy y2 2x x15150 0，所以，所以(x x1)1)y y1616，所以，所以r r4 4，即，即 2 2a a4 4，a a2 22 22 22 22 2c c3 3又又，所以，所以c c 3 3，所以，所以b b1 1，故椭圆，故椭圆a a2 2方程为方程为 y y1 14 4 答案答案 y y1 14 42 2(2022江苏省名校高三入学摸底卷(2022江苏省名校高三入学摸底卷)设设A A，x x2 22 2x x2 22 2x xy yB B，C C是椭圆

11、是椭圆2 22 21(1(a a b b0)0)上的三个不同的点，上的三个不同的点，a ab b假设四边形假设四边形OABCOABC(其中其中O O为坐标原点为坐标原点)为矩形，那为矩形，那么该椭圆的离心率的最小值为么该椭圆的离心率的最小值为_ 解析解析 设点设点A A(x x1 1，y y1 1)，C C(x x2 2，y y2 2)，因为四，因为四边形边形OABCOABC为矩形，所以点为矩形，所以点B B(x x1 1x x2 2，y y1 1y y2 2)，那，那么问题转化为方程组么问题转化为方程组2 22 2-9-9-x xy y1 1，a ab b 2 22 2x xy y2 2 2

12、 22 22 21 1，存在实数解存在实数解 a ab b x x1 1x x2 22 2y y1 1y y2 22 21 1，2 22 2 a ab b x x1 1x x2 2y y1 1y y2 20 0的问题的问题展展 开开 第第 三三 个个 方方 程程，整整 理理 得得x x1 1x x2 22 21 12 22 21 12 2a a b b易知直线易知直线OAOA和和OCOC的斜率均存在，的斜率均存在，2 22 22 2a ab by ykxkx，2 22 2 2 22 21 1a a b b2 2分别设为分别设为k k，由由 x xy y得得x x1 12 22 22 2，k k

13、a a k kb b2 22 21 1，a ab ba a b b k ka a b ba a b b k k同同理理x x2 22 22 2，因因此此2 22 22 22 22 22 2a ak k b ba a k kb ba ak k b b2 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2 2 2a a2 2b b2 22 22 22 2 ，即关于，即关于k k的二次方程的二次方程(k k)2 22 2 2 2a ab b a ab b a ab b 2 2 3 3 2 22 2 8 8 k k1 10 0有正解，有正解，即即 3 3 2 22 2 8 8 b b

14、a a b ba a 2 22 22 22 2-10-10-2 2 a ab b 2 2 40，且40，且 3 32 22 28080，又，又a a b b，所以，所以a a b ba a 2 22 22 26 63 3b b，所以，所以e e10)0)经过点经过点b b2 22 2(3(3，4)4)，那么该双曲线的渐近线方程是那么该双曲线的渐近线方程是_(2)(2022南京、(2)(2022南京、盐城模拟盐城模拟)在平面直角坐标在平面直角坐标系系xOyxOy中，抛物线中，抛物线C C：x x2 24 4y y的焦点为的焦点为F F，定点，定点A A(2(2 2 2，0)0)，假设射线假设射线

15、FAFA与抛物线与抛物线C C相交于点相交于点M M，与抛物线与抛物线C C的准线相交于点的准线相交于点N N，那么，那么FMFMMNMN-11-11-_y y【解析】【解析】(1)(1)因为双曲线因为双曲线x x2 21(1(b b0)0)经经b b2 22 2过点过点(3(3，4)4)，所以，所以 9 91616b b2 21 1，得，得b b 2 2，所以该，所以该双曲线的渐近线方程是双曲线的渐近线方程是y ybxbx 2 2x x(2)(2)设直线设直线FAFA的倾斜角为的倾斜角为，因为焦点因为焦点F F(0(0，1)1)，定点，定点A A(2(2 2 2，0)0)，1 12 21 1

16、所以所以 tantan，sinsin，4 43 32 2 2 2如图，作如图，作MBMBl l，垂足为点，垂足为点B B，由抛物线的定，由抛物线的定义可得：义可得：FMFMMBMB，FMFM1 1所以所以sinsin()sinsin MNMN3 31 1【答案】【答案】(1)(1)y y 2 2x x(2)(2)3 3-12-12-灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的灵活、准确地运用定义，为解决圆锥曲线的一些问题带来很大的方便特别是抛物线的定义一些问题带来很大的方便特别是抛物线的定义在解题中的作用巨大在解题中的作用巨大 对点训练对点训练 3 3(2022高考江苏卷(2022高考江苏卷)在平面

17、直角坐标系在平面直角坐标系x xy yxOyxOy中，假设双曲线中，假设双曲线2 22 21(1(a a00，b b0)0)的右焦的右焦a ab b3 3点点F F(c c，0)0)到一条渐近线的距离为到一条渐近线的距离为c c，那么其离那么其离2 2心率的值是心率的值是_ 解析解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为不妨设双曲线的一条渐近线方程为y y2 22 2b b|bcbc|3 33 32 22 22 2x x，所以所以2 2c c，所以所以b bc ca a2 2b ba a2 24 4a ab bc cc c，得，得c c2 2a a，所以双曲线的离心率，所以双曲线的离心率e e 2

18、2a a2 2 答案答案 2 24 4抛物线抛物线C C：y y2 2pxpx(p p0)0)的准线为的准线为l l，过，过2 2M M(1(1，0)0)且斜率为且斜率为 3 3的直线与的直线与l l相交于点相交于点A A，与，与C C的一个交点为的一个交点为B B 假设假设AMAMMBMB，那么那么p p_-13-13-解析解析 过过B B作作BEBE垂直准线垂直准线l l于于E E(图略图略)，因为因为AMAMMBMB所以所以M M为中点，为中点，1 1所以所以MBMBABAB，2 2又斜率为又斜率为 3 3，BAEBAE3030，1 1所以所以BEBEABAB，所以，所以BMBMBEBE

19、，2 2所以所以M M为抛物线的焦点，所以为抛物线的焦点，所以p p2 2 答案答案 2 21 1(2022南京模拟(2022南京模拟)椭圆椭圆率是率是_ 解析解析 由椭圆方程可得由椭圆方程可得a a5 5，b b3 3，c c4 4，4 4e e 5 54 4 答案答案 5 5-14-14-1 1 的离心的离心25259 9x x2 2y y2 22 2(2022江苏省高考命题研究专家原创卷(2022江苏省高考命题研究专家原创卷(四四)方程方程x x2 2m m1 1m mm m2 2y y2 22 21 1 表示双曲线，表示双曲线，那么实数那么实数m m的取值范围是的取值范围是_ 解析解析

20、 因为方程因为方程x x2 2m m1 12 2y y2 22 2m mm m1 1 表示双曲表示双曲m m1 1 00线，所以当焦点在线，所以当焦点在x x轴上时，轴上时，2 2，解得，解得 m m2 2m m0011m m00；m m1 1 00当焦点在当焦点在y y轴上时，轴上时，2 2，解得，解得m m 00所以实数所以实数m m的取值范围是的取值范围是m m 1 1 或或11m m000，b b0)0)的右的右a ab b准线与两条渐近线分别交于准线与两条渐近线分别交于A A，B B两点两点 假设假设AOBAOB的面积为的面积为2 22 2abab4 4，那么该双曲线的离心率为，那么

21、该双曲线的离心率为_b b 解析解析 双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为y yx x，右，右a aa a2 2准线方程为准线方程为x x，联立可求得两交点的纵坐标为联立可求得两交点的纵坐标为c cabab1 12 2ababa aabab，所以，所以AOBAOB的面积的面积S S ，得，得c c2 2c cc c4 4c cc c2 24 4，e e 2 2a aa a 答案答案 2 22 22 2x xy y8 8双曲线双曲线C C：2 22 21(1(a a0 0，b b0)0)的左、的左、a ab b右焦点分别为右焦点分别为F F1 1(1 1，0)0)，F F2 2(1(1，0)

22、0)，P P是双曲线是双曲线上任一点，上任一点，假设双曲线的离心率的取值范围为假设双曲线的离心率的取值范围为22，1 12 2的最小值的取值范围是的最小值的取值范围是_44，那么那么PFPF PFPF-19-19-2 22 2m mn n 解析解析 设设P P(m m，n n)，那么，那么2 22 21 1，a ab b2 2 n n 2 22 2即即m ma a 1 12 2 b b 2 22 2又又F F1 1(1 1，0)0)，F F2 2(1(1，0)0)，1 1(1 1m m，2 2(1(1m m，那么那么PFPFn n)，PFPFn n)，n n2 22 22 22 2PFPF1

23、1PFPF2 2n nm m1 1n na a 1 12 2 1 1 2 2b b 2 2 a a 2 22 2n n 1 12 2 a a11a a2 21 1，b b 当且仅当当且仅当n n0 0 时取等号，时取等号，1 1PFPF2 2的最小值为的最小值为a a2 21 1所以所以PFPF1 11 11 11515由由 22 4，4，得得 a a，故故a a2 211a a4 42 216163 3，4 41 1PFPF2 2的的 最最 小小 值值 的的 取取 值值 范范 围围 是是即即PFPF 15153 3 ，4 4 1616-20-20-15153 3 答案答案 ，4 4 1616

24、9 9(2022江苏高考命题研究专家原创卷(2022江苏高考命题研究专家原创卷)抛物线的方程为抛物线的方程为y y2 24 4x x，过其焦点，过其焦点F F的直线与抛的直线与抛物线交于物线交于A A，B B两点，且两点，且|AFAF|3 3，O O为坐标原点，为坐标原点，那那么么AOFAOF的的面面积积和和BOFBOF的的面面积积的的比比值值为为_ 解析解析 易知易知F F(1(1，0)0)，不妨设不妨设A A在第一象限，在第一象限，B B在第四象限因为在第四象限因为|AFAF|3 3，所以，所以x xA A1 13 3，解，解得得x xA A2 2，代入抛物线方程可得，代入抛物线方程可得y

25、 yA A42，得42，得y yA A2 2 2 20 02 2 2 2，所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y y(x x1)1)，2 21 1即即y y2 2 2 2x x2 2 2 2 y y2 2 2 2x x2 2 2 22 2 联立联立2 2，消去，消去x x得，得，y y 2 2y y y y4 4x x2 24 40 0，所以所以 2 2 2 2y yB B4 4，解得解得y yB B 2 2，所以所以AOFAOF|y yA A|的面积和的面积和BOFBOF的面积的比值为的面积的比值为2 2|y yB B|-21-21-答案答案 2 2y y1010(2022南京模拟(20

26、22南京模拟)椭圆椭圆x x2 21(01(0b b1)00 时，时，那么椭圆离心率的取值范围是那么椭圆离心率的取值范围是_ 解析解析 设设F F、B B、C C的坐标分别为的坐标分别为(c c，0)0)，(0(0，b b)，(1(1，0)0)，那么，那么FCFC、BCBC的中垂线分别为的中垂线分别为1 1c cb b1 1 1 1 x x，y y x x 2 2 2 22 2b b x x1 1c c，2 2联联 立立 方方 程程 组组 解解 出出b b1 1 1 1 y y x x，2 2b b 2 2 x x1 1c c，2 2 2 2b bc c y y2 2b b-22-22-1 1

27、c cb bc cm mn n00，即，即b bbcbcb b2 2c c00，2 22 2b b即即(1(1b b)()(b bc c)0)0，所以，所以b b c c从而从而b b c c，即有即有a a2 222c c2 2，1 1所以所以e e 00，2 22 22 22 22 22 2所以所以 00e e 2 22 2 答案答案 0 0e e 00，a ab bb b0)0)的右准线的右准线l l2 2与一条渐近线与一条渐近线l l交于点交于点P P，F F是双是双曲线的右焦点曲线的右焦点(1)(1)求证：求证：PFPFl l；5 5(2)(2)假设假设PFPF3 3，且双曲线的离心

28、率且双曲线的离心率e e，求求4 4该双曲线方程该双曲线方程2 22 2a a2 2 解解 (1)(1)证明：右准线为证明：右准线为x x，由对称性不，由对称性不c c-23-23-b b妨设渐近线妨设渐近线l l为为y yx x，a a a a2 2abab 那么那么P P，又，又F F(c c，0)0)，c c c cabab0 0c ca a所以所以k kPFPF2 2，a ab bc cc cb ba ab b又因为又因为k kl l，所以，所以k kPFPFk kl l 1 1，a ab ba a所以所以PFPFl l(2)(2)因为因为PFPF的长即的长即F F(c c，0)0)到

29、到l l：bxbxayay0 0的距离，的距离，|bcbc|所以所以2 22 23 3，即，即b b3 3，a ab bc c5 5a a2 2b b2 22525又又e e ，所以，所以2 2，所以，所以a a4 4，故，故a a4 4a a1616双曲线方程为双曲线方程为 1 116169 9x x2 2y y2 21212如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，椭圆中，椭圆-24-24-x xy yE E：2 22 21(1(a a b b0)0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1，F F2 2，a ab b1 1离心率为离心率为，两准线之间的距离为，两

30、准线之间的距离为 8 8点点P P在椭圆在椭圆2 22 22 2E E上，上，且位于第一象限，且位于第一象限，过点过点F F1 1作直线作直线PFPF1 1的垂线的垂线l l1 1，过点，过点F F2 2作直线作直线PFPF2 2的垂线的垂线l l2 2(1)(1)求椭圆求椭圆E E的标准方程；的标准方程；(2)(2)假设直线假设直线l l1 1，l l2 2的交点的交点Q Q在椭圆在椭圆E E上，求上，求点点P P的坐标的坐标 解解(1)(1)设椭圆的半焦距为设椭圆的半焦距为c c1 1因为椭圆因为椭圆E E的离心率为的离心率为，两准线之间的距离两准线之间的距离2 2c c1 12 2a a

31、为为 8 8，所以，所以 ，8 8，解得，解得a a2 2，c c1 1，于，于a a2 2c c是是b ba ac c 3 3，因此椭圆因此椭圆E E的标准方程是的标准方程是 1 14 43 3-25-25-2 22 22 2x x2 2y y2 2(2)(2)由由(1)(1)知，知，F F1 1(1 1，0)0)，F F2 2(1(1，0)0)设设P P(x x0 0，y y0 0)，因为因为P P为第一象限的点，为第一象限的点，故故x x0 000，y y0 000当当x x0 01 1 时，时，l l2 2与与l l1 1相交于相交于F F1 1，与题设不符，与题设不符，当当x x0

32、01 1 时，直线时，直线PFPF1 1的斜率为的斜率为y y0 0 x x0 01 1，直线，直线PFPF2 2的斜率为的斜率为y y0 0 x x0 01 1因为因为l l1 1PFPF1 1，l l2 2PFPF2 2，所以直线，所以直线l l1 1的斜率为的斜率为x x0 01 1x x0 01 1，直线，直线l l2 2的斜率为的斜率为，y y0 0y y0 0 x x0 01 1从而直线从而直线l l1 1的方程：的方程：y y(x x1)1)，y y0 0 x x0 01 1直线直线l l2 2的方程：的方程：y y(x x1)1)y y0 0 x x1 1由，解得由，解得x x

33、x x0 0，y y，y y0 0 x x1 1 所以所以Q Q x x0 0，y y0 0 2 20 02 20 0-26-26-x x1 1因为点因为点Q Q在椭圆在椭圆E E上，由对称性，得上，由对称性，得y y0 0y y0 0，即，即x xy y1 1 或或x xy y1 1又又P P在椭圆在椭圆E E上，故上，故 1 14 43 32 2x x2 2y y0 00 02 20 02 20 02 20 02 20 02 20 0 x xy y1 1，2 22 24 4 7 73 3 7 7由由 x x0 0y y0 0解得解得x x0 0，y y0 0；7 77 7 1 1，4 43

34、 3x xy y1 1，2 22 2无无 解解 因因 此此 点点P P的的 坐坐 标标 为为 x x0 0y y0 0 1 1，4 43 3 4 4 7 73 3 7 7 ，7 7 7 72 20 02 20 02 20 02 20 01313(2022南通市高三第一次调研测试(2022南通市高三第一次调研测试)如如x xy y图，在平面直角坐标系图，在平面直角坐标系xOyxOy中，椭圆中，椭圆2 22 21(1(a aa ab b2 2b b0)0)的离心率为的离心率为，焦点到相应准线的距离，焦点到相应准线的距离2 2为为 1 12 22 2-27-27-(1)(1)求椭圆的标准方程；求椭圆

35、的标准方程；(2)(2)假设假设P P为椭圆上的一点，过点为椭圆上的一点，过点O O作作OPOP的的垂线交直线垂线交直线y y 2 2于点于点Q Q，求，求1 1OPOP2 21 1OQOQ2 22 2的值的值c c2 2a a 解解(1)(1)由题意得，由题意得，c c1 1，a a2 2c c解得解得a a 2 2，c c1 1，又，又b ba ac c，所以，所以b b1 1所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 y y1 12 2(2)(2)由题意知由题意知OPOP的斜率存在的斜率存在当当OPOP的斜率为的斜率为 0 0 时，时，OPOP 2 2，OQOQ 2 2，所，所以以1 12

36、 22 22 22 2x x2 22 2OPOP1 1OQOQ2 21 1当当OPOP的斜率不为的斜率不为 0 0 时，设直线时，设直线OPOP的方程为的方程为y ykxkx(k k0)0)-28-28-x x y y2 21 1，由由 2 2得得(2(2k k2 21)1)x x2 22 2，解得，解得x x2 2 y ykxkx，2 2，2 22 2k k1 12 2k k所以所以y y2 2，2 2k k1 12 22 22 2k k2 22 2所以所以OPOP2 22 2k k1 12 22 2因为因为OPOPOQOQ，所以直线所以直线OQOQ的方程为的方程为y yx x1 1k ky

37、 y 2 2，2 22 2由由 得得x x 2 2k k，所以所以OQOQ2 2k k2 21 1y yx x k k 2 2k k1 11 1所以所以2 22 22 22 21 1OPOPOQOQ2 2k k2 22 2k k2 21 11 1综上可知，综上可知，1 12 2OPOP2 21 1OQOQ2 21 11414(2022江苏名校高三入学摸底(2022江苏名校高三入学摸底)为了保为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产平安，证我国东海油气田海域的海上平台的生产平安，海事部门在某平台海事部门在某平台O O的正西方向和正东方向设立的正西方向和正东方向设立-29-29-了两个观测站了两

38、个观测站A A、B B，它们到平台，它们到平台O O的距离都为的距离都为 5 5海里，海里，并将到两观测站的距离之和不超过并将到两观测站的距离之和不超过 2020 海里海里的区域设为禁航区域的区域设为禁航区域(1)(1)建立适当的平面直角坐标系，建立适当的平面直角坐标系，求禁航区域求禁航区域边界曲线的方程；边界曲线的方程；(2)(2)某日观察员在观测站某日观察员在观测站B B处发现在该海上处发现在该海上平台正南平台正南 1010 3 3海里的海里的C C处，处，有一艘轮船正以每小有一艘轮船正以每小时时 8 8 海里的速度向北偏东海里的速度向北偏东 3030方向航行，如果航方向航行，如果航向不变

39、，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进向不变，该轮船是否会进入禁航区域？如果不进入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中入，说明理由；如果进入，求出它在禁航区域中航行的时间航行的时间 解解(1)(1)以以O O为坐标原点，为坐标原点，ABAB所在的直线为所在的直线为x x轴，线段轴，线段ABAB的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴建立如下图的轴建立如下图的平面直角坐标系依题意可知，禁航区域的边界平面直角坐标系依题意可知，禁航区域的边界是以是以A A，B B为焦点的椭圆，为焦点的椭圆，-30-30-x xy y设设 椭椭 圆圆 方方 程程 为为2 22 2 1(1(a a b b0)0)，那那

40、么么a ab b2 2a a2020 ，c c5 52 22 22 2 a ab bc c解得解得a a1010，b b5 5 3 3，所以禁航区域边界曲，所以禁航区域边界曲线的方程为线的方程为2 22 2x x2 2100100y y2 275751 1(2)(2)由题意得由题意得C C(0(0，1010 3)3)，所以轮船航行，所以轮船航行直线的方程为直线的方程为y y 3 3x x1010 3 3y y 3 3x x1010 3 3 2 22 22 2联立联立 x x，整理得，整理得x x1616x x6060y y1 1 10010075750 0，那么那么(16)16)4604601

41、60160，方程有两，方程有两个不同的实数解个不同的实数解x x1 11010，x x2 26 6，所以轮船航行直，所以轮船航行直线与椭圆有两个不同的交点，故轮船会驶入禁航线与椭圆有两个不同的交点，故轮船会驶入禁航-31-31-2 2区域区域设交点分别为设交点分别为M M，N N，不妨取，不妨取M M(10(10，0)0)，N N(6(6，4 43)3)，易得轮船在禁航区域中航行的距离为，易得轮船在禁航区域中航行的距离为|MNMN|里里)，8 8所以航行时间所以航行时间t t 1(1(小时小时)，所以该轮船，所以该轮船8 8在禁航区域中航行的时间是在禁航区域中航行的时间是 1 1 小时小时10106 6 004 4 3 3 8(8(海海2 22 2-32-32-